精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2026届高三下学期一模数学试卷

哈九中2025-026学年度高三下学期 第一次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. 5 B. 1 C. -1 D. -5 4. 如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或 D. 2或 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（ ） A. 61 B. 70 C. 98 D. 120 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间恰有一个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 11. 已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（ ） A. 的轨迹方程为： B. 的最小值为2 C. 的最小值是 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 若向量满足，且，则的值为______. 13. 若直线是曲线的一条切线，则________． 14. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边长分别是，. （1）求角； （2）若，，，求AB边上的高. 16. 已知椭圆：左焦点，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. （1）证明：平面PBC； （2）若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 18. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 19. 如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：. 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025-026学年度高三下学期 第一次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解. 【详解】复数，则. 2. 已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】是绝对值小于的整数，即满足（为整数），可得， 已知，根据并集定义，得：  因此，共个元素. 3. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. 5 B. 1 C. -1 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关系结合二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 则是方程的两个根， 根据韦达定理可知，解得， 故选：D. 4. 如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中截面性质得出圆柱的高和底面半径，然后由圆锥体积减去圆柱体积即得. 【详解】如图，过OP的中点作平行于底面的截面，截面圆半径， 是圆锥底面半径，在母线上， 因为为中点，则，， 所以剩余的几何体的体积为. 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6. 已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线距离可求出，再根据的面积为列出相应等式，即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离， 在中， 所以，则， 又因，所以， 化简可得，等式两边同时除以，可得， 即，解得或， 因，所以或. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 8. 统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（ ） A. 61 B. 70 C. 98 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列性质求得，然后结合求得，再求出公比后可得通项公式及前项和，然后判断各选项． 【详解】选项A，由等比数列性质得，由，解得或， 若，则，不合题意， 若，则，满足题意，A正确； 选项B，由选项A得，， 等比数列的通项公式应为形式，因此不是等比数列，B错； 选项C，由选项B得，，C正确； 选项D，由上知，， ，所以数列是公差为的等差数列，D错． 10. 函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间恰有一个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假. 【详解】因为，又，所以，故B错误； 因为， 由图可知，，所以，故A正确； 所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确； 将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 11. 已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（ ） A. 的轨迹方程为： B. 的最小值为2 C. 的最小值是 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A；当为时，时取最小值，即可判断B；由抛物线的性质化简结合基本不等式求得结果判断C；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断D； 【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图： 对于A，则， ∴，即，∴，A选项正确； 对于B，， ， ∴当点为时，的最小值为1，B选项不正确； 对于C，， 当且仅当时，的最小值是，C选项正确； 对于D，由对称性可假设点P在一象限，则， ∵，当且仅当，即时取等号， 所以∴，∴最大值为， 当AQ与圆F相切时，，∴的最大值， ∴，D选项错误. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 若向量满足，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 13. 若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】e 【解析】 【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论. 【详解】设直线与曲线相切于点． 因为， 所以且， 解得，． 故答案为. 14. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 【答案】200 【解析】 【详解】 将有阴影的圆分别标为， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为时，则将填在中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有种填法. 故答案为： 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边长分别是，. （1）求角； （2）若，，，求AB边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 16. 已知椭圆：左焦点，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程； （2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解. 【小问1详解】 由已知， 解得，所以C的方程为 【小问2详解】 设MN：，， 将直线与椭圆方程联立， 整理得， 经检验， 根据韦达定理， 因为，所以，即， 所以，整理得， 将韦达定理代入得， 去分母后整理得，解得， 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. （1）证明：平面PBC； （2）若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 【答案】（1） 取PB中点，连接， 分别为的中点， 且，且， ，且，则四边形为平行四边形， ，平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理结合平行四边形的性质得到，再结合线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法求出点坐标，再由点到平面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AB中点，连接OP，OD，BD 因为，所以， ∵平面平面，面，为交线， 平面，， 为正三角形，， 以为原点，分别以OB，OD，OP为，，轴建系，如图， 设， 则，，，，， 所以， 易知平面PAB的法向量可取， 设平面PAE的法向量为， 因为，令，可取， 所以，解得， 所以，，， 设平面PBC的法向量为， 因为，令，可得， 所以. 18. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 【答案】（1）当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）设， 则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当且仅当时取等， 所以，即，当且仅当，时取等； （ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以， 由（2）可知，，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以 法二： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，，易知在上单调递增， 所以当时，，即， 上式整理得，即 设，，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以 所以（同法一） 法三： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，， 所以，所以在上单调递增， 显然，所以，即， 因为，所以，所以，即， 根据基本不等式，，所以， 所以， 所以 法四： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 因为，所以 根据基本不等式，， 设，所以，整理得， 设， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以为增函数， 因为，所以当且仅当时，， 所以， 根据基本不等式，，所以， 所以 所以（同法三） 【解析】 【分析】（1）根据导数分和两类讨论函数的单调性； （2）（i）构造，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明； （ⅱ）法一：利用函数的单调性，先证得，结合（2）的不等式放缩得到，结合推出，得得证； 法二：构造，根据单调性得到，进而得到的单调性，后同法一； 法三：构造，根据单调性得，根据基本不等式得，进而证明结论； 法四：同法一得到，设，构造， 利用导数判断单调性，得到，后同法三进行证明. 【小问1详解】 ， ①当时，，在单调递增， ②当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. 【小问2详解】 略 19. 如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：. 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 【答案】（1）， （2）， （3） 设移动步之后，动点停留在点的概率为， 则根据全概率公式，，， 又因为，所以，， 设随机变量满足：①当移动步之后，动点停留在点，则； ②当移动步之后，动点不停留在点，则； 显然服从两点分布，且， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件的概率计算公式可求的值，结合的值可求的值.或者分情况讨论，利用互斥事件的概率加法公式求的值. （2）先探索与的递推关系，再根据递推公式求数列的通项公式. （3）先求移动步之后，动点停留在点的概率为，根据服从两点分布，利用给出的公式求即可证明. 【小问1详解】 设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动， ， ， 另一种计算的方法： 四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为； 四次移动中，全部水平移动的概率为； 四次移动中，全部竖直移动的概率是； 相加得. 【小问2详解】 设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为 则，； 根据全概率公式，， 则， 因为，所以， 所以，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $