10 题组十 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学加练本Word练习

题组十　二次函数的图象与性质 1.关于x的二次函数y=ax2+bx+c的四种说法:①若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0),则b2-4ac≥0;②若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根;③若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(c,0),则一定有ac+b+1=0;④若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(x0,0),则b2-4ac=(2ax0+b)2.错误的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.① B.② C.③ D.④ 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①ac+b>0;②9a+c<3b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠-1).其中正确结论的个数是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2025·济南槐荫二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②b2-4ac>0;③4a+c>0;④若t为任意实数,则有a-bt≤at2+b;⑤当图象经过点(,2)时,方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x1+2x2=-.其中正确的结论有(　　) A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.②③④⑤ 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论中:①a-b+c=0;②若点(-3,y1),(2,y2),(4,y3)均在该二次函数图象上,则y1<y2<y3;③若m为任意实数,则am2+bm+c≤-4a;④若a+bx1=a+bx2且x1≠x2,则x1+x2=-2;⑤方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2,且x1<x2,则x1<-1,x2>3.其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-2,0),对称轴为直线 x=1,则以下结论:①abc<0;②8a+c>0;③若A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;④点M,N是抛物线与x轴的两个交点,若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PN,则a的取值范围为a≥1;⑤若方程a(x+2)·(4-x)=-2的两根为x1,x2,且x1<x2,则-2≤x1<x2<4.其中错误的结论有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题组十　二次函数的图象与性质 1.C　【解析】①图象过点(1,0),则代入得a+b+c=0,此时二次方程ax2+bx+c=0至少有一个实根x=1,故Δ=b2-4ac≥0,原说法正确,不符合题意. ②由条件可知方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,故Δ>0,原说法正确,不符合题意. ③图象过点(c,0),代入得ac2+bc+c=0,即c(ac+b+1)=0,则ac+b+1=0或c=0,原说法错误,符合题意. ④若x0是方程的根,则a+bx0+c=0,解得c=-a-bx0,代入Δ=b2-4ac得Δ=b2-4a(-a-bx0)=4a2+4abx0+b2=(2ax0+b)2,原说法正确,不符合题意. 2.B　【解析】∵抛物线开口向下,∴a<0. ∵对称轴为直线x=-1, ∴-=-1,b=2a<0. ∵图象与y轴的交点在正半轴,∴c>0,∴ac<0, ∴ac+b<0,∴①错误. ∵对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间, ∴抛物线和x轴的另一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间, ∴把(-3,0)代入抛物线得y=9a-3b+c<0, ∴9a+c<3b,∴②正确. ∵把(1,0)代入抛物线得y=a+b+c<0,∴2a+2b+2c<0. ∵b=2a,∴3b+2c<0,∴③正确. ∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴y最大=a-b+c, ∴y=am2+bm+c<a-b+c(m≠-1), ∴am2+bm+b<a,即m(am+b)+b<a, ∴④正确. 综上所述,正确的结论有3个. 3.D　【解析】由函数图象可知a>0,b>0,c<0, ∴abc<0,故①错误. ∵抛物线与x轴有两个不同的交点, ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根, ∴b2-4ac>0,故②正确. ∵抛物线的对称轴为直线x=-1, ∴-=-1,即b=2a. 当x=1时,函数值大于零,∴a+b+c>0, 即a+2a+c>0,∴3a+c>0. 又∵a>0,∴4a+c>3a+c>0,故③正确. ∵抛物线开口向上,且对称轴为直线x=-1, ∴二次函数有最小值为a-b+c. 对于抛物线上的任意一点,令其横坐标为t, 则at2+bt+c≥a-b+c, 即a-bt≤at2+b,故④正确. ∵函数图象经过点(,2), ∴x=是方程ax2+bx+c=2的一个解, 即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点的横坐标为, 根据抛物线的对称性可知,另一个交点的横坐标为-, ∴方程ax2+bx+c-2=0的两根为-和, 即x1=-,x2=, ∴x1+2x2=-+2×=-,故⑤正确. 综上所述,②③④⑤正确. 4.C　【解析】如图. ∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0), ∴当x=-1时,可有a-b+c=0,故结论①正确. ∵a<0, ∴该二次函数的图象开口向下, ∴函数图象上的点距离对称轴越远,函数值越小. ∵对称轴为直线x=1,|1-(-3)|=4,|2-1|=1,|4-1|=3,1<3<4,∴y1<y3<y2,故结论②错误. ∵该函数图象的对称轴为直线x=-=1, ∴b=-2a. ∵a-b+c=0,即a-(-2a)+c=0, ∴c=-3a. ∵该二次函数的图象开口向下, ∴当x=1时,该函数取最大值, ∴m为任意实数时,可有am2+bm+c≤a+b+c, 即am2+bm+c≤a+(-2a)+(-3a)=-4a,故结论③正确. 若a+bx1=a+bx2且x1≠x2, 则y1=a+bx1+c=a+bx2+c=y2, ∴=1,即x1+x2=2,故结论④错误. ∵方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2, ∴抛物线与直线y=-1的交点的横坐标为x1,x2. 由抛物线的对称性可知该抛物线与x轴的另一交点为(3,0), 即该抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0). ∵该抛物线开口向下,x1<x2, ∴x1<-1,x2>3,故结论⑤正确. 综上所述,正确结论有①③⑤,共3个. 5.D　【解析】由图象可知a>0,c<0,->0,∴b<0, ∴abc>0,故①错误,符合题意. ∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-=1, ∴b=-2a. 当x=-2时,y=4a-2b+c=0,∴4a+4a+c=0, ∴8a+c=0,故②错误,符合题意. ∵A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点, ∴由抛物线的对称性可知x1+x2=1×2=2. 当x=2时,y=4a+2b+c=4a-4a+c=c, 故③正确,不符合题意. 由题意可知M,N到对称轴的距离为3. 当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时, 在x轴下方的抛物线上存在点P,使得PM⊥PN, 即≤-3. ∵8a+c=0,∴c=-8a. ∵b=-2a,∴≤-3, 解得a≥,故④错误,符合题意. ⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0), ∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-4). 若方程a(x+2)(4-x)=-2, 即方程a(x+2)(x-4)=2的两根为x1,x2, 则x1,x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标. ∵x1<x2,∴x1<-2<4<x2,故⑤错误,符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $