精品解析：河南南阳市第三中学2025--2026学年九年级阶段学情自测数学试卷

2026年数学督学作业定时训练 一、选择题（每小题3分,共30分.下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的） 1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，于点．若，，则折痕长为（ ） A. B. C. D. 10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 14. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点P为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题,共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 18. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 19. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 (保留作图痕迹，不写作法)． （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 20. 某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． （1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 21. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证：； （2）若，的度数是________； （3）若，米，求车轮的半径长． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，求的值． 23. 在中，点P是的平分线上一点，过点P作，垂足为点A，过点A作，垂足为点B，直线，交于点C，过点P作，垂足为点D． （1）观察猜想 如图1，当为钝角时，用等式表示线段，，的数量关系：________． （2）类比探究 如图2，当为锐角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年数学督学作业定时训练 一、选择题（每小题3分,共30分.下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的） 1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可． 【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个， 故选：B． 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 9. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，于点．若，，则折痕长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是关键． 根据菱形，折叠的性质，勾股定理得到，，如图所示，过点作于点，则，设，可得，，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 解得，， ∴ ∴， ∴， 故选：A ． 10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 14. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关性质、等边三角形的性质以及扇形面积公式．求出扇形的圆心角和半径是解决本题的关键． 首先根据等边三角形的性质求出外接圆半径以及相关角度，进而确定扇形的圆心角和半径，最后利用扇形面积公式求出阴影部分面积． 【详解】连接、，过O作于点E，如图， 因为是等边三角形的外接圆， 所以． 由于是等边三角形，则， 所以． 因为，是等边三角形， 所以． 已知，则． 在中，，， 即，，解得． 因为点D是的中点， 所以． 又因为，，， 所以是等边三角形，则． 所以扇形的圆心角为，． 扇形面积公式可得：． 故答案为：． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点P为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和解直角三角形，可求，，根据“反直角三角形”的定义分类讨论：①当时，可求，利用“”可得，从而，计算即可；②当时，可求，则同①；③当时，可求，从而点和点重合，则；④当时，可求，同③． 【详解】解：如图，过点A作于点， ，，， ，， 在中，， 则， ， ①当时， ， ， ，， ， ，即， ； ②当时， ， ， ， ， 同①，则； ③当时， ， ， 此时点和点重合， 即； ④当时， ， ， ， ， 同③，则； 综上：的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题,共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0； （2）1 【解析】 【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减． 【小问1详解】 解：（1） ； 【小问2详解】 （2） ． 【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 17. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】（1）， 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2） 甲， 由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． （3）选甲更合适． 理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 【解析】 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【小问1详解】 ， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为： （2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 19. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 (保留作图痕迹，不写作法)． （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行线分线段成比例，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质的知识， （1）根据作一个角等于已知角的方法作图，作，交于点即可； （2）先证明四边形是菱形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定和性质即可求得． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求， 根据作图可得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴四边形的周长为． 20. 某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． （1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）需要准备公斤大米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． 【小问2详解】 解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 21. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证：； （2）若，的度数是________； （3）若，米，求车轮的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）0.55米 【解析】 【分析】（1）根据相切可得，再根据为的直径，可得，结合即可证明； （2）根据可得，再结合相切和三角形内角和即可求解； （3）根据题意证明即可求解． 【小问1详解】 证明：∵与相切， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 答：车轮的半径长为0.55米． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及到切线的性质、相似三角形等，灵活运用所学知识是解题关键． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）；图象见解析 （3）5或1 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）根据二次函数的性质以及当时，图象对应的函数最小值为，可得或，再分别把和代入函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵当时，图象对应的函数最小值为， ∴或， ∴或， 若，当时，图象对应的函数最小值为， 此时， 解得：或3（舍去）； 若，当时，图象对应的函数最小值为， 此时， 解得：或3（舍去）； 综上所述，n的值为5或1． 23. 在中，点P是的平分线上一点，过点P作，垂足为点A，过点A作，垂足为点B，直线，交于点C，过点P作，垂足为点D． （1）观察猜想 如图1，当为钝角时，用等式表示线段，，的数量关系：________． （2）类比探究 如图2，当为锐角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）补全图形见解析，不成立，，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，垂足为点E，易证，得，则； （2）过点P作，垂足为点E，易证，得，则； （3）依据前两问的图形分类讨论，易得，进而可得特殊直角三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点P作，垂足为点E， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：补全图形如图， 不成立，正确结论为． 如图2，过点P作，垂足为点E， 同理可得， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ， ①当为钝角时，如图3， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ②当为锐角时，如图4， 同理可得， ， ， ． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $