精品解析：安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】. 由，解得，即. 故. 2. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的值，再利用同角三角函数关系式以及诱导公式求解即可. 【详解】由是第二象限的角，由可得， 从而， 所以. 3. 已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出“方程有两个小于1的正根”的等价条件，再利用充分必要条件判断即得. 【详解】设，为方程的两个小于1的正根， 则，且，， 因且等价于且， 则得，且， 故是必要条件； 当，时，若取，， 此时方程无实根，故不是的充分条件. 综上可得，p是q的必要不充分条件. 4. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 B. f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 C. f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 D. f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式将化为的形式，再根据函数图象变换法则可得. 【详解】因为 ， 所以， ， ， . 所以的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称. 5. 函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，证明函数的奇偶性，推理得到其单调性，利用函数的单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】设，该函数的定义域为， ，都有，且， 所以函数是奇函数， 因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数， 故是上减函数，是上的增函数， 由，得，则， 则，解得. 6. 如果，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断正负性，再结合三角函数线判断大小即可. 【详解】因为，所以， 如图所示，在单位圆中，， 易知，则，故. 7. 已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和可知两点分别为函数的最大值点和零点，利用两点间的距离与周期 的关系，建立关于整数的表达式；再利用函数在上单调的性质确定的范围，从而筛选出符合条件的值，并求出的最大值. 【详解】∵满足， ∴，即，而， ∵在上单调，∴，即， 而，且，解得，即， 当时，，当时，， 故当时，ω最大，最大值为. 8. 我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，计算即可求解. 【详解】当时，由题中的推广可得， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为， 由恒成立，可得， 故的最小值为. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知函数，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将各选项代入后，利用诱导公式求解. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 10. 已知函数有且只有一个零点，则（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可判断A；根据基本不等式计算可判断B；根据韦达定理计算可判断CD. 【详解】对于A，因为有且只有一个零点， 所以，即， 等价于，该式显然成立，故A项正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B项错误； 对于C，因为的两根为， 所以，故C项正确； 对于D，因为方程的两根为， 所以， 所以，可得，故D项正确. 11. 已知定义在上的函数满足:当时，恒有.下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在区间上为增函数 C. 函数在区间上为增函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】令，则，∴，故A正确; 不妨设，由，可得， ∴，∴函数在区间上为增函数，故C正确， 取，此时在区间上为增函数， 而，其不是增函数，故B项错误; ∵，∴， ∵函数在区间上为增函数， ∴且， ∵，所以， ∴， ∴ ，故D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数和二次函数的定义确定的表达式，分析函数奇偶性，代入计算结果. 【详解】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，所以. 因为是上的奇函数，令， 则  ， 因此是奇函数，满足， 由，得 所以. 13. 已知，则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知结合诱导公式求出的值，再利用诱导公式以及同角三角函数关系式中商数关系转换为只含有的表达式求解即可. 【详解】因为，所以，解得： 由 . 14. 已知函数其中，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】设函数，作出其图象，将问题转化成函数的图象与函数的图象有三个交点，数形结合求解不等式即得. 【详解】当时，设函数，则， 作出函数的大致图象如图所示. 当时，， 由图知函数有三个零点，则存在实数a，使得函数的图象与函数的图象有三个交点， 即需满足且，解得. 故实数m的取值范围为. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）用定义证明函数在上是增函数； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）最大值为5，最小值为4 【解析】 【分析】（1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. 【小问1详解】 因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 16. 某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． （1）写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 【答案】（1），定义域为； （2）第9年 【解析】 【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得，然后利用对数运算求解即可. 【小问1详解】 第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）， 则，其定义域为； 【小问2详解】 由（1）得，即， 所以，即， 所以，又， 故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元. 17. 已知函数，. （1）若，求的值. （2）是否存在实数，使得，？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据条件得，再直接代入，利用特殊角的三角函数值，即可求解； （2）假设存在，根据条件得，再求出即可. 【小问1详解】 因为，则，， 则. 【小问2详解】 假设存在实数符合条件，由，， 得到，即，解得. 18. 已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且. （1）判断是否为定值，并求出定值; （2）若关于x的不等式在 上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）是定值，其定值为 （2） 【解析】 【分析】（1）用代换，结合奇偶性，解方程组可求得和，计算可得结论； （2）原不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，利用基本不等式求的最小值，即可得实数a的取值范围. 【小问1详解】 由题意，①，用代换，得， 又为R上的奇函数，为R上的偶函数，所以②， 联立①②，解得，. 因此， 故是定值，其定值为. 【小问2详解】 由（1）知，不等式，即， 得. 当时，，，不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 又 ，当且仅当，即时，等号成立， 因此可得，所以实数a的取值范围为. 19. 已知定义在实数集上的函数满足，且对任意，恒有. （1）求. （2）求证:对任意，恒有. （3）是否存在实数k，使得不等式对任意的恒成立?若存在，求k的取值范围;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，可求解； （2）令，得；分别求即可证明； （3）根据二倍角公式及辅助角公式，利用换元法，将问题转化成求二次函数在给定区间上的最值问题，可求解. 【小问1详解】 由题意，，令，可得，则. 【小问2详解】 因为，所以令，得. 因为，分别令，得； 令，得； 令，得. 所以，即命题得证. 【小问3详解】 存在实数k，使得不等式对任意的恒成立.由（2）可得，且在定义域上单调递增. 所以， 所以不等式， 等价于， 即. . 当时，，所以，. 令，. 若，即时，在上单调递减， 所以，即. 所以，即， 解得. 若，即时，在上单调递增， 所以，即 所以，， 此不等式组无解. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减. 所以，即， 所以. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减. 所以，即， 所以. 综上所述，k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 B. f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 C. f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 D. f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 5. 函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么下列各式正确的是（ ） A B. C. D. 7. 已知满足，，且在上单调，则ω最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知函数，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有且只有一个零点，则（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 11. 已知定义在上的函数满足:当时，恒有.下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在区间上为增函数 C. 函数在区间上为增函数 D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则____. 13. 已知，则 ____. 14. 已知函数其中，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）用定义证明函数在上是增函数； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． （1）写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 17. 已知函数，. （1）若，求的值. （2）是否存在实数，使得，？若存在，求出此时值；若不存在，请说明理由. 18. 已知为R上奇函数，为R上的偶函数，且. （1）判断是否为定值，并求出定值; （2）若关于x的不等式在 上恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知定义在实数集上的函数满足，且对任意，恒有. （1）求. （2）求证:对任意，恒有. （3）是否存在实数k，使得不等式对任意的恒成立?若存在，求k的取值范围;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $