12 题组十二 反比例函数综合题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学加练本Word练习

题组十二　反比例函数综合题 1.已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=x的图象交于点A(2,a),点P在线段OA的延长线上. (1)求反比例函数的表达式; (2)如图1,过点P作y轴的平行线l,l与y=(x>0)的图象交于点B,与x轴交于点C,当线段PB=OC时,求点B的坐标; (3)在(2)的条件下,如图2,连接AB并延长,与x轴交于点D,Q为x轴上一点,且满足∠AQO=∠ADO+∠OPC,求点Q的坐标. 2.(2025·济南天桥三模)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象相交于A(2,3),B(6,n)两点,与x轴相交于点C. (1)求一次函数与反比例函数的表达式. (2)点P是y轴上一动点,连接AP,BP,当△ABP面积为10时,请求出点P的坐标. (3)将线段AB绕点B顺时针旋转90°,得到线段BD,连接CD,在反比例函数的图象上是否存在一点Q,使得∠CDB+∠QCO=90°?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=ax+2与直线y=x+5相交于点A(-1,m),与x轴相交于点B,点C在反比例函数y=(k>0)的图象上. (1)求a的值及点B的坐标. (2)若△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,求点C的坐标. (3)过点A,C的直线与x轴交于点D,点E与点D关于点B对称.若存在AD=2CD,使得∠EAO=∠EDA,请直接写出k的值. 备用图 4.(2025·济南长清二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与 y轴交于点A,与反比例函数y=(k>0)交于点B(b,3). (1)求b,k的值; (2)点C是x轴正半轴上一点,连接BC交反比例函数y=(k>0)于点D,连接AD,若BD=2CD,求△ABD的面积; (3)在(2)的条件下,将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,求点E的坐标. 题组十二　反比例函数综合题 1.解:(1)∵正比例函数y=x的图象过点A(2,a), ∴a=2,∴A(2,2). ∵反比例函数y=(x>0)的图象过点A(2,2), ∴2=,∴k=4,∴反比例函数的表达式为y=. (2)∵点P在线段OA的延长线上,∴设P(m,m),m>2. ∵直线l∥y轴,且l与y=(x>0)的图象交于点B,与x轴交于点C, ∴B(m,),C(m,0),∴PB=m-,OC=m. ∵PB=OC,∴m-=m, 解得m=4(负值已舍去),∴B(4,1). (3)由(2)得CO=4,CP=4,∴CO=CP. ∵∠PCO=90°,∴∠POC=∠CPO=45°, ∴∠AQO=∠ADO+∠OPC=∠ADO+∠COP=∠PAB, ∴△QOA∽△APB,∴=. ∵A(2,2),P(4,4),B(4,1),∴OA=2,AP=2,PB=3, ∴=,解得OQ=, ∴Q(,0). 2.解:(1)∵反比例函数的图象经过点A(2,3), ∴3=,∴m=2×3=6, ∴反比例函数的表达式为y=. 将B(6,n)代入y=得n==1, ∴B(6,1). 把A(2,3)和B(6,1)分别代入y=kx+b得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+4. 图1 (2)设直线y=-x+4交y轴于点G,如图1. 令x=0,则y=4,∴G(0,4). 设P(0,y),则 PG=|y-4|. ∵S△ABP=PG·(xB-xA)=10, ∴|y-4|×(6-2)=10, 解得y=-1 或9, ∴点P的坐标为(0,-1)或(0,9). 图2 (3)存在.如图2,延长CQ交y轴于点M. ∵直线AB与x轴交于点C, ∴y=-x+4=0, 解得 x=8,∴C(8,0). ∵A(2,3),B(6,1), ∴BC==, AB==2. ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°,得到线段BD, ∴BD=AB=2,∠ABD=∠CBD=90°. ∵∠COM=90°,∴∠CBD=∠COM, ∴∠CDB+∠DCB=90°. ∵∠CDB+∠QCO=90°, ∴∠DCB=∠QCO,∴△CMO∽△CDB, ∴=, ∴=, ∴OM=16,∴M(0,16), 则易知直线CQ的表达式为 y=-2x+16. 联立 解得 ∴点Q的坐标为(4-,8+2)或(4+,8-2). 3.解:(1)将点A的坐标代入y=x+5得m=-1+5=4,即点A(-1,4). 将点A的坐标代入y=ax+2得4=-a+2,解得a=-2, ∴直线AB的表达式为y=-2x+2,∴点B(1,0). (2)如图,当点C在第一象限时,过点A,C分别作x轴的垂线,垂足分别为M,N,∴∠AMB=∠BNC=90°. ∵△ABC为等腰直角三角形, ∠ABC=90°, ∴AB=BC,∠MAB+∠ABM=90°, ∠ABM+∠CBN=90°, ∴∠MAB=∠NBC, ∴△AMB≌△BNC(AAS), ∴BN=AM=4,CN=BM=2, ∴C(5,2). 当点C在第三象限时,同理可得C(-3,-2). 综上所述,点C的坐标为(5,2)或(-3,-2). (3)k的值为-1或3-1. 提示:如图,当点C在第一象限时,设D(t,0). ∵点E与点D关于点B对称,∴E(2-t,0), ∴OE=t-2,DE=2t-2,AE2=(2-t+1)2+(0-4)2. ∵∠AEO=∠DEA,∠EAO=∠EDA, ∴△EAO∽△EDA,∴=, 则AE2=DE·OE,即(2-t+1)2+(0-4)2=(2t-2)(t-2), 解得t=(负值已舍去),即点D(,0). ∵AD=2CD,∴点C为AD的中点, ∴C(,2), ∴k=×2=-1. 如图,当点C在第三象限时. 设D(t,0),则E(2-t,0), ∴OE=2-t,DE=2-2t, AE2=(2-t+1)2+(0-4)2. 同理可得AE2=DE·OE, 即(2-t+1)2+(0-4)2=(2-2t)(2-t), 解得t=-(正值已舍去), ∴D(-,0). ∵AD=2CD, ∴C(,-2), ∴k=3-1. 综上所述,k的值为-1或3-1. 4.解:(1)∵一次函数y=2x+2的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(b,3), ∴把B(b,3)代入y=2x+2中得3=2b+2, 解得b=, ∴B(,3). 把B(,3)代入y=得k=, 即b=,k=. 图1 (2)如图1,过点B作BG⊥x轴于点G,过点D作DH⊥x轴于点H,延长CB交y轴于点K. ∵BD=2CD,∴CD=BC. ∵∠BGC=∠DHC=90°, ∴BG∥DH, ∴△BCG∽△DCH, ∴===, ∴DH=BG=×3=1. 由(1)知反比例函数的表达式为y=. 当y=1时,有1=, 解得x=, ∴D(,1). 设直线BD的表达式为y=kx+b,将点B、点D的坐标分别代入得解得 ∴直线BD的表达式为y=-2x+4. 当x=0时,y=4,∴K(0,4). 易知OA=2,∴AK=4-2=2, ∴S△ABD=S△ADK-S△ABK=×2×-×2×=1. (3)如图2,过点D作HG∥x轴,作EH⊥HG于点H,BG⊥HG于点G, 图2 则BG=2,GD=1,∠BGD=∠DHE=90°, ∴∠BDG+∠DBG=90°. ∵将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE, ∴BD=DE,∠BDE=90°, ∴∠EDH+∠BDG=90°, ∴∠EDH=∠DBG. 在△BDG和△DEH中, ∴△BDG≌△DEH(AAS), ∴DH=BG=2,EH=DG=1, ∴E(,2). 学科网（北京）股份有限公司 $