06 第二章 第二节 一元二次方程及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

第二节　一元二次方程及其应用建议用时:40分钟 【基础练·基础达标】 1.下列方程中,是一元二次方程的有 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 ①ax2+bx+c=0;②x2- =0;③xy-x2=2;④(x+1)(x-2)=x2-7;⑤x2+9=0;⑥(x-2)(x+3)=0. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.一元二次方程x2-6x+5=0配方可变形为(　　) A.(x-3)2=4 B.(x+3)2=14 C.(x-3)2=14 D.(x+3)2=4 3.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为(　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D. 4.(2025·兰州)若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根,则a的值可以是 (　　) A.3 B.2 C.1 D.0 5.(2025·广西)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,则x1+x2= (　　) A.-25 B.-20 C.20 D.25 6.(2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(2025·新疆生产建设兵团)如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和 24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地.设矩形的宽为x m,根据题意可列方程为 (　　) A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40 C.2x(24-2x)=40 D.2x(24-x)=40 8.(2025·黑龙江龙东地区)随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆,设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x,则可列方程为(　　) A.8 000(1+2x)=12 000 B.8 000(1+x)2=12 000 C.8 000+8 000(1+x)+8 000(1+x)2=12 000 D.8 000×2(1+x)=12 000 9.(2025·贵州)一元二次方程x2-1=0的根是　　　　.  10.已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1,则m的值为　　　　.  11.(2025·上海)已知关于x的一元二次方程2x2+x-m=0没有实数根,则m的取值范围是　　　　.  12.(2025·眉山)已知方程x2-2x-5=0的两根分别为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为　　　　.  13.(2025·齐齐哈尔)解方程:x2-7x=-12. 14.用适当的方法解方程: (1)(3x-1)2=(x-1)2; (2)2x2+3x=2. 15.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件. (1)若某天该商品每件降价3元,当天可获利多少元? (2)在上述销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2 000元? 【拔高练·能力提升】 16.(2025·内江)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是 (　　) A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 17.(2025·广安)已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b,则代数式a2-4a+b的值为　　　　.  18.(2025·南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)·(x-2)=m2的两根. (1)当x1=-1时,求x2及m的值; (2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0. 19.(2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率; (2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品. 【培优练·满分通关】 20.【新题型·新定义】 定义:已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,若满足|x1-x2|=|x1x2|,则称此类方程为“差积方程”. 例如:x2-x+=0,即(x-)(x-1)=0, 解得x1=,x2=1. ∵|1-|=|1×|, ∴x2-x+=0是“差积方程”. (1)方程x2-5x+6=0　　　　“差积方程”;(填“是”或“不是”)  (2)若关于x的方程x2-(m+3)x+3m=0是“差积方程”,求出m的值; (3)若关于x的方程x2+bx+c=0是“差积方程”,且它的一个实数根为-1,则b+c=　　　　.  第二节　一元二次方程及其应用 1.C　2.A　3.A　4.D　5.C　6.C　7.A　8.B 9.x1=1,x2=-1　10.2　11.m<-　12.-2 13.解:整理得x2-7x+12=0, 因式分解得(x-4)(x-3)=0, ∴x-4=0或x-3=0,解得x1=4,x2=3. 14.解:(1)方程整理得(3x-1)2-(x-1)2=0, ∴(3x-1+x-1)(3x-1-x+1)=0, ∴(4x-2)·2x=0,∴4x-2=0或2x=0,∴x1=,x2=0. (2)方程整理得2x2+3x-2=0, 分解因式得(2x-1)(x+2)=0,∴2x-1=0或x+2=0, 解得x1=,x2=-2. 15.解:(1)(50-3)×(30+2×3)=1 692(元). 答:若某天该商品每件降价3元,当天可获利1 692元. (2)设每件商品降价x元. 根据题意得(50-x)(30+2x)=2 000, 整理得x2-35x+250=0, 解得x1=10,x2=25. ∵商场要尽快减少库存,∴x=25. 答:每件商品降价25元时,商场日盈利可达到2 000元. 16.C　17.29 18.(1)解:把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6,∴m=±, ∴(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, ∴(x+1)(x-4)=0,∴x1=-1,x2=4,∴x2=4,m=±. (2)证明:方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. ∵Δ=9-4(2-m2)=4m2+1>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵方程(x-1)(x-2)=m2,即x2-3x+2-m2=0的两根为x1,x2, ∴x1+x2=3,x1x2=2-m2, ∴(x1-1)(x2-1) =x1x2-(x1+x2)+1 =2-m2-3+1 =-m2. ∵m2≥0,∴-m2≤0,即(x1-1)(x2-1)≤0. 19.解:(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x. 根据题意得125(1-x)2=80, 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意,舍去). 答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)设购进y件甲种商品,则购进(100-y)件乙种商品. 根据题意得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800, 解得y≥40,∴y的最小值为40. 答:最少购进40件甲种商品. 20.解:(1)不是 (2)解x2-(m+3)x+3m=0得x1=3,x2=m. ∵x2-(m+3)x+3m=0是“差积方程”,∴|3-m|=|3m|, 即3-m=3m或3-m=-3m, 解得m=或m=-. (3)2 提示:设x2+bx+c=0的另一个根为α, ∴-1+α=-b,-1·α=c,∴b=1-α,c=-α. ∵x2+bx+c=0是“差积方程”,∴|-1-α|=|-1·α|, 即-1-α=-α或-1-α=α, 解得α=-,∴b=1-α=1+=,c=-α=, ∴b+c=+=2. 学科网（北京）股份有限公司 $