7 题组七 解直角三角形的实际应用题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学加练本Word练习

题组七　解直角三角形的实际应用题 1.某数学兴趣小组到一公园测量古塔的高度,如图所示,古塔剖面图与斜坡剖面图在同一平面内,在斜坡CD底部C处测得塔顶B的仰角为54.5°,沿斜坡CD走13米到达斜坡上的D处,测得塔顶B的仰角为26.7°,且斜坡CD的坡度i=1∶2.4,其中点A,C,G,F在同一条水平直线上. (1)求点D到地面AC的距离; (2)求古塔AB的高.(精确到0.1米.参考数据:tan 54.5°≈1.40,sin 54.5°≈0.81,cos 54.5°≈0.58,tan 26.7°≈0.50,sin 26.7°≈0.45,cos 26.7°≈0.89) 2.如图1是政府给贫困户新建的房屋,如图2是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面上点C处测得屋顶A的仰角为35°,此时C,E,A三点恰好共线,继续向房屋方向走8 m到达点D时,又测得点E的仰角为63.4°,房屋的顶层横梁EF=12 m,EF∥CB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据:sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00) (1)求屋顶到横梁EF的距离AG; (2)求房屋的高AB.(结果精确到1 m) 3.(2025·济南天桥一模)【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性,如图1所示,它的侧面可视作如图2,AB为底板,AC为支撑杆,CD为电脑托板,分别可绕A,C转动,测得AC=16 cm,CD=20 cm. 【实验研究】绕支点转动,调节角度,测量数据,数学推算. 任务1:若∠BAC=30°,∠ACD=75°,求此时电脑托板的最高点D到底板AB的距离. (精确到0.1 cm,≈1.41) 【应用研究】为了适应个性化需要,增强舒适度,进行应用研究. 任务2:陈老师工作时习惯把电脑打开成大于120°角(如图3,∠CDE>120°).现小勇同学为陈老师准备电脑,把电脑展开后发现电脑屏幕ED垂直于底板AB,量得∠ACD=40°,点C到底板AB的距离CH是4 cm,问:这样是否符合陈老师的工作习惯?请说明理由. (参考数据:sin 14.48°≈0.25,cos 75.52°≈0.25,tan 14.04°≈0.25) 4.根据以下素材,探索完成任务. 探究遮阳伞下的影子长度 素材 1 某款自动旋转遮阳伞的伞面完全张开时张角呈180°,如图是其侧面示意图.已知支架AB长为3米,且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.6米,点E固定在伞面上,且伞面直径DF是DE的4倍.当伞面完全张开时,点D,E,F始终共线.为实现遮阳效果最佳,伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化,自动调整手柄D沿着AB移动,以保证太阳光线与DF始终垂直 素材 2 某地区某天下午不同时刻的太阳高度角α(太阳光线与地面的夹角)参照表: 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高 度角 (度) 90 75 60 45 30 15 素材 3 小明坐在露营椅上的高度(头顶到地面的距离)约为1.2米,如图2,小明坐的位置记为点Q 问题解决 任务 1 确定遮阳 伞的影子 长度 若某一时刻测得BD=2.04米,求此时遮阳伞的影子GH的长度 任务 2 判断是否 被照射到 这天14点,小明坐在距离支架3.6米的点Q处,请判断此时小明是否会被太阳光照射到,并说明理由 题组七　解直角三角形的实际应用题 1.解:(1)∵斜坡CD的坡度i=1∶2.4, ∴设DG=x米,CG=2.4x米. ∵CD=13米,DG2+CG2=CD2, ∴x2+(2.4x)2=132, 解得x=5(负值已舍去). 答:点D到地面AC的距离为5米. (2)如图,过点D作DH⊥AB,垂足为H, 则易知AH=DG=5米,DH=AG. ∵DG=5米,∴CG=12米. 设AC=m米, 则DH=AG=CG+AC=(m+12)米. ∵∠BCA=54.5°, ∴AB=AC·tan 54.5°≈1.4m米. ∵∠BDH=26.7°, ∴BH=DH·tan 26.7°≈0.5(m+12)米. ∵BH+AH=AB, ∴0.5(m+12)+5=1.4m, 解得m=, ∴AB=1.4m≈17.1米. 答:古塔AB的高约为17.1米. 2.解:(1)由题意得AG⊥EF,EG=EF=6 m. ∵EF∥CB,∴∠AEG=∠ECB=35°. 在Rt△AEG中,AG=EG·tan 35°≈6×0.7=4.2(m). 答:屋顶到横梁EF的距离AG约为4.2 m. (2)如图,过点E作EH⊥BC,垂足为H,则EH=GB. 设DH=x m, 在Rt△DEH中,∠EDH=63.4°, ∴EH=DH·tan 63.4°≈2x m. ∵CD=8 m, ∴CH=CD+DH=(8+x)m. 在Rt△ECH中,∠C=35°, ∴tan 35°==≈0.7,∴x≈4.3. 经检验,x≈4.3是原方程的解,且符合题意, ∴GB=EH=8.6 m, ∴AB=AG+GB=4.2+8.6≈13(m). 答:房屋的高AB约为13 m. 3.解:任务1:如图1,过点D作DM⊥AB于点M,过点C作CN⊥DM于点N,过点C作CR⊥AB于点R, 则CN∥AB,四边形CNMR为矩形, ∴CR=MN,∠ACN=∠CAB=30°. 图1 在Rt△ACR中,sin∠BAC=,AC=16 cm, ∴MN=CR=AC·sin∠BAC=16×=8(cm). 在Rt△DNC中,∠DCN=∠ACD-∠ACN=75°-30°=45°. ∵sin∠DCN=,CD=20 cm, ∴DN=CD·sin∠DCN=20×≈14.1(cm), ∴DM=DN+MN=14.1+8=22.1(cm). 答:点D到底板AB的距离约为22.1 cm. 任务2:不符合陈老师的工作习惯.理由如下: 如图2,延长ED交AB于点F, 过点C作CK⊥DF于点K. 图2 在Rt△ACH中,sin∠CAH===0.25, ∴∠CAH≈14.48°. ∵CK⊥DF,ED⊥AB, ∴CK∥AB,∴∠ACK=∠CAH=14.48°, ∴∠DCK=∠ACD-∠ACK=40°-14.48°=25.52°, ∴∠EDC=∠CKD+∠DCK=90°+25.52°=115.52°<120°, ∴不符合陈老师的工作习惯. 4.解:任务1:如图,过点E作EI⊥AB于点I,过点G作GJ⊥FH于点J. ∵BD=2.04米,AB=3米,∴AD=0.96米. ∵AE=DE=0.6米, ∴DI=AD=0.48米. ∵∠EID=90°,∴IE==0.36米, ∴sin∠IDE=. ∵∠FDG=∠DGJ=90°, ∴∠IDE=∠DGB=∠α, ∴sin α=sin∠IDE. ∵四边形DGJF为矩形, ∴GJ=DF=2.4米. 在Rt△GJH中,GH==2.4×=4(米). 任务2:小明会被照射到. 理由如下:如图,过点Q作PQ⊥BC交HF于点P. 由任务1知∠IDE=∠α=∠DGB. ∵∠α=60°,DE=0.6米, ∴DI=DE= 米,∴AD= 米,∴BD= 米. 在Rt△DBG中,BG====(米). 在Rt△GJH中,GH===米. 在Rt△PQH中,当PQ=1.2米时, QH====(米). ∵+<3.6+, ∴小明会被照射到. 学科网（北京）股份有限公司 $