10 题组十 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学加练本Word练习

题组十　二次函数的图象与性质

 

 

1.关于x的二次函数y=ax2+bx+c的四种说法:①若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0),则b2-4ac≥0;②若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根;③若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(c,0),则一定有ac+b+1=0;④若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(x0,0),则b2-4ac=(2ax0+b)2.错误的是              (　　)

　　　　　　　　　　　　　　　

A.① B.② C.③ D.④

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①ac+b>0;②9a+c<3b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠-1).其中正确结论的个数是              (　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

3.(2025·济南槐荫二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②b2-4ac>0;③4a+c>0;④若t为任意实数,则有a-bt≤at2+b;⑤当图象经过点(,2)时,方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x1+2x2=-.其中正确的结论有(　　)

A.①②③

B.②③④

C.②③⑤

D.②③④⑤

4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论中:①a-b+c=0;②若点(-3,y1),(2,y2),(4,y3)均在该二次函数图象上,则y1<y2<y3;③若m为任意实数,则am2+bm+c≤-4a;④若a+bx1=a+bx2且x1≠x2,则x1+x2=-2;⑤方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2,且x1<x2,则x1<-1,x2>3.其中正确结论的个数是(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

5.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-2,0),对称轴为直线 x=1,则以下结论:①abc<0;②8a+c>0;③若A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;④点M,N是抛物线与x轴的两个交点,若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PN,则a的取值范围为a≥1;⑤若方程a(x+2)·(4-x)=-2的两根为x1,x2,且x1<x2,则-2≤x1<x2<4.其中错误的结论有              (　　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

题组十　二次函数的图象与性质

1.C　【解析】①图象过点(1,0),则代入得a+b+c=0,此时二次方程ax2+bx+c=0至少有一个实根x=1,故Δ=b2-4ac≥0,原说法正确,不符合题意.

②由条件可知方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,故Δ>0,原说法正确,不符合题意.

③图象过点(c,0),代入得ac2+bc+c=0,即c(ac+b+1)=0,则ac+b+1=0或c=0,原说法错误,符合题意.

④若x0是方程的根,则a+bx0+c=0,解得c=-a-bx0,代入Δ=b2-4ac得Δ=b2-4a(-a-bx0)=4a2+4abx0+b2=(2ax0+b)2,原说法正确,不符合题意.

2.B　【解析】∵抛物线开口向下,∴a<0.

∵对称轴为直线x=-1,

∴-=-1,b=2a<0.

∵图象与y轴的交点在正半轴,∴c>0,∴ac<0,

∴ac+b<0,∴①错误.

∵对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,

∴抛物线和x轴的另一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间,

∴把(-3,0)代入抛物线得y=9a-3b+c<0,

∴9a+c<3b,∴②正确.

∵把(1,0)代入抛物线得y=a+b+c<0,∴2a+2b+2c<0.

∵b=2a,∴3b+2c<0,∴③正确.

∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴y最大=a-b+c,

∴y=am2+bm+c<a-b+c(m≠-1),

∴am2+bm+b<a,即m(am+b)+b<a,

∴④正确.

综上所述,正确的结论有3个.

3.D　【解析】由函数图象可知a>0,b>0,c<0,

∴abc<0,故①错误.

∵抛物线与x轴有两个不同的交点,

∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,

∴b2-4ac>0,故②正确.

∵抛物线的对称轴为直线x=-1,

∴-=-1,即b=2a.

当x=1时,函数值大于零,∴a+b+c>0,

即a+2a+c>0,∴3a+c>0.

又∵a>0,∴4a+c>3a+c>0,故③正确.

∵抛物线开口向上,且对称轴为直线x=-1,

∴二次函数有最小值为a-b+c.

对于抛物线上的任意一点,令其横坐标为t,

则at2+bt+c≥a-b+c,

即a-bt≤at2+b,故④正确.