精品解析：2026届辽宁省大连市第二十四中学高考模拟考试数学试题

2026年大连市第二十四中学高考模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合是整数，集合，则（ ） A B. C. D. 3. 在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则方程的互异的实根个数不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是中点，是线段上一点，且，与交于点，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 有两个极小值点 C. D. 当时， 10. 下列函数在定义域中有无穷多个零点的是（ ） A. B. C 满足 D. 满足 11. 数列满足：对任意可以写成，是整数的正整数对均有，且，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是数列中的一项 B. 定值 C. ，为任意正整数 D. 如果对成立，那么该式子对任意正整数成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的值域为___________． 13. 是正项等比数列，记为数列前项和，且满足，则数列的公比为___________． 14. 已知四面体满足，，，记四面体每条棱的中点组成的几何体为，若的体积为1，则的表面积的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角中，为边上一点，平分，且． （1）证明：； （2）若，求长度的取值范围． 16. 为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 （1）如果事件与事件无关，证明：； （2）已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点，是线段上的动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的余弦值的最小值； （3）在（2）取到最小值的情况下，求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为､，直线：交椭圆于､两点，其中在轴上方． （1）当时，若，求的值； （2）过点､分别作直线：垂线，垂足分别为､，设直线、直线的斜率分别为､： （i）证明：； （ii）若存在使得成立，求实数的取值范围． 19. 对于一个项递增正整数列，如果对任意不全为的，均有，则称是一个“数列”，如果一个数列的每一项都不大于常数，则称该数列为“数列”． （1）求“数列”的个数； （2）若数列是“数列”，求的最小值； （3）若常数，证明：对任意的“数列”，（2）中的最小值无法取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年大连市第二十四中学高考模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用复数的除法及乘法计算化简得出虚部即可. 【详解】由于．故其虚部为． 故选：B. 2. 已知集合是整数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再利用交集的定义求得. 【详解】由，得，解得或，所以， 又是整数，所以 故选：A. 3. 在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量的加减法结合数乘运算计算求解. 【详解】由得，所以． 又，而， 则． 故选：D. 4. 设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数. 【详解】对于函数，对任意固定的取遍一切实数，． 要存在使得，只需． 该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即． 因此的取值范围是． 故选：B. 5. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合的单调性可得，令，求导可得的最小值. 【详解】原式化为，因为，则， 则可得. 令，则可得， 因为，则可得在上单调递增， 故，即，令，求导得， 当时，，故函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以．即的最小值为. 故选：B. 6. 将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过插空法确定基本事件个数，再由古典概型概率公式求解即可； 【详解】将3个1和2个0随机排成一行，可利用插空法. 首先万位必须是1，则余下的2个1产生3个空， 若2个0相邻，则有3种排法；若2个0不相邻，则有种排法. 故2个0不相邻的概率为， 故选：C. 7. 已知，则方程的互异的实根个数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，，时可得实根个数为1，2，4，进而证明3个实根不可能即可得结论． 【详解】方程的互异的实根个数可能为，举例如下： 当时，方程 故若，则方程只有1个实根． 当时，，解得或， 故若，则有2个实根， 若，则， 解得或或，故有4个实根． 下证明3个实根不可能． 设的判别式， 的判别式． 若，则，最多有两个实根． 若．则是的二重根， 代入得 则的根也是的根，则有两个实根． 若，则的根满足的根满足． 若 与 有公共根，可推出 ，与 的假设矛盾， 故两方程没有公共根，因此，当时，方程 有4个互异的实根, 故选：C. 8. 在中，是中点，是线段上一点，且，与交于点，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得，再建立平面直角坐标系，求出点到边的距离的最大值，进而可得，可求四边形面积的最大值. 【详解】 在中，是中点，是线段上一点，且， ， 令，则，又共线，于是， 得，所以，因为，所以，即， 由，得，如图以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则点，设，则， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除圆与轴的交点外）， 则点到边的距离的最大值为，所以三角形的面积的最大值为. 则 . 所以四边形面积的最大值为. 故答案为：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 有两个极小值点 C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数定义计算判断A，应用极值点定义及函数单调性判断B，特殊值法计算排除C，根据解析式利用对数函数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为函数，定义域为，关于原点对称， 又，由，可得是偶函数，故A正确； 对于B，由于， 故，令，则可得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值点． 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值点，故B正确； 对于C，取知，故故C错误； 对于D，当时，，则，故D正确． 故选：ABD. 10. 下列函数在定义域中有无穷多个零点的是（ ） A. B. C. 满足 D. 满足 【答案】AC 【解析】 【分析】应用对数函数结合正弦函数的值域判定A，应用正弦函数的零点计算判断B，应用两角和余弦公式及特殊角的三角函数值计算判断C，应用导数为正得出函数单调递增进而判断零点个数判断D. 【详解】A，，则满足，结合正弦函数的周期性，故在定义域中有无穷个零点，A选项正确； B，由于的零点为，满足，即得，故的零点在定义域中只有与，B错误． C，由于，令，则， 则，C选项正确； D，由于，则，故单调递增，故在定义域中至多有一个零点，D选项错误； 故选：AC. 11. 数列满足：对任意可以写成，是整数的正整数对均有，且，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是数列中的一项 B. 是定值 C. ，为任意正整数 D. 如果对成立，那么该式子对任意正整数成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】按照题目所给递推关系，选取合适的，归纳即可. 【详解】对于可得， 则， 则，，， 归纳可得，，故C正确， 当时，，故A正确， D选项，设，则对任意可以写成，是整数的正整数对均有， 若对成立，则对成立， ，可得成立， ，可得，则成立， ，可得成立， ，可得成立， ，可得成立， ，可得成立， ，可得成立， 现在已知成立，且已知的拆分方式， 若对应变成，则对应变成， 可得成立，即成立， 继续归纳可得该式子对任意正整数成立，故D正确. B选项，由D的拆分推导过程可得，由于，则要求，需求，， 由于不确定，则不确定，B错误. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 13. 是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】分和且两种情况讨论可求解. 【详解】若，成立； 因是正项等比数列，则，且， 由可得， 化简得，分解因式得， 故或，因为且，故此情况下无解． 综上所述：满足题意． 故答案为：1. 14. 已知四面体满足，，，记四面体每条棱的中点组成的几何体为，若的体积为1，则的表面积的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由对棱相等可补体为长方体，设长方体棱长为，由体积为1得出，由余弦定理及面积公式得出1个面的面积，结合基本不等式求得最小值. 【详解】熟知这样的四面体是长方体其中的组成的四面体，故几何体是长方体各面中心连接形成的八面体， 设长方体棱长为，则，即． 八面体一个面的边长分别为长方体面对角线的一半，即， 由余弦定理可得， 则， 则八面体一个面的面积为 故表面积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角中，为边上一点，平分，且． （1）证明：； （2）若，求长度的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【小问1详解】 由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故． 【小问2详解】 由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 16. 为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 （1）如果事件与事件无关，证明：； （2）已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）表格见解析（ii）40 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而计算可得，可证结论； （2）（i）用频率估计得满足事件且的人数等于不满足事件但满足的人数，设均为．进而可得，，计算可得列联表；（ii）由（i）中数据计算，结合题意可得，计算可求解. 【小问1详解】 设列联表中四个格子的人数分别为 ：满足事件且满足事件人数； ：满足事件但不满足事件的人数； ：不满足事件但满足事件的人数； ：不满足事件且不满足事件的人数； 则总人数．若事件与事件无关，则有 ， 整理得．又，代入得 . 代入计算公式 . 【小问2详解】 （i）．由已知，用频率估计得满足事件且的人数等于不满足事件但满足的人数， 设均为．又满足事件的合计为，故，解得， 即. 不满足事件且不满足事件的人数为，即．由总人数得 . 于是填写完整的表格如下： 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 （ii）．由（i）中数据计算： 则， ，所以. 依题意，在时，临界值，要判断事件与事件有关，需， 即. 由于为正整数，且表格中所有人数均为整数，是10的倍数．故有效问卷数的最小值为40． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点，是线段上的动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的余弦值的最小值； （3）在（2）取到最小值情况下，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而可证结论； （2）由（1）知，平面的一个法向量可取，令，可得，进而利用向量法可求得直线与平面所成的角的余弦值的最小值； （3）由（2）可求得，进而可得，记为到平面的距离，为到平面的距离，故，进而可求三棱锥的体积． 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 由于与相交于点，且均在平面内，故平面． 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量可取，其模． 设在线段上，，令， 则，于是． 直线与平面所成角满足. 计算， 故，为常数． 因此. 从而与成反比，要使最大（即最大，余弦最小），需最小， 即求点到线段的最短距离．计算： 这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值． 代入得 故． 此时， 因此直线与平面所成角的余弦的最小值为． 【小问3详解】 当时，． 点在上，且，故． 高为，故. 现在，考虑三棱锥．由于点确定平面，而在线段上， 为中点，故点到平面距离等于点到该平面距离的一半． 而，于是. 接下来，因为也在平面上，所以对于直线上的任意点，它到平面的距离与线段的长度成正比．已知分为， 记为到平面的距离，为到平面的距离，故， 因此 综上，三棱锥的体积为． 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为､，直线：交椭圆于､两点，其中在轴上方． （1）当时，若，求的值； （2）过点､分别作直线：的垂线，垂足分别为､，设直线、直线的斜率分别为､： （i）证明：； （ii）若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）或． （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）先设直线，再联立得出韦达定理，再应用数量积坐标公式代入计算求解； （2）（i）设，再分和两种情况计算证明；（ii）先根据已知化简得，再结合（i）计算求解. 【小问1详解】 设， 联立直线方程与椭圆方程， 得到方程， 由韦达定理得，， 代入得 ， 故，即或． 【小问2详解】 ，且， （i）．设 若，则 故，故． 若， 故， ， ， ， 故，故． （ii）．由于，从而． 由（i）有， 故． 所以，即， 即， 解得， 结合即得． 19. 对于一个项递增正整数列，如果对任意不全为的，均有，则称是一个“数列”，如果一个数列的每一项都不大于常数，则称该数列为“数列”． （1）求“数列”的个数； （2）若数列是“数列”，求的最小值； （3）若常数，证明：对任意的“数列”，（2）中的最小值无法取到． 【答案】（1）6个 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）3数列对任意，有．对于三元递增正整数列，这等价于：，利用枚举法逐项判断即可； （2）条件等价于数列的所有子集和互不相同．设，进而分析可得，可求得的最小值； （3）法1：若上一问取等，则对于不全为0的（下不赘述），，即非空子集和必然覆盖1到的每一项．进而通过证明引理：若递增正整数列是数列，且满足对某个，.若，则：．可证结论.法2：利用数学归纳法可证得结论. 【小问1详解】 数列是指项数，每一项的递增正整数列， 且满足：对任意，有．对于三元递增正整数列， 这等价于： 从1，2，3，4，5中任选三个数构成递增序列，共有种可能．逐一检验： ，不满足．：满足． ：满足．，不满足． ：满足．，不满足． ：满足．，不满足． ：满足．：满足． 因此，满足条件的数列共有6个． 【小问2详解】 条件等价于数列的所有子集和互不相同．设． 考虑前项的所有子集和，它们均在0到之间，且互不相同，故共有个不同的子集和． 因此．特别地，. 另一方面，取，则数列递增，且容易验证所有子集和互不相同（事实上，子集和恰好覆盖0到的所有整数）， 此时和．因此，和的最小值为． 【小问3详解】 若上一问取等，则对于不全为0的（下不赘述） 即非空子集和必然覆盖1到的每一项． 法1： 引理：若递增正整数列是数列，且满足对某个， . 若，则． 引理证明：由于数列是数列，故， , 由于， 故．又由于，故， 即．引理得证． 由于，又，故．由引理得． 反复使用引理得对任意．取知，与数列递增矛盾． 法2： 我们将证明该数列必为． 首先，最小的正子集和即为，故．其次，考虑第二小的正子集和． 由于是除外最小的数，而子集和必须包含2，故． 现在用归纳法．假设对于某个， 假设已经证明， 并且它们的所有子集和恰好为. 我们要证明． 若，则本身已出现在前项的子集和集合中（因为该集合已包含1到的所有数）， 这与所有子集和互异矛盾． 若，则不含及后继项的子集和最大为前项的和，即， 而含的子集和最小为，因此无法表示为任何子集的和， 与子集和必须包含1到的每一项矛盾． 因此必有．归纳完成，故对所有，有．特别地，． 但已知数列是“-数列”，即每一项不超过，而， 于是，与矛盾． 因此假设不成立，即不存在这样的“-数列”，从而（2）中的最小值无法取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $