11.1.1 不等式及其解集 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第11章 不等式与不等式组 11.1 不等式及其解集复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“我们之前学过等式，谁能说出等式的定义？”，引导学生回忆——用等号“=”连接两个代数式，表示相等关系的式子叫做等式，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=4，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“等式的核心是‘相等关系’”。2. 情境导入：展示实际问题：“某班同学去公园春游，门票每人8元，现有50元，最多能买几张门票？”，引导学生思考：设能买x张门票，可列出关系式8x≤50，提问“这个式子和我们之前学的等式有什么不同？”，进而引出课题——不等式及其解集，明确本节课学习任务：理解不等式、不等式的解与解集的概念，会用数轴表示不等式的解集。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究不等式及其解集的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。 1. 不等式的定义：结合导入环节的8x≤50，以及补充例题：3x+2>5、2y-3<4、x≥0、x≠2，讲解不等式的定义——用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示不等关系的式子，叫做不等式。强调两个关键：① 不等号的类型（5种）；② 表示的是“不等关系”，而非相等关系。举例辨析：2x+3=7是等式，不是不等式；3x+2≥5、x≠4都是不等式，通过正反例对比，帮助学生准确理解定义，同时说明：不等号两边的代数式可以是整式、分式（后续学习），本节课重点研究整式组成的不等式。 2. 不等式的解：结合情境问题8x≤50，讲解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”。举例说明：当x=5时，8×5=40≤50，所以x=5是8x≤50的解；当x=6时，8×6=48≤50，所以x=6也是它的解；当x=7时，8×7=56>50，所以x=7不是它的解。强调“不等式的解可以有多个”，与等式只有一个（或几个）解区分开，引导学生尝试说出8x≤50的几个解，加深对解的概念的理解。 3. 不等式的解集与数轴表示：讲解“一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，强调“解集是所有解的集合，是一个范围，而不是单个解”。结合8x≤50，讲解其解集是x≤6.25（因为x表示门票张数，实际中x应为非负整数，即0≤x≤6）；重点讲解用数轴表示不等式解集的方法，分步骤演示：① 画数轴：标出原点、正方向和单位长度；② 定边界：解集是x≤6.25，边界点是6.25，因为包含6.25，所以用实心圆点表示；③ 定方向：不等号是“≤”，表示不大于6.25，所以数轴上从6.25向左的部分（包括6.25），用射线表示。补充说明：x>3的解集，边界点3用空心圆圈（不包含3），方向向右；x≥2用实心圆点，方向向右；x<-1用空心圆圈，方向向左。 4. 易错点强调：① 区分“不等式的解”和“解集”：解是单个具体的值，解集是所有解的集合（范围）；② 数轴表示解集时，实心圆点表示包含边界点，空心圆圈表示不包含边界点，方向不能颠倒；③ 不等号的含义：≥表示“大于或等于”，≤表示“小于或等于”，≠表示“不等于”，避免混淆。 5. 初步尝试：让学生判断几个式子是否为不等式，说出给定不等式的几个解，尝试用数轴表示简单的不等式解集（如x≥1、x<2），教师巡视指导，对判断错误、数轴表示不规范的学生进行个别纠正，巩固概念理解。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固不等式、不等式的解与解集的概念，提升数轴表示解集的熟练度，兼顾基础和提升，落实教学目标，重点强化易错点纠正。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 判断下列式子是否为不等式：a. 3x+2>7 b. x=5 c. 1/2x + 3≤4 d. x≠0；② 判断下列数值是否为不等式2x-1<5的解：x=2、x=3、x=4；③ 用数轴表示下列不等式的解集：a. x>2 b. x≤3 c. x≥-1。要求学生规范书写，数轴表示清晰，标注边界点类型和方向，教师巡视，及时纠正“边界点虚实混淆”“方向颠倒”等问题，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 写出不等式x-3≥0的3个解和它的解集；② 已知x=2是不等式3x-a>0的解，x=1不是它的解，求a的取值范围；③ 用数轴表示不等式-2<x≤1的解集，引导学生深入理解解与解集的关系，培养学生的逻辑推理能力。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查判断结果和数轴表示规范性，讨论易错点（如解与解集的区别、数轴表示的注意事项），教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将不等式及其解集的概念与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，让学生体会不等式的应用价值，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：“某工厂要生产一批零件，要求每天生产的零件数不少于10个，不多于15个，设每天生产x个零件，列出不等式，并写出它的解集，用数轴表示出来。”，引导学生思考：列出不等式10≤x≤15，解集就是10≤x≤15，数轴表示时，10和15都用实心圆点，方向在两者之间，让学生明白不等式在解决实际问题中的应用，体会数学与生活的联系。 2. 拓展思考：提问“一个不等式的解集可能有多少个解？”，引导学生自主思考、讨论，得出结论：一个不等式的解集包含无数个解（除非有实际限制，如整数解），培养学生的抽象思维能力和深度思考能力。补充练习：写出不等式2x+1>3的整数解，让学生进一步区分“解集”和“特殊解”。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和数轴表示，要求规范书写、标注清晰，师生共同评价，肯定优点，指出数轴表示和概念理解中的错误和不足，对思路清晰、表述规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了哪些核心概念？如何用数轴表示不等式的解集？”，让学生自主发言，梳理不等式、不等式的解与解集的定义，强调解与解集的区别，回顾数轴表示解集的关键（边界点虚实、方向）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“不等式的核心是‘不等关系’，解集是所有解的集合，数轴是表示解集的重要工具”，提醒学生注意区分解与解集，规范数轴表示的步骤，避免常见易错点，同时说明不等式是后续学习一元一次不等式（组）的基础，鼓励学生课后多练习，熟练掌握概念和操作方法。 3. 布置作业：让学生课后巩固不等式及其解集的概念，完成基础判断题、解集书写题和数轴表示题，结合生活实际列出一个简单的不等式，并写出它的解集、用数轴表示出来，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重直观性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解不等式、不等式的解与解集的概念，会用数轴表示不等式的解集，同时培养学生的数感、逻辑推理能力和规范书写习惯。 【学习目标】 1. 了解不等式及其解集的概念，能用不等式表示一些不等关系；理解不等式的解集，感受生活中存在大量的不等关系，提升符号感和数学建模能力. 2.通过独立思考，小组交流，探究用数轴表示不等式解集的方法和不等式在实际生活中的应用，体会数形结合的思想. 3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣. 【学习重点】不等式及不等式的解集. 【学习难点】将自然语言转化为符号语言. 【自主学习】 1. 等式、方程的定义是什么? 2. 数轴的定义是什么? 数轴与实数有什么样的关系? 【合作探究】 探究点一、不等式的概念 问题 1：一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00 时汽车距前方的 A 地 210 km，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应满足什么条件？ 分析：设车速是 x km/h. 汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，从时间上看，就是以 x km/h 的速度行驶 210 km 的时间不到 2 h，这个不等关系可以表示为 ＜2.① 从路程上看，就是以 x km/h 的速度行驶 2 h 的路程要超过 210 km，这个不等关系可以表示为 2x＞210 ② 问题 2：小宏一家有四兄妹小宏、姐姐小新、哥哥小卡和弟弟小宋. 爸爸给四兄妹派发零花钱，小宏得到 5 元，小新得到 x 元，比小宏多；小卡得到 7 元，和小新得到的零花钱不一样；小宋得到 10 元，小新比小宋少，你能用式子表示他们零花钱之间的大小关系吗? “ x＞5”，“ x≠7 ”，“ x＜10” 要点归纳：像这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式. 像 x≠7 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 我们常用不等式表示不等关系. [练一练] 1. 判断下列式子是不是不等式： (1) -3＞0； (2) 4x＋3y＜0； (3) x = 3； (4) x2＋x y＋y2； (5) x＋2＞y＋5. [典型例题] 例1 用不等式表示下列不等关系： (1) a与15的和大于27； (2) b的一半与3的差是负数； (3) 某县在乡村振兴项目的援助下，共种植 1 333 hm² 猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的 18 倍. [练一练] 2.用不等式表示下列数量关系： (1) x 的 5 倍大于－7；______________ (2) a 与 b 的和的一半小于－1；______________ (3) 长、宽分别为 x cm，y cm 的长方形的面积小于边长为 a cm的正方形的面积. __________ 探究点二、不等式的解与解集 追问1：一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00 时汽车距前方的 A 地 210 km，若汽车在 8:00 时到达 A 地，车速应满足什么条件？ 追问2：当 x＝90 或 110 时，2x＞210 成立吗？ [知识要点] 不等式的解是指在含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的值 代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法. 再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解. x ··· 90 95 100 105 110 ··· 2x ··· 180 ··· 是否为 ＞50的解 观察不等式 2x＞210 的解，它们都满足什么条件？ 知识要点： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 求不等式的解集的过程叫作解不等式. 思考 1. 不等式的解和不等式的解集是一样的吗? 2. 不等式的解与解不等式一样吗？ 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 区别 定义 使不等式成立的未知数的某个值 使不等式成立的未知数的所有值 特点 个体 全体 形式 如：x＝3 是不等式 2x＜10 的一个解 如：x＜5 是不等式 2x＜10 的解集 联系 某个解一定是解集中的一员 解集一定包含了所有的解 [典型例题] 例2 下列不是不等式 5x－3＜6 的解的是( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2 [练一练] 3.判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. (1) x = 2是不等式x+3 < 4的解； （ ） (2) 不等式x+1 < 2的解有无穷多个； （ ） (3) x = 3是不等式3x < 9的解； （ ） (4) x = 2是不等式3x < 7的解集. （ ） 探究点二、在数轴上表示不等式的解集 问题 如何在数轴上表示出不等式 x＞105 的解集呢？ 例3 在数轴上表示下列不等式. (1) x ＞-1 ； (2) x ＜ 变式：已知关于 x 的不等式的解集在数轴上表示如图，你能写出此解集吗? 解集的表示方法 第一种：用式子(如x > 2),即用最简形式的不等式 (如x > a或x < a ) 来表示. 第二种：用数轴 1.画数轴: (数轴三要素) 2.定界点: (＞，＜ 画空心圆圈) 3.定方向: (大于向右，小于向左) [典型例题] 例4 直接写出 x + 4＜6 的解集，并在数轴上表示出来. 变式：已知关于 x 的不等式的解集用数轴表示如图所示，你能写出此解集吗? 课堂检测 1. 下列各式：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5； ⑥x＋2＞y＋3.其中是不等式的有(　　) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 用数轴表示不等式x＜2的解集正确的是(　　) 3. 下列说法中，错误的是(　　) A. 不等式x＜2的正整数解只有一个. B. －2是不等式2x－1＜0的一个解. C. 不等式－3x＞9的解集是－3. D. 不等式x＜10的整数解有无数个. 4. 用适当的不等式表示下列数量关系： (1) x减去3大于10； (2) x的3倍与5的差是负数； (3) x的2倍与1的和是正数； (4) y的3倍与9的差比－1小. 参考答案 【自主学习】 1.等式是指用“＝”表示相等关系的式子； 方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学式之间相等关系的一种等式. 2.数轴是指规定了原点、正方向和单位长度的直线；一一对应. 【合作探究】 探究点一、不等式的概念 [练一练]1.解 ： (1)、 (2) 、 (5) 是不等式；(3)、(4) 不是不等式. [典型例题]例1 解：(1) a＋15＞27；(2) b/2－3＜0；(3) 设这个县原有猕猴桃种植面积为 x hm²，那么 1 333＞18 x，也可以表示为 18 x＜1 333. [练一练]2. （1）5 x＞－7 （2）a+b/2<－1 （3）x y＜a2 探究点二、不等式的解与解集 [典型例题]例2 B [练一练]3.(1)× (2)√ (3)× (4)× 探究点三、在数轴上表示不等式的解集 [典型例题]例3 变式 例4 解：x＜2．这个解集在数轴上可以表示为： 变式 解：（1）x＜－3. （2）x＞7． 课堂检测 1.B 2. A 3.C 4. (1) 解：由题意可得x－3＞10. (2) 解：由题意可得3 x－5＜0. (3) 解：由题意可得2x＋1＞0. (4) 解：由题意可得3 y－9＜－1. 学科网（北京）股份有限公司 $