黑龙江省哈尔滨市第九中学校2026届高三下学期一模数学试卷

哈九中2025-026学年度高三下学期 第一次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. 5 B. 1 C. -1 D. -5 4. 如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或 D. 2或 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（ ） A. 61 B. 70 C. 98 D. 120 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间恰有一个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 11. 已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（ ） A. 的轨迹方程为： B. 的最小值为2 C. 的最小值是 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 若向量满足，且，则的值为______. 13. 若直线是曲线的一条切线，则________． 14. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边长分别是，. （1）求角； （2）若，，，求AB边上的高. 16. 已知椭圆：左焦点，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. （1）证明：平面PBC； （2）若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 18. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 19. 如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：. 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 哈九中2025-026学年度高三下学期 第一次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】e 【14题答案】 【答案】200 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 取PB中点，连接， 分别为的中点， 且，且， ，且，则四边形为平行四边形， ，平面平面， 平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）设， 则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当且仅当时取等， 所以，即，当且仅当，时取等； （ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以， 由（2）可知，，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以 法二： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，，易知在上单调递增， 所以当时，，即， 上式整理得，即 设，，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以 所以（同法一） 法三： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，， 所以，所以在上单调递增， 显然，所以，即， 因为，所以，所以，即， 根据基本不等式，，所以， 所以， 所以 法四： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 因为，所以 根据基本不等式，， 设，所以，整理得， 设， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以为增函数， 因为，所以当且仅当时，， 所以， 根据基本不等式，，所以， 所以 所以（同法三） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， （3） 设移动步之后，动点停留在点的概率为， 则根据全概率公式，，， 又因为，所以，， 设随机变量满足：①当移动步之后，动点停留在点，则； ②当移动步之后，动点不停留在点，则； 显然服从两点分布，且， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $