13 题组十三 二次函数综合题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学加练本Word练习

题组十三　二次函数综合题 1.(2025·济南槐荫二模)二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C. (1)求此二次函数的表达式. (2)如图1,点E是第三象限内的抛物线上的动点,过点E作ED∥y轴,交x轴于点D,四边形CDAE的面积是否存在最大值?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图2,点P是抛物线的顶点,抛物线的对称轴与x轴交于点Q,在x轴上有一点N(-5,0),连接NP,在抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得∠HNP+∠BCO=45°?若存在,请求出点H的坐标;若不存在,请说明理由. 2.(2025·济南天桥一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx-3(a,b为常数且a≠0). (1)若抛物线经过点(3,0),(2,-3)两点,求抛物线对应的函数表达式. (2)在(1)的条件下,当直线l:y=x+a与抛物线交于点A,B时(点A在点B的左侧),位于直线l下方的抛物线上是否存在一点C,使得△ABC的面积最大?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若抛物线的对称轴为直线x=1,当直线y=x+a与抛物线y=ax2+bx-3有两个交点时,直接写出a的取值范围. 3.(2025·济南章丘一模)抛物线y=ax2-2x+c与x轴分别交于A(-1,0),B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3). (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标. (2)如图1,线段BC下方抛物线上是否存在一点E,使S△BCE=S四边形ACEB?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图2,P是抛物线第二象限上一点,连接PB,BD.当∠PBA=2∠CBD时,求点P的坐标. 4.抛物线y=ax2+x-6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx-6经过点B.点P在抛物线上,设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的表达式和t,k的值. (2)如图1,连接AC,AP,PC.若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标. (3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q.求CQ+PQ的最大值. 题组十三　二次函数综合题 1.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(-3,0),B(1,0), ∴将A(-3,0),B(1,0)分别代入表达式 得 解得 ∴y=x2+2x-3. (2)存在. 当x=0时,y=-3, ∴C(0,-3). 设D(m,0). ∵ED∥y轴, ∴E(m,m2+2m-3), ∴DE=0-(m2+2m-3)=-m2-2m+3, ∴S四边形CDAE=S△ADE+S△CDE=DE·(xC-xA)= ×(-m2-2m+3)×3=-m2-3m+=-(m+1)2+6. ∵-<0, ∴当m=-1时,四边形CDAE的面积最大,最大值为6, 此时点E的坐标为(-1,-4). (3)存在.∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴顶点P的坐标为(-1,-4),∴Q(-1,0). ∵N(-5,0),∴PQ=NQ=4, ∴∠QNP=∠QPN=45°. ①如图,当点H在点P上方时. ∵∠QNH1+∠H1NP=45°,∠BCO+∠H1NP=45°, ∴∠QNH1=∠BCO, ∴tan∠QNH1=tan∠BCO==, ∴tan∠QNH1===, ∴QH1=, ∴H1(-1,-). ②如图,当点H在点P下方时,过点N作NM⊥x轴,过点H2作H2M⊥NM于点M. 由题意得四边形QNMH2为矩形, ∴H2M=QN=4, ∴∠QNP+∠PNM=90°, ∴∠PNM=45°. ∵∠H2NM+∠H2NP=45°, ∠BCO+∠H2NP=45°, ∴∠H2NM=∠BCO, ∴tan∠H2NM=tan∠BCO=, ∴tan∠H2NM===, ∴NM=12, ∴H2(-1,-12). 综上所述,点H的坐标为(-1,-)或(-1,-12). 2.解:(1)将(3,0),(2,-3)分别代入y=ax2+bx-3 得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)存在. 由(1)知a=1,则y=x+a=x+1. 联立 解得或 ∴A(-1,0),B(4,5). 如图,过点C作CH∥y轴交AB于点H. 设C(x,x2-2x-3),则H(x,x+1). S△ABC=CH·(xB-xA)=×(x+1-x2+2x+3)×(4+1)=-(x-)2+, 当x=时,△ABC的面积最大,此时,C(,-). (3)a<--1或a>-1. 提示:∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴x=-=1,即b=-2a, ∴抛物线y=ax2+bx-3=ax2-2ax-3. 联立 消去y得ax2-2ax-3=x+a, 即ax2-(2a+1)x-3-a=0. ∵直线y=x+a与抛物线y=ax2+bx-3有两个交点, ∴Δ=[-(2a+1)]2+4a(a+3)>0, 即8a2+16a+1>0. 当8a2+16a+1=0时,解得a=--1或a=-1. 设t=8a2+16a+1,抛物线开口向上, ∴当8a2+16a+1>0时, a<--1或a>-1. 3.解:(1)将A(-1,0),C(0,-3)分别代入抛物线y=ax2-2x+c得解得 ∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴顶点D的坐标为(1,-4). (2)存在. ∵S△BCE=S四边形ACEB=(S△ABC+S△BCE), ∴S△ABC=S△BCE. 如图,分别过点A,E作BC的平行线AG,EH,分别交y轴于点G,H,易知直线BC的表达式为y=x-3, ∴直线AG的表达式为y=x+1, 则点G(0,1), ∴CG=4. ∵S△ABC=S△BCE, ∴CH=CG=2, ∴H(0,-5), ∴直线HE的表达式为y=x-5. 联立 解得或 ∴E(1,-4)或(2,-3). (3)由(1)知点D(1,-4), ∴CD=,CD与y轴负半轴的夹角为45°. ∵∠OCB=45°,∴CD⊥BC. 如图,延长DC至点M使CM=CD,连接BM,则△BMD为等腰三角形, ∴∠CBD=∠CBM, ∴∠MBD=2∠CBD=∠PBA. 过点D作DH⊥BM于点H, 则S△BDM=MD·BC=MB·DH. 由点C,D,B的坐标得MD=2CD=2, BC=3,BD=2=BM, 即2×3=2HD, ∴HD=, ∴sin∠HBD==, ∴tan∠HBD==tan∠PBA, ∴直线BP的表达式为y=-(x-3). 联立 解得x=-或x=3(舍去), ∴点P的坐标为(-,). 4.解:(1)∵B(8,0)在抛物线y=ax2+x-6上, ∴64a+×8-6=0,∴a=-,y=-x2+x-6. 当y=0时,-t2+t-6=0, ∴t1=3,t2=8(舍去),∴t=3. ∵B(8,0)在直线y=kx-6上,∴8k-6=0,∴k=. (2)如图1,过点P作PM⊥x轴于点M. ∵P(m,-m2+m-6), ∴PM=m2-m+6,AM=m-3. 在Rt△COA和Rt△AMP中, ∵∠OAC+∠PAM=90°,∠APM+∠PAM=90°, ∴∠OAC=∠MPA,∴△COA∽△AMP, ∴=, ∴=,整理得m2-13m+30=0, 解得m1=3(舍去),m2=10, ∴P(10,-). (3)如图2,过点P作PN⊥x轴交BC于点N,过点N作NE⊥y轴于点E. 设P(m,-m2+m-6). 由(1)知y=x-6,∴N(m,m-6), 则PN=-m2+m-6-(m-6)=-m2+2m. 易证△PQN∽△BOC,∴==. ∵OB=8,OC=6,BC=10,∴NQ=PN,PQ=PN. 易证△CNE∽△CBO,∴CN=EN=m, ∴CQ+ PQ=CN+NQ+PQ=CN+PN=m- m2+2m=- m2+ m=- (m- )2+ , ∴当m=时,CQ+PQ的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $