精品解析：云南省昭通市第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

昭通市第一中学2026年春季学期高一年级开学考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，集合B表示函数的定义域，然后由交集，补集定义可得答案. 【详解】因为或，则或， 集合B表示函数的定义域，则， 则或， 从而. 故选：A 2. 函数在的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】因为函数和在上都是单调递减， 所以在上单调递减， 又，，，，， 故， 所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 3. 在△中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由，则或和，则，则，可得出答案. 【详解】若，则或，即或， 所以在△中，“”是“”的不充分条件 若，则，则， 所以在△中，“”是“”的必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5. 已知点，向量，，点是线段三等分点，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 6. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积. 【详解】由，，得，则，．故选C． 【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 8. 定义矩阵，若，则（ ） A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 C. 是周期为的奇函数 D. 在区间上的最大值为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给定义，结合二倍角公式、辅助角公式等，整理可得的解析式，代入求解，结合正弦函数的对称性，可判断A、B的正误；根据奇函数的定义，可判断C的正误；根据x的范围，可得的范围，结合正弦函数的性质，可求出的最大值，即可判断D的正误. 【详解】由题得 ， 当时，，故不是的对称中心，故A错误； 当时，，故不是的对称轴，故B错误； ， 则不是奇函数，故C错误； 当时，，则， 所以，则， 故函数在区间上的最大值为1，故D正确. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则的最小值为3 C. 函数的图象恒过定点 D. 若幂函数是上的奇函数，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：根据存在量词命题的否定形式判断即可；选项B：根据基本不等式求解，结合取等条件判断；选项C：根据指数型函数过定点问题求解即可；选项D：根据幂函数的定义结合函数的奇偶性判断即可. 【详解】选项A：命题“”的否定是“”，故A正确； 选项B：若，则， 则，当且仅当即时，等号成立. 因为，所以不能取等号，所以，故B错误； 选项C：令，则，此时，即函数图象恒过定点，故C正确； 选项D：因为函数是幂函数，则，解得或. 当时，，该函数是偶函数，不符合题意； 当时，，该函数是奇函数，符合题意， 综上，故D错误. 故选：AC. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，用向量平行的坐标条件，求；选项B，用向量垂直的数量积为0求.选项C，先由夹角求数量积，再用向量差的模长公式计算验证.选项D，先由相反向量得坐标，再用投影向量公式计算验证. 【详解】选项A，若，则， 即，()，得=，所以A正确。 选项B，若，则 即，得，所以B正确。 选项C，若与的夹角为， 又因为，而， 代入得：，所以C错误。 选项D，若与方向相反，则()，且， ，由，得， 故，在上的投影向量公式为： ，计算，， 代入得：，D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 已知函数满足恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用换元法令，转化为二次函数的最值可判定A，转化为正余弦的齐次式可判定B，运用同角三角函数的基本关系式可判定C，根据题意知当时取最大值可判定D. 【详解】选项A：令，则， 所以，当时，故A正确， 选项B：因为， 所以，故B错误； 选项C：因为，所以， 即，由，所以 由，所以，即， 所以，故C正确； 选项D：函数满足恒成立， 即，化简得，故D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第1卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值． 【详解】已知函数，则， 所以． 故答案为： 13. 已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内恰有个解，可得到动区间端点取值范围，即可求解. 【详解】由已知可得，且图象关于对称； 则有，，解得，． 因为，所以，即； 向右移个单位后得到函数，则； 若在区间内恰有3个解，即在区间内恰有3个解； 因为，则，所以，即． 故答案为：. 14. 设函数，若关于x方程有四个实根 （），则的最小值为________ 【答案】16 【解析】 【分析】首先作出函数的图象，根据对称性求的值，再根据函数零点的个数，确定的取值范围，再根据的图象，结合对数运算公式，得到与的关系式，结合基本不等式求最小值. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以， 若关于的方程有四个实根，，，，则， 由，得或，则， 又，所以， 所以，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：16 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算 （2）若是第三象限角，且，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质计算即可得解； （2）将条件利用和角的余弦公式展开，求出的值，进而求出的值，将展开后整体代入计算即得；或利用诱导公式和同角三角函数关系可解． 【详解】（1） ； （2）法一：因为，所以， 即，将其平方可得，即， 所以． 因为是第三象限角，所以，，所以． 所以 ． 法二：因为是第三象限角，， 所以是第三象限角或第四象限角， 因为，所以是第三象限角， 则. 16. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理求解即可； （2）由（1）结合三角形面积公式求得，再利用已知条件求得，得解. 【小问1详解】 因为，又，所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，得， 又，解得， 所以，故， 所以的周长为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求的值； （2）当时，求的解析式； （3）求满足不等式的t的取值范围； 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出函数值. （2）利用奇函数定义求出解析式. （3）结合指数函数单调性确定函数单调性，再结合奇函数性质求解不等式. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，且当时，， 得. 【小问2详解】 当时，，则，而， 所以的解析式为. 【小问3详解】 当时，，且均在上单调递增， 则函数在上单调递增，且此时， 由是定义在上的奇函数，得在上单调递增，且， 而，且，因此在上单调递增， 不等式， 则，解得，即， 所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求图象的对称轴； （2）若函数在区间上有两个零点和，求值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由和差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简得函数解析式，由正弦函数的对称轴求得函数的对称轴； （2）由取值范围，求得范围，由正弦函数图象作出函数在区间上的大致图象，由对称性求得，即可求得结果； （3）通过取值范围，求得范围，设，即求得的取值范围.通过二次函数开口方向得到函数最大值点，根据题意建立不等式组，解实数的取值范围. 【小问1详解】 令，解得， 即图象的对称轴为直线. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，作出函数在区间上的大致图象如下. 由函数在区间上有两个零点和， 得，则. 【小问3详解】 设，因为，则，，即. 对任意，不等式恒成立， 等价于：对任意，不等式恒成立. 令，其图象为开口向上的抛物线，故其在区间上的最大值在端点处取得，所以要使在区间上恒成立，只需， 即，解得，即实数的取值范围是. 19. 对于函数，若存在使得成立，则称为函数的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若函数，有两个不相等的不动点，求a的取值范围. 【答案】（1）和1 （2）18 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程计算可得结果； （2）利用根的个数以及符号可限定，再结合韦达定理化简计算利用基本不等式可得其最小值； （3）将对数函数方程化简并利用换元法可得在上有两个不相等的实数根，根据二次函数性质可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由不动点定义可得，即， 解得或， 即函数的不动点为和1. 【小问2详解】 依题意方程可化为， 即方程有两个不相等的正实数根， 于是，解得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号. 【小问3详解】 令， 那么，， 设，又因为，且在上单调递增，因此， 即在上有两个不相等的实数根， 在上的最小值为，最大值为， 结合图象可知， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市第一中学2026年春季学期高一年级开学考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 3. 在△中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，向量，，点是线段三等分点，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A 2 B. 8 C. 9 D. 18 8 定义矩阵，若，则（ ） A 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 C. 是周期为的奇函数 D. 在区间上的最大值为1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则的最小值为3 C. 函数的图象恒过定点 D. 若幂函数是上的奇函数，则或 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 已知函数满足恒成立，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第1卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则___________． 13. 已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数a的取值范围是______． 14. 设函数，若关于x的方程有四个实根 （），则的最小值为________ 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算 （2）若是第三象限角，且，求的值 16. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求的值； （2）当时，求的解析式； （3）求满足不等式的t的取值范围； 18. 已知函数. （1）求图象的对称轴； （2）若函数在区间上有两个零点和，求的值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数，若存在使得成立，则称为函数的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若函数，有两个不相等的不动点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $