精品解析：广西钦州市第四中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷

广西钦州市第四中学2026春季学期高一年级开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分；共40分，只有一个正确选项） 1. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定 2. 定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是（ ） A. 65 B. 70 C. 68分 D. 66分 4. 函数的最大值为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 5. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（ ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 以上都不对 8. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 二、多选题（共3小题，每小题6分；共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的，得6分，部分选对的得部分分，有选错的，得0分） 9. 一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（ ） A. B. C. D. 10. （多选题）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图． 下列说法正确的是（ ） A. 月收入低于或等于5000元的职工有5500名 B. 如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税 C. 月收入高于或等于7000元的职工约为当地职工的5% D. 根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应调整至5200元 11. （多选题）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（ ） A. 线段的长为1的概率是0.4 B. 线段的长为2的概率是0.5 C. 线段的长为的概率是0.4 D. 线段的长不超过的概率是0.8 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分；共15分.） 12. 若集合，集合，则________． 13. 写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 14. 已知正实数，则ab的最大值为________． 四、解答题（共5小题，共77分，解答时写出文字说明，证明过程或算数步骤） 15. 已知函数，函数. （1）求的定义域； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，使得成立，求的取值范围. 16. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 17. （1）计算：． （2）已知，且，求的值． 18. 已知 （1）判断并证明的奇偶性； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 19. 在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； （2）若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市第四中学2026春季学期高一年级开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分；共40分，只有一个正确选项） 1. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 2. 定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A 3. 某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是（ ） A. 65 B. 70 C. 68分 D. 66分 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. 【详解】平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和， 即（分）. 故选：C 4. 函数的最大值为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得， 可得函数的最大值为9. 5. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，把不等式转化为，结合是上的单调递增函数，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得， 即，所以， 又由不等式，可得， 因为函数是上的单调递增函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，，，. 7. 使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（ ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体容量的大小，选择合适的简单随机抽样方法即可. 【详解】由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适． 故选：B． 8. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【详解】当时，不成立，所以命题是假命题，是真命题； 根据指数函数和对数函数的图象可知，函数与在上有一个交点， 则，，即命题是真命题，是假命题. 二、多选题（共3小题，每小题6分；共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的，得6分，部分选对的得部分分，有选错的，得0分） 9. 一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】不妨设，再利用平均数定义、方差性质、百分位数定义与极差定义逐项计算并判断即可. 【详解】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B错误； 对C：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故C正确； 对D：，，故D错误. 10. （多选题）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图． 下列说法正确的是（ ） A. 月收入低于或等于5000元的职工有5500名 B. 如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税 C. 月收入高于或等于7000元的职工约为当地职工的5% D. 根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应调整至5200元 【答案】ACD 【解析】 【详解】月收入低于或等于5000元的职工有名，A正确； 如果个税起征点调整至5000元，由， 可估计有的当地职工会被征税，B不正确； 月收入高于或等于7000元的职工约占，C正确， 根据此次调查，为使以上的职工不用缴纳个税， 则由B可得前3组频率和为，则起征点应调整至元，D正确． 11. （多选题）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（ ） A. 线段的长为1的概率是0.4 B. 线段的长为2的概率是0.5 C. 线段的长为的概率是0.4 D. 线段的长不超过的概率是0.8 【答案】ACD 【解析】 【分析】先列出样本空间，分别找出线段长为1、2、的线段数量，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】在中任取两点的样本空间 ，共15个样本点， 线段的长为1的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为1的概率，故A正确． 线段的长为2的样本点有，，，共有3个样本点， 所以线段的长为2的概率，故B不正确． 线段的长为的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为的概率，故C正确． 线段的长不超过的概率是，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分；共15分.） 12. 若集合，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的交集运算进行求解. 【详解】因为集合，集合，所以. 故答案为：. 13. 写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 14. 已知正实数，则ab的最大值为________． 【答案】0.5##. 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可得解. 【详解】因为为正实数，， 已知，则，所以. 当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件. 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分，解答时写出文字说明，证明过程或算数步骤） 15. 已知函数，函数. （1）求的定义域； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 又，所以，所以， 即，所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）令后，解出即可得； （2）任取，且，再得到的正负即可得； （3）由题意可得，结合（2）中所得可得，再分与，计算出即可得解. 【小问1详解】 由题意知，整理得， 所以，解得，即的定义域为； 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 若，使得成立，则. 由（2）知在上单调递增，所以， 记， 因为，所以，所以， 当时，， 则，所以，所以或，又，所以； 当时，， 则，所以，所以，又，所以； 综上，的取值范围为. 16. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【小问1详解】 由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 17. （1）计算：． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）5；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂与对数的运算法则，即可求解； （2）根据和差的关系，可得，，再代入求值即可． 【详解】解：（1）原式． （2）因为，所以． 又，所以， 则，则． 18. 已知 （1）判断并证明的奇偶性； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 【答案】（1）答案见解析； （2）或； （3）证明见解析，，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出； （2）方法一：设，将转化为，再根据的范围确定的范围，分析零点情况即可得到的范围； 方法二：设，将转化为，再通过参数分离得，最后把函数有一个零点问题转化成两个函数的图象交点问题即可求出； （3）方法一：先化简，根据单调性和零点存在性定理证明唯一正零点，再通过构造函数或作差比较和的大小即可. 方法二：先判断的单调性，通过零点存在性定理得，通过作差法即可判断和的大小. 【小问1详解】 为奇函数，理由如下： 由题意得，的定义域为， ，为奇函数. 【小问2详解】 ，设，由得， 设，则在有且只有一个零点， ①时，不满足题意． ②解得， ③，无解， ④时，即，此时，满足题意， ⑤时，， 检验，当时，，满足题意． 当时，，不满足题意． 综上所述：的取值范围为或． 方法二：，设， 设，令． 由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增 函数在单调递增，上单调递减． 当时，， 故的图象如图所示， 由图象可知的取值范围为或． 【小问3详解】 方法一：依题意可得， 因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增，所以， 因此，可得． 方法二：依题意， 因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 且， 即，由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，即， 所以， 因为， 所以，即，所以． 19. 在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； （2）若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 【答案】（1）选择模型为，理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为； 二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大． 因为模型①的定义域不可能为，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合； 因为模型③在有意义，且当时，单调递增，符合题意， 故应选择模型为． 函数解析式为. （2）（i）不能，依题意，得，所以该无人机不能完成本次配送任务． （ii）9km 【解析】 【分析】（1）先根据定义域和单调性要求筛选出函数模型③，把已知点代入模型求出、的值，检验其余点是否在所得函数图象上确定解析式. （2）（i）计算载重9时飞行20km能耗并与300比较判断能否完成任务. （ii）先算出载重25时总能耗表达式，再根据能耗限制列不等式求解的最大值. 【小问1详解】 选择函数模型③，理由略， 将点（0，2），（1，7）代入得，解得， 所以． 经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数的图象上， 所以所求的函数解析式为， 且当时，表示空载能耗. 【小问2详解】 由（1）得． （i）略 （ii）依题意，得， 所以，解得， 所以的最大值为9km． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $