专题04二元一次方程组同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题04二元一次方程组同步讲义（1） 【题型01 二元一次方程的定义】...................................3 【题型02 二元一次方程的解】.....................................5 【题型03 判断二元一次方程组】...................................6 【题型04 判断二元一次方程组的解】...............................9 【题型05 已知方程组的解求参数】................................12 【题型06 代入消元法解方程组】..................................13 【题型07 加减消元法解方程组】..................................15 【题型08 二元一次方程组的特殊解法】............................18 【题型09 构造二元一次方程组求解】..............................20 【题型10 已知方程组解的情况求参数】............................22 【题型11 二元一次方程组错解复原问题】..........................24 【题型12 方程组相同解问题】....................................27 【解答题7题】..................................................29 ★知识梳理★ 知识点01:二元一次方程 一、定义 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。 标准形式：ax+by=c（a,b,c为常数，a0,b0） 三要素（缺一不可）： 整式方程（分母不含未知数） 两个未知数 含未知数的项的次数为 1（不是单个未知数的次数） 二、二元一次方程的解 定义：使方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做方程的一个解。 记法： 特点：一般有无数个解；若附加条件（如正整数解），则解有限。 三、方程变形（核心技能） 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 例：2x+y=5 → y=5−2x（用x表示y） 例：3x−2y=4 → x=（用y表示x) 知识点02:二元一次方程组和它的解 一、二元一次方程组 定义：由两个一次方程组成，且共含两个未知数的整式方程组。 判定三条件： 两个整式方程 总共只有两个未知数 含未知数的项的次数都是 1 二、二元一次方程组的解 定义：同时满足方程组中所有方程的一对未知数的值。 记法： 检验方法：将解代入每个方程，两边都相等才是方程组的解。 知识点03:解二元一次方程组 一、核心思想：消元 把 “二元” 转化为 “一元”，将方程组化为一元一次方程求解。 二、代入消元法（代入法） 适用：方程组中有一个未知数系数为±1或常数项为 0。 步骤： 1.变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个（如y=ax+b） 2.代入：将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程，得一个未知数的值 4.回代：代入变形式，求另一个未知数 5.写解：用大括号联立写出解 三、加减消元法（加减法） 适用：同一未知数的系数相等或互为相反数。 步骤： 1.变形：将同一未知数的系数化为相等或互为相反数 2.加减：两方程相加 / 相减，消去该未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：代入原方程求另一未知数 5.写解 四、方法选择 有未知数系数为±1 → 优先代入法 同一未知数系数成倍数、相等或相反 → 优先加减法 【题型1.二元一次方程组的定义】 【典例】若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是______． 【答案】2 【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义列出方程求解可得答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：2． 【跟踪专练1】下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程． 根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、中，、、为常数，若或，则未知数个数不足两个，故不一定是二元一次方程； B、不是整式方程，且的次数不为1，故不是二元一次方程； C、可化为，含有两个未知数，且次数均为1，是整式方程； D、只含一个未知数，且次数为2，故不是二元一次方程； 故选：C． 【跟踪专练2】方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义；关键是将解代入方程求参数；将给定的解代入方程，通过求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：将解代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 【跟踪专练2】小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有_________种不同的组合方式． 【答案】3 【分析】本题考查二元一次方程的解，求出满足条件的整数解是关键． 设元的人民币张，元的人民币张，列出二元一次方程，求出符合条件的解； 【详解】解：设元的人民币张，元的人民币张， 根据题意得：， ∵，都是正整数， ∴或，或，， 则他的付款方式有3种， 故答案为：3． 【跟踪专练3】学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程，求方程的特殊解；设购买种奖品个，种奖品个，根据总费用列出二元一次方程，再结合、为正整数求符合条件的解的个数即可. 【详解】解：设购买种奖品个，种奖品个， ∵总费用为元， ∴， 化简得：， ∴， ∵为正整数，为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有种购买方案， 故选：A． 【题型3.判定二元一次方程组】 【典例】解二元一次方程组的基本思想是通过______将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 【答案】消元 【分析】根据解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元． 【详解】解：解二元一次方程组的基本思想是通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 故答案为：消元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本思想． 【跟踪专练1】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【跟踪专练3】下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【题型4.判断二元一次方程组的解】 【典例】下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A.将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将代入得，，该选项是方程的解，符合题意； D. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 【详解】解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 【跟踪专练3】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 【题型5.已知方程组的解求参数】 【典例】已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】是二元一次方程的一个解， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 【跟踪专练3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 【题型6.代入消元法解方程组】 【典例】将方程写成用含的代数式表示，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把方程看作是关于的一元一次方程，然后解关于的方程即可． 【详解】解： 移项得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．通过解方程组，用m表示x和y，根据解为自然数（包括0），确定m的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴第二式得，代入第一式得， 解得， ∴把代入， 得． ∵解为自然数， 即x和y均为非负整数，且， ∴且整除7， 故或， 解得或． 当时，，不是自然数，舍去； 当时，，，均为自然数． 故整数． 故答案为： 【跟踪专练3】已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可． 本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解： 将方程①变形为： 将③代入方程②得： 整理，得： 即：， 故选：A． 【题型7.加减消元法解方程组】 【典例】方程组的解为____________． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解．方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则的值是 （    ） A．-6 B．-2 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组．若，则，，根据平方项和绝对值项均非负，其和为零则每个表达式均为零，从而得到关于和的方程组，再解方程组即可得到与的值． 【详解】，且平方项与绝对值项均非负， 且， 即 ， 由第二式得，代入第一式： ， ， ， ， ， 代入， ． 故选：． 【题型8.二元一次方程组特殊解法】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】先将②-①得，即可求得答案． 【详解】原方程组为， 由②-①得， ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 【跟踪专练1】已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 【跟踪专练2】若方程组的解是，则方程组的解是 _____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的知识，能灵活将方程组变形是解题的关键． 先将方程组变形得到，再根据方程组的解是，可得方程组的解为，然后即可求解； 【详解】解：方程组，变形得，， ∵方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解． 【详解】解：设，， 则新方程组化为： ∵原方程组的解为， ∴，， 即：， 解得， 故选D． 【题型9.构造二元一次方程组】 【典例】如果与是同类项，那么_________． 【答案】0 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 【跟踪专练1】对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，平方根；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，4的平方根是， ∴的平方根是； 故选：B． 【跟踪专练2】已知x的相反数是，y的相反数是，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据题意列出方程组是解题关键． 首先根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵x的相反数是，y的相反数是， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 【题型10.已知方程组解的情况求参数】 【典例】若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__． 【答案】 【分析】方程组两方程相加表示出，根据求出的值即可． 【详解】解：， ①②得：， 由题意得：， 可得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【跟踪专练1】如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么a的值是_____． 【答案】2 【分析】根据二元一次方程组的解法，用含的式子表示出和；将其代入二元一次方程，求出的值即可． 【详解】解： ①②，得：，解得：， 将代入①，得：， 把，代入， 得：，解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解、解二元一次方程组．能够利用二元一次方程组的解法，用含的式子表示出和是解决此题的关键． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 【跟踪专练3】已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 【题型11.二元一次方程组错解复原问题】 【典例】解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______________． 【答案】10 【分析】将代入方程组可得，再将代入方程可得，然后解方程组可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组可得，解得， 将代入方程可得， 联立，解得， 则， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 【跟踪专练1】已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，二元一次方程组的错解问题，根据题意可甲的解满足（2），乙的解满足（1），据此可求出a、b的值，再求出的值后即可根据平方根的定义得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴的平方根为1和， 故选：A． 【跟踪专练2】甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组求解的步骤． 将代入②可求的值，将代入①可求的值，然后求解即可． 【详解】解： 将代入得， 解得， 将代入①得， 解得， ， 故答案为：4． 【跟踪专练3】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【题型12.方程组相同解问题】 【典例】已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 【跟踪专练1】若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是同解方程，将两个方程相加，可得，把代入即可得到答案. 【详解】解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故选：C 【跟踪专练2】若方程组与的解相同，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵两个方程组的解相同， ∴将，代入，得， 解得， 故答案为：，． 【跟踪专练3】关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 【解答题】 1．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】(1)； (2)； (3)千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 【详解】（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 2．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 3．按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将代入得， 解得， 将代入，得， ； （2）解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得 ． 4．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 5．已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 6．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 7．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组同步讲义（1） 【题型01 二元一次方程的定义】...................................3 【题型02 二元一次方程的解】.....................................3 【题型03 判断二元一次方程组】...................................4 【题型04 判断二元一次方程组的解】...............................4 【题型05 已知方程组的解求参数】.................................5 【题型06 代入消元法解方程组】...................................5 【题型07 加减消元法解方程组】...................................6 【题型08 二元一次方程组的特殊解法】.............................6 【题型09 构造二元一次方程组求解】...............................7 【题型10 已知方程组解的情况求参数】.............................7 【题型11 二元一次方程组错解复原问题】...........................7 【题型12 方程组相同解问题】.....................................8 【解答题7题】...................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:二元一次方程 一、定义 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。 标准形式：ax+by=c（a,b,c为常数，a0,b0） 三要素（缺一不可）： 整式方程（分母不含未知数） 两个未知数 含未知数的项的次数为 1（不是单个未知数的次数） 二、二元一次方程的解 定义：使方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做方程的一个解。 记法： 特点：一般有无数个解；若附加条件（如正整数解），则解有限。 三、方程变形（核心技能） 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 例：2x+y=5 → y=5−2x（用x表示y） 例：3x−2y=4 → x=（用y表示x) 知识点02:二元一次方程组和它的解 一、二元一次方程组 定义：由两个一次方程组成，且共含两个未知数的整式方程组。 判定三条件： 两个整式方程 总共只有两个未知数 含未知数的项的次数都是 1 二、二元一次方程组的解 定义：同时满足方程组中所有方程的一对未知数的值。 记法： 检验方法：将解代入每个方程，两边都相等才是方程组的解。 知识点03:解二元一次方程组 一、核心思想：消元 把 “二元” 转化为 “一元”，将方程组化为一元一次方程求解。 二、代入消元法（代入法） 适用：方程组中有一个未知数系数为±1或常数项为 0。 步骤： 1.变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个（如y=ax+b） 2.代入：将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程，得一个未知数的值 4.回代：代入变形式，求另一个未知数 5.写解：用大括号联立写出解 三、加减消元法（加减法） 适用：同一未知数的系数相等或互为相反数。 步骤： 1.变形：将同一未知数的系数化为相等或互为相反数 2.加减：两方程相加 / 相减，消去该未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：代入原方程求另一未知数 5.写解 四、方法选择 有未知数系数为±1 → 优先代入法 同一未知数系数成倍数、相等或相反 → 优先加减法 【题型1.二元一次方程组的定义】 【典例】若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是______． 【跟踪专练1】下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【跟踪专练3】已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 【跟踪专练1】已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【跟踪专练2】小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有_________种不同的组合方式． 【跟踪专练3】学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【题型3.判定二元一次方程组】 【典例】解二元一次方程组的基本思想是通过______将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 【跟踪专练1】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【跟踪专练3】下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型4.判断二元一次方程组的解】 【典例】下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【跟踪专练2】在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 【题型5.已知方程组的解求参数】 【典例】已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 【跟踪专练1】若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【跟踪专练3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【题型6.代入消元法解方程组】 【典例】将方程写成用含的代数式表示，则________． 【跟踪专练1】将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数_________． 【跟踪专练3】已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【题型7.加减消元法解方程组】 【典例】方程组的解为____________． 【跟踪专练1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【跟踪专练3】若，则的值是 （    ） A．-6 B．-2 C．2 D．6 【题型8.二元一次方程组特殊解法】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为_____________． 【跟踪专练1】已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【跟踪专练2】若方程组的解是，则方程组的解是 _____． 【跟踪专练3】若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【题型9.构造二元一次方程组】 【典例】如果与是同类项，那么_________． 【跟踪专练1】对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【跟踪专练2】已知x的相反数是，y的相反数是，则________． 【跟踪专练3】规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【题型10.已知方程组解的情况求参数】 【典例】若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__． 【跟踪专练1】如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么a的值是_____． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【跟踪专练3】已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 【题型11.二元一次方程组错解复原问题】 【典例】解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______________． 【跟踪专练1】已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 【跟踪专练2】甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 【跟踪专练3】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型12.方程组相同解问题】 【典例】已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 【跟踪专练1】若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【跟踪专练2】若方程组与的解相同，则__________，__________． 【跟踪专练3】关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 2．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 3．按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 4．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 5．已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 6．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 7．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $