精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

2026年春期高二年级开学考试数学 考试范围：统计案例，数列 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的特点以及等差数列的通项公式即可求解． 【详解】由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9， 由等差数列的通项公式可得. 故选：B 2. 在利用统计量来判断两个变量与之间是否有关系时，下列说法正确的是（ ） A. 越大，“与有关系”的可信程度越小 B. 越小，“与有关系”的可信程度越小 C. 越接近于0，“与没有关系”的可信程度越小 D. 越大，“与没有关系”的可信程度越大 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立性检验的思想可判断. 【详解】根据独立性检验的思想，知观测值越小，变量有关系的可信程度越小，故只有B正确. 故选：B. 3. 已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项解得，可得等差数列的首项为，公差为2，进而可得通项公式. 【详解】因为，，为等差数列， 则，解得， 可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2， 所以此数列的通项为. 故选：B. 4. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用x/万元 18 2.2 3 5 销售额y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ） A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，得，， 所以，解得. 5. 等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，是一定为递减数列条件是 A. B. ， C. ，或， D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由数列是递减数列，可得；再根据等比数列的通项公式，可得答案. 【详解】等比数列是递减数列，， 即, 或. 故选：. 【点睛】本题考查数列的单调性和等比数列的通项公式，属于基础题. 6. 已知数列，通项公式为，那么的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，推导出数列是首项为，公差为2的等差数列，由此求出，再由配方法能够求出当前项和取到最小值时，的值． 【详解】，， ， 数列是首项为，公差为2的等差数列， ， 前项和取到最小值时，， 故选：B 7. 某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 8. 观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是（ ） A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 【答案】B 【解析】 【分析】根据观察有n条直线交点最多有个，即可得. 【详解】由题设，对于n条直线交点最多有个，则10条直线交点的个数最多是个. 故选：B 9. 已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，求出，根据等比数列的通项公式及前项和公式逐项判断. 【详解】因为，所以，所以. 因为，所以，所以，故A正确； 又，所以，所以， 所以，故B，C错误； 所以，故D正确 10. 2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为：，则（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 当每增加一个单位时，平均增加1.23个单位 D. 该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 【答案】ABC 【解析】 【详解】，，所以样本中心点为， A选项，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，A正确； B选项，将样本中心点代入回归方程，可得，故B正确； C选项，由线性回归方程可得C正确； D选项，根据回归分析的概念，跑步机投入使用的时间为10年时，所需要支出的维修费用大概是千元，故D错误． 11. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为， 因为，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以， 所以和均为的最大值，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 一凸边形（，且），各内角的度数成等差数列，公差是，最小内角，则边数______． 【答案】 【解析】 【分析】由内角和及等差数列前项和公式得到方程，解得即可. 【详解】由题意可得：， 整理得，解得或， 当时，该多边形最大角为，符合题意； 当时，该多边形最大角为，不符合题意； 所以. 故答案为： 13. 已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是________. 【答案】且 【解析】 【分析】由已知得公比为,从而且，由此能求出实数的取值集合. 【详解】因为数列是等比数列， 则数列中， 因为成等比数列， 所以且，故答案为且. 【点睛】本题主要考查等比数列的定义，意在考查对基本概念的掌握情况，属于简单题. 14. 汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损.某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型，通过实验数据分析与计算得到如下结论：①；②，令，，则回归方程应为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意，根据对数的运算性质，以及所提供的信息，列出等式，即可求解. 【详解】因为回归模型为， 因为，可得， 两边同时取对数，可得， 令，此时， 又因为，，所以，即， 所以 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列是等差数列，其中，． （1）求数列的通项公式． （2）数列从哪一项开始小于0． （3）求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值． 【答案】（1） （2）从第5项开始小于0 （3）76，4 【解析】 【分析】（1）由首项和公差可求出通项公式为； （2）令，解不等式再由，可得第5项开始小于0； （3）由等差数列前n项和公式可得，再由二次函数性质可得最大值以及对应n的值. 【小问1详解】 由题意数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得， 因为，所以数列从第5项开始小于0． 【小问3详解】 由（1）可知， 所以其前项和为， 而二次函数的对称轴为，和它最接近的整数为4， 因此当时，数列前n项和有最大值. 16. 近年来，因使用手机过久､工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表： 90后 非90后 合计 23：00前入睡 30 80 23：00后入睡 合计 100 200 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90后”有关联？ （2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇，记年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为年中国睡眠经济市场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测， 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3 根据上表数据求关于的回归方程. 参考公式：，其中.回归方程， 其中 参考数据：. 【答案】（1）列联表见解析，认为“前入睡”与“是90后”有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）补全列联表，根据公式求出，再通过独立性检验与临界值比较判断即可； （2）利用公式得到经验回归方程 【小问1详解】 列联表如下： 90后 非90后 合计 前入睡 30 50 80 后入睡 70 50 120 合计 100 100 200 零假设：“23：00前入睡”与“是90后”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“前入睡”与“是90后”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问2详解】 由的取值依次为， 得， 所以， ， 所以， 所以关于的回归方程为. 17. 已知数列中，，且满足.设，. （1）证明数列是等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系式，构造出，可证明结论； （2）利用公式求等比数列前n项和. 【小问1详解】 ，由，得， 设，则有，又， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知， 数列的前n项和. 18. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆车，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 【答案】在24小时内能构筑成第二道防线. 【解析】 【分析】因为每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，所以每辆车的工作时间构成一个等差数列，计算所有翻斗车的工作时间总和，与完成任务所需要的时间总和进行比较大小即可解决问题. 【详解】设25辆车按到达的先后顺序排列，所能工作的时间为， 由题意可知，为等差数列，其中，， 由等差数列求和公式得：, 所以在24小时内能构筑成第二道防线. 【点睛】本题考查数列在日常经济生活中的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行求解. 19. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得， 解得，或， 当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1； 当时，an（2n+79），bn＝9•； （2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1， ∴cn， ∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•， ∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•， ∴Tn＝2（2n﹣1）•3， ∴Tn＝6． 【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高二年级开学考试数学 考试范围：统计案例，数列 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 在利用统计量来判断两个变量与之间是否有关系时，下列说法正确的是（ ） A. 越大，“与有关系”的可信程度越小 B. 越小，“与有关系”的可信程度越小 C. 越接近于0，“与没有关系”的可信程度越小 D. 越大，“与没有关系”的可信程度越大 3. 已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（ ） A. B. C. D. 4. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ） A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5 5. 等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，是一定为递减数列的条件是 A. B. ， C. ，或， D. 6. 已知数列，通项公式为，那么的最小值是（ ）． A. B. C. D. 7. 某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元． A. B. C. D. 8. 观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是（ ） A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 9. 已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为：，则（ ） A. 与的样本相关系数 B C. 当每增加一个单位时，平均增加1.23个单位 D. 该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 11. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 三、填空题 12. 一凸边形（，且），各内角的度数成等差数列，公差是，最小内角，则边数______． 13. 已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a取值范围是________. 14. 汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损.某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型，通过实验数据分析与计算得到如下结论：①；②，令，，则回归方程应为__________. 四、解答题 15. 已知数列是等差数列，其中，． （1）求数列的通项公式． （2）数列从哪一项开始小于0． （3）求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值． 16. 近年来，因使用手机过久､工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表： 90后 非90后 合计 23：00前入睡 30 80 23：00后入睡 合计 100 200 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90后”有关联？ （2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇，记年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为年中国睡眠经济市场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测， 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 53 根据上表数据求关于回归方程. 参考公式：，其中.回归方程， 其中 参考数据：. 17. 已知数列中，，且满足.设，. （1）证明数列是等比数列； （2）求数列的前n项和. 18. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆车，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 19. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $