精品解析：海南琼海市嘉积中学2026届高三下学期第二次模拟数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 故选：A. 2. 已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 3. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， 所以复数的虚部为． 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】设该等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 又因为，可得，解得， 所以． 5. 小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（ ） A. 96种 B. 72种 C. 60种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 6. 已知正方形的四个顶点都在椭圆上，边AD与BC均与x轴垂直，且分别经过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何特征及离心率公式计算求解. 【详解】不妨设正方形的边长为2， 设椭圆的两个焦点为，可知椭圆的右焦点为， 且椭圆经过点，所以， 解得（小于半焦距c的根舍去）， 因此椭圆的离心率． 7. 已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，再求出圆柱及球的表面积构造即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则． ， 分子分母同除以，然后设，即，解得（舍去）， 即， 所以． 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. e 【答案】B 【解析】 【分析】由在区间上单调递减，得在上恒成立，进而得，令，利用导数研究单调性求出最大值即可求解. 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，设且，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由指数函数的值域是，可得，故A正确； 对于B，由函数，可得，故B正确； 对于C，由，两者不一定相等，故C错误； 对于D，因为，所以在上单调递减，所以，故D正确． 10. 有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（ ） A. 若平均数不变，但极差变大 B. 若中位数不变，但平均数变小 C. 若平均数不变，但方差变大 D. 若中位数不变，但方差变小 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，设原来数据中，平均数为，方差为，结合中位数，平均数和方差的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】不妨设原来数据中，平均数为，方差为， 对于A，若平均数不变，则，因为， 所以添加后极差仍然是，故A错误； 对于B，若中位数不变，则，只要， 新数据的平均数就比原来小，故B正确； 对于C，原来的方差，若平均数不变，则， 新的方差， 即平均数不变时，方差一定变小，故C错误； 对于D，例如，取原始数据为，可得原始数据的中位数为，方差为， 添加一个新数据，可得新数据的中位数仍为，此时新数据的方差为， 因为，方差变小，所以D正确. 11. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. 成等比数列 B. C. 的取值范围是 D. 使为锐角三角形的的整数值只有1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，求得，可判定B错误；由，得出不等式，可判定C正确；得到在区间内的整数只有1和2，分类讨论，可判定D正确. 【详解】由题意知，在中，满足 对于A，由正弦定理知，可得， 因为，可得，可得， 因为均为正数，所以成等比数列，故A正确； 对于B，由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，由，可得，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于D，在区间内的整数只有1和2， 当时，由，此时为等边三角形，也是锐角三角形； 当时，可得，且， 则，此时C为钝角，不符合题意， 故使为锐角三角形的的整数值只有1，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的不等式的解集为，则实数_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知和6是方程的两个实数根， 所以，所以． 13. 已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦型函数的性质，求得的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，所以，即， 再令，解得，所以，即 所以。 14. 已知双曲线：的左焦点为，左顶点为．以原点为圆心，分别以，为半径作圆，．设是圆与在第一象限的交点，连接交圆于，两点．若，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段之间的关系结合勾股定理、弦心距等知识得到与的关系，代入双曲线离心率公式计算即可. 【详解】设的右焦点为，半焦距为（）．设的中点为，连接，，，，，易知． 不妨设在的左侧，因为，，所以，， 又，所以， 不妨均设为（），易知， 从而， 因此，整理可得①． 又在中，有，整理得②． 由①②可得，解得，可得， 因此离心率． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 （1）分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，利用古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据列联表中的数据，计算得到，结合附表，即可得到答案. 【小问1详解】 根据统计表格中的数据，可得甲部门的职工熟练使用AI工具的概率为； 乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为． 【小问2详解】 零假设为：甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 根据列联表中的数据，计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据拒绝原假设， 即认为甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 16. 已知圆C经过点和原点O． （1）求圆C的方程； （2）点M，N（均异于点O）在抛物线上，若MN是圆C的一条直径，求p． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设圆心，由，求得，再由，进而得到圆C的方程； （2）设，利用中点公式，结合抛物线的方程，求得，再由，结合，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为圆C经过点和原点O，所以圆心C在OA的中垂线上， 设圆心，由，可得，解得， 又由，所以圆C的方程为． 【小问2详解】 解：因为是圆的直径，所以的中点为圆心，且， 设， 因为的中点为圆心，可得， 所以， 所以． 又因为，可得，即， 整理得，所以，即，解得或． 17. 已知函数，． （1）若，分析的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）在区间上单调递减． （2）证明：当时，， 要证，只需证， 又当时，，即证． ． 令，则当时，， 所以在上单调递减，因此， 所以，因此在区间上单调递减，所以． 综上，原不等式得证，即当时，． 【解析】 【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系判断即可. （2）要证，只需证，结合时，，只需证.通过构造函数，结合导数与单调性及最值的关系证明即可. 【小问1详解】 当时，，则． 设，则， 当时，，所以单调递减，， 当时，，所以. 所以当时，，，即， 故在区间上单调递减． 【小问2详解】 略 18. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，O，分别为正方形ABCD和的中心点在底面ABCD内的射影为O． （1）证明：平面． （2），E，F分别为BC，CD的中点，点M在棱上，E，F，B，D四点到点M的距离相等． （i）求线段AM的长； （ii）求二面角B-CM-D的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接， 因为分别为正方形和的中心，所以，且． 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）连接，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面． （2）（i）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，要使四点到点的距离相等，只需，求得的值，即可求解； （ii）由（i），分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 连接，可得，所以， 设，则， 因为关于平面对称，关于平面对称， 要使四点到点的距离相等，只需即可， 所以，解得． 所以； （ii）由（i）知． 设平面的法向量为， 由，则， 取，可得，所以， 同理可得平面的一个法向量为， 所以，故二面角B-CM-D的正弦值为． 19. 记正项数列的前n项和为． （1）若，求； （2）若，且，证明： （3）若，证明：． 【答案】（1） （2）证明：假设存在，使得，取满足该式的n的最小值， 设为k，即①， 由已知得②， 又由①+②得，所以， 因为k是满足的n的最小值， 若，则， 若，则，即是中最小的项． 当时，有，取整数使得且， 此时必有，这与相矛盾，假设不成立， 故． （3） 证明：先证： 由，可得， 由，可得， 所以；                再证： 由， 可得，所以． 当时，， 累加得，即． 所以， ． 【解析】 【分析】（1）由，求得，结合裂项法求和，即可求解； （2）假设存在，使得，取满足该式的n的最小值，设为k，即，根据题意，求得当，且时，必有，结合反证法，即可得证； （3）根据题意，求得，得到，结合，证得；再由，利用累加法求得，结合裂项法求和，证得，即可得证. 【小问1详解】 因为，所以，则， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（ ） A. 96种 B. 72种 C. 60种 D. 48种 6. 已知正方形的四个顶点都在椭圆上，边AD与BC均与x轴垂直，且分别经过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，设且，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（ ） A. 若平均数不变，但极差变大 B. 若中位数不变，但平均数变小 C. 若平均数不变，但方差变大 D. 若中位数不变，但方差变小 11. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. 成等比数列 B. C. 的取值范围是 D. 使为锐角三角形的的整数值只有1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的不等式的解集为，则实数_________． 13. 已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则_________． 14. 已知双曲线：的左焦点为，左顶点为．以原点为圆心，分别以，为半径作圆，．设是圆与在第一象限的交点，连接交圆于，两点．若，则的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 （1）分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知圆C经过点和原点O． （1）求圆C的方程； （2）点M，N（均异于点O）在抛物线上，若MN是圆C的一条直径，求p． 17. 已知函数，． （1）若，分析的单调性； （2）证明：当时，． 18. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，O，分别为正方形ABCD和的中心点在底面ABCD内的射影为O． （1）证明：平面． （2），E，F分别为BC，CD的中点，点M在棱上，E，F，B，D四点到点M的距离相等． （i）求线段AM的长； （ii）求二面角B-CM-D的正弦值． 19. 记正项数列的前n项和为． （1）若，求； （2）若，且，证明： （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $