精品解析：重庆第七中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学 试卷

数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知． 【详解】解：3的倒数是， 故选：C 【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 理解 “从正面看几何体，所看到的视图是主视图．”是解题的关键． 【详解】解：从正面看到的平面图形是， 故选：B． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数定义，将点的坐标逐个代入函数解析式检验即可． 【详解】解：A、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； B、当时，，此函数图象经过，故本选项符合题意； C、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； D、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，与⊙相切于点，得到，根据三角形内角和求出，再根据三角形外角的性质，求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 与⊙相切于点， ， ， ， ， ， ． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 6. 估计的值应在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算．根据二次根式混合运算的法则求得，然后估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴估计的值应在4和5之间， 故选：B． 7. 用大小相同的☆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了6个☆，第②个图案用了11个☆，第③个图案用了18个☆，第④个图案用了27个☆，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中用的☆个数为（　　） A. 79 B. 81 C. 83 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究．根据前几个图形，发现规律，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①个图案用了☆的个数，（个， 第②个图案用了☆的个数，（个， 第③个图案用了☆的个数，（个， 第④个图案用了☆的个数，（个， …… 第个图案用了☆的个数，（个， 当时，． 故选：C． 8. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设 ，则 ，证明 和 ， 推出 ，作 ， 证明 ，得到 ，设 ， 则 ， 推出 ， 在 中， 利用勾股定理求得 ， 代入 计算即可求解 【详解】解： 设 ， 则 ， ∵正方形 中， ， ∵对角线 与 交于点 ， 作 设 则， 在 中， 即 整理得：， 故选： A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，解题的关键是学会利用参数构建等量关系是解决的问题 10. 已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的求值，理解多项式求值的规则是解题的关键，本题可根据已知条件，结合多项式的次数、系数等相关知识，对每个说法逐一进行分析判断．根据由得，即，结合，为正整数，可得为正奇数，从而得到且，得到、的值，进而求得的值，从而判定说法的正确性；通过反证法判断，先假设存在，通过整理，比较系数的关系，从而判定说法的正确性；当，时，得到、的代数式，根据代数式系数之间的数量关系，得到、的可能结果，从而得到的可能情况，排除重复项，从而得到的可能结果数，从而判定说法的正确性． 【详解】解：①当时， ，， 由得，即， ，为正整数， 为正奇数， 且， ，， ， 故正确． 假设存在，使得，则， 此时，， 根据题意有，， 两式相加得， 而，比较系数可得：，，， 三式相加得， ，产生矛盾， 假设不成立， 故正确． 当，时， ，满足，共有种可能， ，满足，共有种可能， ，组合共有种可能情况， 经检验，其中有种重复情况，故不同的结果共有种， 故正确． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，先理解题意，再画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种，即可列式计算，得出两次抽取卡片上的数字之和为5的概率． 【详解】解：依题意，画树状图，如图所示： 共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种， ∴两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，E，F分别是、的中点，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据中位线的性质得出，再根据勾股定理的逆定理，得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵E，F分别是、的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键是正确画出辅助线，掌握勾股定理的逆定理，得出． 14. 若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 15. 如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，、交于点E，平分，的平分线交于F，切圆O于D，交延长线于G，若，点O到的距离为，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，再证明是等腰三角形，利用勾股定理，计算的长度，结合切线的性质，证明，求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于圆O，为圆O直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵的平分线交于F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点M， ∴， ∵点O到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵切圆O于D，交延长线于G， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16. 如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“完美数”．例如：四位数2764，，是“完美数”，则最大的“完美数”为________；对于“完美数”，记，，当能被13整除时，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，正确理解“完美数”的定义是解题的关键． 由“完美数”的定义可得千位数字最大为8，再结合得到最大“完美数”即可；由得出，进而得到，即能被13整除，要使最小，则最小，最大，再分析、、、的值即可． 【详解】解：、“完美数”最大， 千位数字为8，即， ， 百位数字为1，十位数字为9，个位数字为1， 最大的“完美数”为； “完美数”， ， ， ， 即， ， ， ， ， 能被13整除， 能被13整除，即能被13整除， ，要使最小， 最小，最大， 各数位上的数字均不为0， 若，即， ， ， ， 最大值为42， 即， 解得，舍去； 当，解得， ， ， ， 此情况不符合题意； 若，则， ， 当时， 解得，舍去； 当时， 解得，舍去； 若，则， ， 当时， 解得，舍去； 当时， 解得，舍去； 若，则， ， 当时， 解得，舍去； 当时， 解得， 令、时，， 即，舍去； 令、时，， 即，舍去； 令、时，， 即，舍去； 令、时，， 即， ， ， 即的最小值为, 故答案为：；． 三、解答题：（本大题9个小题，17，18每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得：_____， （2）解不等式②，得：_____． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____ 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （2）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）取两个不等式解集的公共部分即可求解． 【小问1详解】 解： ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：不等式解集在数轴上表示如下： 【小问4详解】 解：由（3）可得不等式组的解集为． 18. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空． （1）尺规作图：在四边形中，过点A作的垂线，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，其中，，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程） 证明：，①_______， ， ，②_______， ∴， ∴③_______， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④_______是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，适当长度为半径画弧，在上方交于一点，过点与该点，作射线交于点即可； （2）根据证明过过程，结合三角形全等的判定定理，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理完成填空即可． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 证明：如图，连接， ，①， ， ，②， ∴， ∴③， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形． 19. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 【答案】（1），86，40 （2）八年级， 理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好； （3）估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出、，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级组有：（人）， 组有：（人）， 把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数； 在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； ，故． 故答案为：，86，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，零指数幂与负整数指数幂，先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时进行整式的混合运算，再根据负整数指数幂与零指数幂求得，最后代入求值． 【详解】解：原式  当时，原式． 21. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？ （2）若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元； （2）每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元． 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键． （1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥龙”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可； （2）设每件“吉祥龙”挂件的标价是y元，根据“两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，”列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元/件）． 答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元； 【小问2详解】 解：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的数量是（件）， 该商场购进第二批“吉祥龙”挂件的数量是（件）． 设每件“吉祥龙”挂件的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为90． 答：每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元． 22. 如图，在中，，，，点D是的中点，动点M从点B出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，点E，F分别是射线，上的动点，的长度等于点M走的路程，，设点M的运动时间为t，点M到的距离为，的长度为． （1）请直接写出，关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围； （2）在直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据图形直接估计当时t的取值范围________．（结果保留1位小数，误差不超过） 【答案】（1）；，且 （2）见解析，当时，随的增大而增大（不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）分点M在上运动时即和点M在上运动时即，求函数的关系式，利用三角形的面积，求解的关系式； （2）根据画图象的基本步骤画图象即可，结合图象说出一条性质即可； （3）求出交点的横坐标，再利用无理数的估算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 当点M在上运动时，根据题意，得，， ∴； 当点M在上运动时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，； ∵的长度为，，， ∴， ∴，且． 【小问2详解】 解：根据题意，画图如下： 其中的一条性质为：随的增大而增大（不唯一）． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得或（不满足，舍去）； 根据题意，得， 整理，得 解得 故或（不满足，舍去）； ∵，， ∴当时t的取值范围是或． 23. 寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：，） （1）求北环线的长度（结果保留小数点后一位）； （2）小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点出发，小金在途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到之后前往与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得北环线的长度即可； （2）过点C作的延长线于点，可得、，设小金的步行速度为，小童的步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小金和小童两人同时到达景点C，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：北环线的长度为； 【小问2详解】 解：过点C作的延长线于点，如图所示： 、， 设小金的步行速度为，小童的步行速度为，两人步行时间为小时， ， ，， ， 在中，由勾股定理得，， ∵小金与小童两人同时到达景点C， ∴， 整理得，， ， 解得， 因此南环线的长度为 答：南环线的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，使，则，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用锐角三角函数进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 上述两点坐标分别代入抛物线， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，使，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点S，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即最小值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 25. 在中，，，为边上的中线，点为线段上一点，连接． （1）如图1，已知，，求的长； （2）如图2，垂直平分分别交、于、，，求证：； （3）如图3，当点为线段的四等分点且靠近点，过点作直线，点是直线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，点是直线上的动点，连接、，当最小时，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作直线于点，由， 设，则， ，可得，由，求出，进而求出，即可求出的长； （2）过点作直线于点，过点作直线于点，连接，连接，先判定四边形是矩形，得，由垂直平分，得为的中点，可得，，得出，， ，可判定，进而得到，即，通过为的中点，为的中点，得到，即，即可得证； （3）第一步，找到点的运动轨迹，取线段的中点，设直线交线段于点，连接，连接，作直线，设，可得，，，得出点为线段的中点，得出为等腰三角形，为等腰三角形，进而证明，得到，即点是直线上的动点；第二步，找到最小时，各点的位置情况，设直线为直线，当最小时，于点时，此时，通过，得，进而证明此时点与点重合，求出的长度；第三步，找到点的轨迹，由翻折的性质可得，，找出点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，即当最大时，点、点、点三点共线，求出此时的长度，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作直线于点， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则的长为； 【小问2详解】 如图所示，过点作直线于点，过点作直线于点，连接，连接， ，， ，为边上的中线， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 垂直平分， 为的中点， ，， ，， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 为的中点， 为的中点， ， 即， ， 则； 【小问3详解】 如图所示，取线段的中点，设直线交线段于点，连接，连接，作直线， 设， 由题意得，， 点为线段的四等分点且靠近点， ， 过点作直线， ， ， 点为线段的中点， 点为线段的中点， ， 为等腰三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转至线段， 为等腰三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 点是直线上的动点， 设直线为直线，当最小时，即如图所示，于点时， 此时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点与点重合， ， 点是直线上的动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接， ， 由上可知，， 点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 当最大时，如图所示，点、点、点三点共线， 过点作直线于点，设线段交线段于点， 由题意及折叠的性质得，， 设， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 则的值为． 【点睛】本题属于几何压轴题，难度较大，考查了等腰直角三角形的判定及性质、三角函数、矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、中位线的判定及性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的判定及性质、旋转的性质、折叠的性质、定点到直线的最值—垂线段最短、隐圆的最值等知识点，熟练掌握以上知识点、具备一定的画图能力是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（　　） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 用大小相同的☆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了6个☆，第②个图案用了11个☆，第③个图案用了18个☆，第④个图案用了27个☆，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中用的☆个数为（　　） A. 79 B. 81 C. 83 D. 84 8. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则＝（　　） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 12. 桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是___________． 13. 如图，在四边形中，E，F分别是、的中点，若，，，则______． 14. 若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 15. 如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，、交于点E，平分，的平分线交于F，切圆O于D，交延长线于G，若，点O到的距离为，则_____，_____． 16. 如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“完美数”．例如：四位数2764，，是“完美数”，则最大的“完美数”为________；对于“完美数”，记，，当能被13整除时，的最小值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，17，18每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得：_____， （2）解不等式②，得：_____． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____ 18. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空． （1）尺规作图：在四边形中，过点A作的垂线，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，其中，，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程） 证明：，①_______， ， ，②_______， ∴， ∴③_______， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④_______是矩形． 19. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？ （2）若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？ 22. 如图，在中，，，，点D是的中点，动点M从点B出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，点E，F分别是射线，上的动点，的长度等于点M走的路程，，设点M的运动时间为t，点M到的距离为，的长度为． （1）请直接写出，关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围； （2）在直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据图形直接估计当时t的取值范围________．（结果保留1位小数，误差不超过） 23. 寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：，） （1）求北环线的长度（结果保留小数点后一位）； （2）小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点出发，小金在途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到之后前往与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 25. 在中，，，为边上的中线，点为线段上一点，连接． （1）如图1，已知，，求的长； （2）如图2，垂直平分分别交、于、，，求证：； （3）如图3，当点为线段的四等分点且靠近点，过点作直线，点是直线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，点是直线上的动点，连接、，当最小时，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $