8 题组八 圆的综合题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学加练本Word练习

题组八　圆的综合题 1.如图,在☉O中,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,点P是 的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D. (1)求证:DP是☉O的切线. (2)若AC=5,sin∠APC=,求AP的长. 2.(2024·深圳)如图,在△ABD中,AB=BD,☉O为△ABD的外接圆,BE为☉O的切线,AC为☉O的直径,连接DC并延长交BE于点E. (1)求证:DE⊥BE. (2)若AB=5,BE=5,求☉O的半径. 3.(2024·济南槐荫一模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,AB与CD交于点E,P是AB延长线上一点,=,∠BCD=∠BCP. (1)求证:CP是☉O的切线. (2)若BP=2,CP=4,求☉O的直径. 4.如图,AD是☉O的直径,AB为☉O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过点B的切线交OP于点C. (1)求证:∠CBP=∠ADB. (2)若OA=4,AB=2,求线段BP的长. 题组八　圆的综合题 1.(1)证明:∵点P是的中点,∴=, ∴∠DAP=∠PAB. ∵OA=OP,∴∠APO=∠PAO, ∴∠DAP=∠APO,∴AD∥OP. ∵PD⊥AD,∴PD⊥OP. ∵OP为☉O的半径,∴DP是☉O的切线. (2)解:如图,连接BC交OP于点E. ∵线段AB为☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵点P是 的中点, ∴OP⊥BC,CE=BE, ∴四边形CDPE是矩形, ∴CD=PE,PD=CE. ∵∠APC=∠ABC, ∴sin∠APC=sin∠ABC==. ∵AC=5,∴AB=13, ∴BC==12,∴PD=CE=BE=6. 易知OE=AC=. ∵OP=, ∴CD=PE=-=4,∴AD=9. 在Rt△APD中,AP===3. 2.(1)证明:如图,连接BO并延长交AD于点H,连接OD. ∵AB=BD,OA=OD, ∴BO垂直平分AD, ∴∠BHD=90°. ∵BE为☉O的切线, ∴OB⊥BE, ∴∠OBE=90°. ∵AC为☉O的直径, ∴∠ADC=90°, ∴四边形BEDH为矩形,∴∠E=90°,∴DE⊥BE. (2)解:∵BO垂直平分AD,∴AH=DH=AD. ∵四边形BEDH为矩形,∴DH=BE=5. 在Rt△BDH中,BD=AB=5,DH=5, ∴BH==5. 设☉O的半径为r,则OH=5-r,OD=r. 在Rt△ODH中,(5-r)2+52=r2, 解得r=3, 即☉O的半径为3. 3.(1)证明:如图,连接OC. ∵=,∴OB⊥CD, ∴∠ECB+∠OBC=90°. ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC. ∵∠BCD=∠BCP, ∴∠BCP+∠OCB=90°, 即∠PCO=90°,∴OC⊥CP. ∵OC是☉O的半径, ∴CP是☉O的切线. (2)解:∵=,∴∠A=∠BCD. ∵∠BCP=∠BCD,∴∠BCP=∠A. 又∵∠P=∠P, ∴△BCP∽△CAP,∴=. ∵BP=2,CP=4,∴=, ∴AP=8,∴AB=AP-BP=8-2=6, ∴☉O的直径是6. 4.(1)证明:如图,连接OB. ∵AD是☉O的直径, ∴∠ABD=90°, ∴∠A+∠ADB=90°. ∵BC为☉O的切线, ∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°, ∴∠OBA+∠CBP=90°. ∵OA=OB,∴∠A=∠OBA, ∴∠CBP=∠ADB. (2)解:∵OP⊥AD, ∴∠POA=90°,∴∠P+∠A=90°,∴∠P=∠D, ∴△AOP∽△ABD, ∴=,即=,∴BP=14. 学科网（北京）股份有限公司 $