精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期数学学科综合练习(一)

初三年级数学学科综合练习（一） 时长：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算 –2–6的结果是( )． A. –8 B. 8 C. –4 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：-2-6=-2+(-6)=-8，故选A． 2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图的认识，运用数形结合思想以及空间想象能力作答即可． 【详解】解：观察几何体的表面展开图，得出该几何体是三棱柱， 故选：B 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可直接进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，计算结果不为，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，计算结果不为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法及幂的乘方是解题的关键． 4. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，各个选项的不等式与组成不等式组，按照判断不等式组解集的口诀判断各个选项组成的不等式组的解集即可． 【详解】解：A、 不等式组无解，此选项中的不等式与组成的不等式组无解，故此选项符合题意； B、 不等式组的解集为，此选项中的不等式与组成的不等式组有解，故此选项不符合题意； C、 不等式组的解集为，此选项中的不等式与组成的不等式组有解，故此选项不符合题意； D、 不等式组的解集为：，此选项中的不等式与组成的不等式组有解，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，为垂直于地面放置的竹竿， 米，当太阳光线与竹竿所夹锐角为时，竹竿在地面上的影子长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：解：由题意得：， 在 中， ， 米， ∴， ∴（米）， 即竹竿在地面上的影子长为米． 故选：A． 6. 如图，在 中， ，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得平分，，然后根据全等三角形的性质和角平分线的性质逐项证明判断即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，， ∴， ∵ ， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意． 7. 有一张三角形纸片 ，已知 ，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵ ，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得 ， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 写出一个比大的有理数______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，先利用算术平方根的性质估算出的大小，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴比大的一个有理数可以是 ， 故答案为： ． 10. 分式和的最简公分母为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 11. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先由已知等式整理得到的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为，求得正多边形的中心角为 ，于是得到结论． 【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为， ∴正多边形的中心角为 ， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 13. 在 中， ，，将 绕 点逆时针旋转后得到 ．则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用旋转前后图形全等的性质，将阴影部分的面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】解：在 中，∵ ， ， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴． ∵阴影部分的面积． ． ∴阴影部分的面积是． 14. 如图，在矩形中，，点在对角线 上，过点作 ，分别交边于点，连接．给出下面四个结论：①；② 的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】作于点，利用勾股定理求得，证明，求得；；四边形的面积；当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形，在 中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵在矩形中， ， ， ∴ ，，， 四边形和都是矩形， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，，故②不正确； ∴，故①正确； ∵ ，，， ∴四边形的面积为，故③正确； 当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形， ∴， 设，则， 在 中，由勾股定理得，即， 解得， ∴，故④正确． 综上所述，正确结论的序号有①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式，平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的乘法以及化简求值，熟练掌握单项式乘以多项式，平方差公式是解题的关键． 16. 三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为 、 、．已知 、 混合后溶液会变为红色， 、混合后溶液也会变为红色， 、混合后溶液不变色．从 、 、三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合．用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 【答案】 【解析】 【分析】通过列表法列出从 、 、三种溶液中随机选择两种混合的所有等可能结果，数出总结果数为6种，再结合题目中给出的 与 、 与混合变红， 与混合不变色的条件，从所有结果中找出混合后溶液为红色的结果数为4种，最后将符合条件的结果数和总结果数代入概率公式计算，即可得到混合后溶液颜色为红色的概率． 【详解】解：列出从 、 、三种溶液中随机选择两种的所有等可能结果如下： 红 红 红 红 由表可知，所有等可能的结果共有6种，其中混合后溶液颜色为红色的结果有4种， ∴； 答：混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率是． 17. 小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市， 公司的运输速度是 公司的倍，选用 公司送此文件会比 公司早到5小时，求 公司的运输速度． 【答案】60千米/小时 【解析】 【分析】设B公司的运输速度为x千米/小时，B公司的时间为，A公司的时间为，根据A公司送此文件会比B公司早到5小时可以建立等式． 【详解】解：设B公司的运输速度为x千米/小时，则 公司的运输速度是千米/小时，根据题意得： 解得 经检验 是原方程的解且符合题意， 答：B公司的运输速度为60千米/小时． 18. 如图，在平行四边形中，点是对角线 上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴ 平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故 ，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】略 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点 、 均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作．点在格点上． （1）在图中，是面积为2的等腰三角形； （2）在图②中，是面积为的直角三角形； （3）在图③中，是面积为的锐角三角形． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 如图 ，即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，由图可得，； （2）取格点，由图可得，，可得，得是直角三角形， ； （3）取格点，由图可得，，，可得，得是锐角三角形，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： （1）补全频数分布直方图： （2）填空：_____，_____； （3）女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； （4）如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） （4）542名 【解析】 【分析】（1）先根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数求得的人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）先求出样本中女生E组人数，从而可求出样本中女生E组人数所占比例，最后乘即可； （4）先求出男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数，再用男生和女生人数分别乘以样本中男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数所占比例，最后相加即可． 【小问1详解】 解：20名男生的体能测试成绩分的人数为（名）， ∴补全直方图如下： 【小问2详解】 解：在男生成绩20名男生的体能测试成绩中，88出现次数最多，即男生的众数 ； 将女生的成绩从小到大排列，处于第10、11位的是78和84，故的中位数． 故答案为：81，88． 【小问3详解】 解：样本中女生A、B组总人数为名，C组人数为6名，D组人数为3名， ∴样本中女生E组人数为（名）， ∴表示这组数据的扇形圆心角的度数是． 故答案为：． 【小问4详解】 解：∵样本中男生成绩不低于80分的学生人数为名，女生成绩不低于80分的学生人数为名， ∴估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为（名）． 答：估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为542名． 21. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 【答案】（1）60 （2） （3）途中需要充电， 理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数比较大小的应用． （1）根据函数图象，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出段的函数解析式，求出解析式即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为，与比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， ∴段的函数解析式为； 【小问3详解】 略 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点、分别在边、上，且 ，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）①求证： ； ② _____度． （2）如图②，取的中点，连结，线段长度为_____，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持 ，连接，过点作 交直线于点．线段的最小值为_____． 【答案】（1）∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即， 在 和 中， ， ∴， ∴ ． 90； （2）2； ；（3） 【解析】 【分析】（1）证明 即可；根据 可得 ，即可得 ； （2）由是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，利用勾股定理求出的长，根据 即可求解的最小值； （3）设， 交于点，取的中点，连接 ，，过点作 于点，证明 ，得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用勾股定理求出的长，根据 ，即可求出的最小值． 【详解】解：（1）略 由可知 ， ∴ ， ∴ ． （2）由（1）可知 ， ∵是的中点， ∴ ， 在 中，， ∴ ， 当，，共线时，取等号，即线段长度的最小值为 ． （3）如图，设， 交于点，取的中点，连接 ，，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵ ，是的中点， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 当，，共线时，取等号，即线段长度的最小值为． 【点睛】熟练运用三角形的三边关系：两边之差小于第三边求线段长度最小值是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，为边 的中点，点从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点 停止；同时点从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） （1）当点与点重合时，的值为_____； （2）用含的代数式表示长； （3）将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： （4）当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和 为边作．连接 ，直接写出 将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】（1）（秒） （2）或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）先运用勾股定理求得 的长，进而求得点Q运动的路程，即的长，再根据时间，路程与速度的关系列式求时间t即可； （2）分和两种情况，分别利用时间、路程与速度的关系列式即可； （3）分和两种情况，分别利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用相似三角形的性质列比例求解即可； （4）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，连接交于点O，利用平行四边形的性质和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程求解即可；②当时，连接交于点O，类比①的方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵为边 的中点， ∴， ∴当点与点重合时，点Q运动的路程为， ∴当点与点重合时，的值为（秒）． 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：长为或． 【小问3详解】 解：由题意得： ， ， 当时，若，则， ，解得：； 若， ， ∴，解得：（不合题意，舍去）． 当时， 由（2）知：， ， 若，则， ，解得：； 若，则， ，解得：（不合题意，舍去）； 综上，将分成的两部分，其中的三角形与相似时，t的值为或． 【小问4详解】 解：①如图∶当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 经过平行四边形的中心， ， ， ， ， ∵为边 的中点，， ， ， ， ∵， ，即，解得：； ②如图，当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 同理可得： ， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ，，， ，解得：． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】灵活利用分类讨论的思想是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点是该抛物线上的点，横坐标为，点的坐标．连结． （1）求该抛物线对应的函数表达式： （2）当线段平行于轴时，求线段的长： （3）当线段不与坐标轴平行时，以线段为对角线作矩形．且轴： ①若矩形被抛物线对称轴分成 两部分，求的值； ②当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①或；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键． （1）直接利用待定系数法代入求解即可； （2）根据题意得出点的纵坐标为，得出方程求解即可； （3）①设与直线 交于点D，根据题意可得，再由矩形被抛物线对称轴分成 两部分，可得或，求解即可；②根据题意得出抛物线与坐标轴的两个交点分别为，点Q在直线，且直线与x轴交于点， 然后分两种情况，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点是该抛物线上的点，横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵线段平行于轴时， ∴， 解得：， 当时，， 当时，， ∴线段的长为或； 【小问3详解】 解：①如图所示，设与直线 交于点D， ∵点的坐标， ∴点M的横坐标为 ， ∵点是该抛物线上的点，横坐标为， ∴， ∵矩形被抛物线对称轴分成 两部分， ∴或， ∴或， 解得：或或或， 当或时，点P、Q位于对称轴的同侧，不符合题意； 综上可得：或； ②由①得对称轴为 ， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时， 解得：， 抛物线与坐标轴的两个交点分别为， ∵点的坐标， ∴点Q在直线上，且直线与x轴交于点， 当点P在点Q左侧，如图， 此时， 解得：； 当点P在点Q右侧时，如图： 此时， 解得：； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科综合练习（一） 时长：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算 –2–6的结果是( )． A. –8 B. 8 C. –4 D. 4 2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，为垂直于地面放置的竹竿， 米，当太阳光线与竹竿所夹锐角为时，竹竿在地面上的影子长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在 中， ，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有一张三角形纸片 ，已知 ，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 写出一个比大的有理数______．（写出一个即可） 10. 分式和的最简公分母为________． 11. 已知，则________ 12. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 13. 在 中， ，，将 绕 点逆时针旋转 后得到 ．则图中阴影部分的面积是_____． 14. 如图，在矩形中，，点在对角线 上，过点作 ，分别交边于点，连接．给出下面四个结论：①；② 的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为、、．已知、混合后溶液会变为红色，、混合后溶液也会变为红色，、混合后溶液不变色．从、、三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合．用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 17. 小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市， 公司的运输速度是 公司的倍，选用 公司送此文件会比 公司早到5小时，求 公司的运输速度． 18. 如图，在平行四边形中，点是对角线 上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点 、 均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作．点在格点上． （1）在图中，是面积为2的等腰三角形； （2）在图②中，是面积为的直角三角形； （3）在图③中，是面积为的锐角三角形． 20. 为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： （1）补全频数分布直方图： （2）填空：_____，_____； （3）女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； （4）如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 21. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点、分别在边、上，且 ，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）①求证： ； ② _____度． （2）如图②，取的中点，连结，线段长度为_____，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持 ，连接，过点作 交直线于点．线段的最小值为_____． 23. 如图，在中，，，，为边 的中点，点从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点 停止；同时点从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） （1）当点与点重合时，的值为_____； （2）用含的代数式表示 长； （3）将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： （4）当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和 为边作．连接 ，直接写出 将分成面积相等的两部分时的值． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点是该抛物线上的点，横坐标为，点的坐标．连结． （1）求该抛物线对应的函数表达式： （2）当线段平行于轴时，求线段的长： （3）当线段不与坐标轴平行时，以线段为对角线作矩形．且轴： ①若矩形被抛物线对称轴分成 两部分，求的值； ②当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $