14 题组十四 几何综合题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学加练本Word练习

题组十四　几何综合题 1.(2024·东营)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3. (1)问题发现 如图1,将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关系是　　　　　,AD与BE的位置关系是　　　　　.  (2)类比探究 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致?若AD交CE于点N,请结合图2说明理由. (3)迁移应用 如图3,将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE,当点D落到AB边上时,连接BE,求线段BE的长. 2.在数学综合与实践活动课上,小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动. (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案,如图1.试判断:△ACF的形状为　　　　　　.  (2)深入探究 小红在保持矩形ABCD不动的条件下,将矩形CEFG绕点C旋转.若AB=2,AD=4. 探究一:当点F恰好落在AD的延长线上时,设CG与DF相交于点M,如图2.求△CMF的面积. 探究二:连接AE,取AE的中点H,连接DH,如图3.求线段DH长度的最大值和最小值. 3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,BD=BC,将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,记旋转角为α,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF,连接AF. (1)如图1,当α=180°时,请直接写出线段AF与线段BE的数量关系. (2)当0°<α<180°时, ①如图2,(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立?请说明理由. ②如图3,当B,E,F三点共线时,连接AE,判断四边形AECF的形状,并说明理由. 4.(2025·济南长清一模)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后,进行了深入研究. (1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC2=AD·AB. 【拓展探究】 (2)如图2,在菱形ABCD中,E,F分别为BC,DC上的点,且∠EAF=∠BAD,射线AE交DC的延长线于点M,射线AF交BC的延长线于点N.若AF=2,CF=1,求CM的长. 【学以致用】 (3)如图3,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,以点B为圆心作半径为3的圆,其中点P是圆上的动点,请直接写出PD+PC的最小值. 题组十四　几何综合题 1.解:(1) BE=3AD　 AD⊥BE 提示:如图,延长DA交BE于点H. ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE, ∴CD=AC=1,CE=BC=3, ∠ACD=∠ACB=90°, ∴根据勾股定理得AD==,BE==3, ∴BE=3AD. ∵CD=AC,CE=BC,∠ACD=∠ACB=90°, ∴∠ADC=∠DAC=45°,∠CBE=∠CEB=45°, ∴∠BHD=180°-∠ADC-∠CBE=180°-45°-45°=90°, ∴AD⊥BE. (2)一致. 理由如下:如图,延长DA交BE于点H. ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE, ∴CD=AC=1,CE=BC=3,∠ACD=∠BCE,∠DCE=∠ACB=90°, ∴==,∴△ACD∽△BCE, ∴==,∠ADC=∠BEC, ∴BE=3AD. 又∵∠ENH=∠CND,∴∠EHN=∠DCN=90°, ∴AD⊥BE. (3)如图,过点C作CN⊥AB于点N. 根据旋转可知AC=CD,∴AN=ND=AD. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3, ∴根据勾股定理得AB==. ∵∠ANC=∠ACB=90°,∠A=∠A, ∴△ACN∽△ABC, ∴=,即 =,解得AN=, ∴AD=2AN=,∴BE=3AD=. 2.解:(1)等腰直角三角形 提示:由矩形的性质可得AC=CF, ∴△ACF是等腰三角形. ∵AB=GF,∠FGC=∠ABC=90°,BC=CG, ∴△ABC≌△FGC(SAS),∴∠BAC=∠GFC. 又∵∠BAC=∠ACD,∴∠ACD=∠GFC. ∵∠GCF+∠GFC=90°,∴∠ACD+∠GCF=90°, ∴∠ACF=90°, ∴△ACF是等腰直角三角形. (2)探究一:∵CD=GF,∠FMG=∠DMC,∠G=∠CDF=90°, ∴△CDM≌△FGM(AAS),∴CM=MF. ∵AC=CF,CD⊥AF,∴AD=DF. ∵CD=AB=2,DF=AD=4,∴DM=4-CM. 在Rt△CDM中,CM2=CD2+DM2, ∴CM2=22+(4-CM)2, 解得CM=,∴MF=, ∴S△CMF=CD·MF=×2×=. 探究二:如图,连接AC,取AC的中点T,连接HT,DT, ∴HT是△ACE的中位线, ∴HT=CE=1, ∴点H在以点T为圆心,1为半径的圆上. ∵DT=AC=×=, ∴DH的最大值为+1,最小值为-1. 3.解:(1)AF∶BE=1∶. 提示:当α=180°时,点E在线段BC上,且BD=DE=EC. ∵∠C=∠C,∠A=∠EFC,∴△FEC∽△ABC,==, ∴==. 又∵BC=AC,∴==, ∴=,=. (2)①仍然成立. 理由如下: ∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC, ∴=,∠ACB=45°. ∵在△FEC中,∠EFC=90°,FE=FC, ∴=,∠FCE=∠FEC=45°, ∴=,∴∠FCE=∠ACB, ∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE, ∴∠FCA=∠ECB,∴△FCA∽△ECB,∴==. ②四边形AECF是平行四边形. 理由如下:如图,过点D作DM⊥BF于点M. ∵∠FEC=45°,B,E,F三点共线, ∴∠BEC=135°. 由①知∠AFC=∠BEC=135°, ∴∠AFE=45°, ∴AF∥CE. ∵∠BFC=∠BMD=90°,∴DM∥CF,∴==. ∵DB=DE,∴BM=ME,∴BM=ME=EF,∴BE=2EF. 由题意得EF=CF=CE, ∴BE=CE. ∵BE=AF,∴AF=CE, ∴四边形AECF是平行四边形. 4.(1)证明:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC,∴=, ∴AC2=AD·AB. (2)解:如图,连接AC. 在菱形ABCD中, ∠EAF=∠BAD, ∠BAC=∠BAD=∠EAF, ∴∠BAM=∠FAC. ∵AB∥CD, ∴∠BAM=∠M,∴∠FAC=∠M. 又∵∠AFC=∠MFA,∴△AFC∽△MFA, ∴=,∴AF2=MF·CF. ∵AF=2,CF=1,∴MF=4,∴CM=MF-CF=3. (3)解:. 提示:如图,过点D作DM⊥BC,交BC的延长线于点M,在BC上取一点Q,使得BQ=,连接PB,PQ,DQ. ∵在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°, ∴BC=CD=AB=6,AB∥CD,∴∠DCM=∠ABC=60°. ∵DM⊥BM,∴∠CDM=90°-∠DCM=30°, ∴CM=CD=3, ∴DM===3, QM=BC+CM-BQ=6+3-=, ∴DQ===. ∵BQ=,BC=6,BP=3,∴==. ∵∠PBQ=∠CBP,∴△BPQ∽△BCP,∴==, ∴QP=PC. ∵PD+QP≥DQ,即PD+QP≥, ∴PD+PC≥,∴PD+PC的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $