精品解析：浙江省名校协作体2026届高三下学期开学联考数学练习试题

高三数学练习 考生须知： 1．本卷满分150分，练习时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．练习结束后，只需上交答题卷． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】，则， ． 2. 已知，则（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】列出二项式展开的通项公式： ，取 代入公式即可 【详解】二项式展开的通项公式为：  对于，要求的系数，取 代入公式：  因此， 3. 体积为的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助球的体积公式可求出半径，再利用表面积公式计算即可得. 【详解】设该球半径为 ，则，解得， 则该球的表面积为. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 得 . 5. 已知双曲线的左焦点为为虚轴端点，直线 与渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线 的方程，求出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求出. 【详解】不妨设，又，则直线 的方程为， 联立，得，即， 因为，所以， 则，得， 则该双曲线的离心率是. 6. 已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简，然后解出的单调递增区间求解即可 【详解】 因为在区间上单调递增，所以 解得 由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间 可以覆盖该区间，因此，解得 又，所以 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时： 原式变为 ，整理得： 当 时： 原式变为 ，已知，且由得， 代入得：  化简得 ，解得 ， 把代入式(1)，得 ，解得  时：原式变为 ，由 得前两项和为 ， 代入得：  化简得 ，解得  故 ，D对 8. 若曲线族（具有某种共同性质的所有曲线的集合）满足条件：存在直线，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的”是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A、B、D：假设存在这样的直线，则圆心到直线的距离需小于等于半径，分直线斜率存在与斜率不存在，结合点到直线的距离公式进行讨论即可得；对C：举出符合要求的直线即可得. 【详解】对A：该方程表示圆心为，半径为的圆族， 假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为， 则圆心到直线的距离需小于等于半径， 即，整理得， 左边最高次为、右边最高次为， 当时，左边远大于右边，不存在无数多个，使得不等式成立； 若直线斜率不存在，设为， 则，解得， 当时，必须随无限增大，与为固定常数不符； 故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故A错误； 对B：该方程表示圆心为，半径为的圆族， 假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为， 则圆心到直线的距离需小于等于半径， 即，整理得， 左边最高次为、右边最高次为， 当时，左边远大于右边，不存在无数多个，使得不等式成立； 若直线斜率不存在，设为， 则，解得， 当时，必须随无限增大，与为固定常数不符； 故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故B错误； 对C：该方程表示圆心为，半径为的圆族， 取直线，代入该方程，即有， 整理得， ， 由，故， 故直线与该圆族中的每一个圆都有两个不同交点， 故该曲线族中存在无数个点在直线上，故曲线族是“完美的”，故C正确； 对D：该方程表示圆心为，半径为的圆族， 假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为， 则圆心到直线的距离需小于等于半径， 即，整理得， 左边最高次为、右边最高次为， 当时，左边远大于右边，不存在无数多个，使得不等式成立； 若直线斜率不存在，设为， 则，解得， 当时，必须随无限增大，与为固定常数不符； 故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故D错误. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A. 的估值为，的估值为 B. 的估值为，的估值为 C. 可化为 D. 可化为 【答案】AC 【解析】 【分析】对AB，利用表格和频率估计概率，代入计算即可；对C、D，利用贝叶斯公式和条件概率公式化简即可 【详解】对AB，根据表格和频率估计概率：事件为动物发病，总样本数为，发病共 只， 因此，。由定义 事件为此动物使用药物，发生条件下，用药共只，其中发病只， 因此，。由定义.因此选项A正确，选项B错误. 对CD，利用贝叶斯公式展开推导：根据条件概率公式：， 代入得： 又，因此：，选项C正确，选项D错误 10. 在正三棱柱中，，点满足，，则（） A. 当时， B. 当时， 与异面 C. 若 平面，则 D. 若点在平面内，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先以为原点建系，写出各点坐标，对于AC依据条件代入计算即可；对于B，取满足条件的特殊值代入计算即可；对于D，利用空间向量共面定理，代入求解即可 【详解】正三棱柱中，以为原点建系如图所示， 由于，设 ， ，，，，， 由，得点坐标为，， 对于A，当时，代入得， 则：，因此A正确 对于B，当时，取特殊值：，满足， 此时即点，， 与相交于，不是异面直线，因此B错误 对于C，若 平面，先计算得， 平面中，已有，只需： 整理得，因此C正确 对于D，若点在平面内， 则， 又， 所以，整理得，所以，因此D正确. 11. 已知集合，其中，且，定义的和集，则（） A. 若是等差数列，则的元素个数为 B. 若是等比数列，则的元素个数为 C. 若的元素个数为，则是等差数列 D. 若的元素个数为，则是等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，写出，计算取值个数即可；对B，反证法证明，写出所有组合数即可；对C，根据的元素个数为是和集的最小值，求出，判断即可；对D，举反例判断即可 【详解】对A，设等差数列的公差为，则 ，的取值范围为从0到 ，且能取遍所有整数，共 个不同值， 因此，的元素个数为 ，A对； 对B，设等比数列公比 ，则，若，不妨设，两边除以： ，若，则最大幂指数：，代入得矛盾，， 同理，所以若，则， ， 即的元素个数为，B对； 对C，，， 已有 项互不相同，，， ，此时必为等差数列，C对； 对D，取，则， 元素个数为，但该数列不是等比数列，故D错. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，由直线的点斜式方程求解即得. 【详解】对求导得  依题意，可得  故所求切线方程为  ，即. 13. 已知，，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正切差角公式化简原式求解，再利用二倍角公式代入计算即可 【详解】根据正切差角公式 ，， 原等式可化为：  设 ，由  得 ， 整理方程：  解得正根 （负根舍去）。 利用公式 ， 分子分母同除以  得：   代入 ：  14. 某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 【答案】38 【解析】 【分析】先插入几何题与概率统计题，共有三类不同情况，再针对三类不同情况分别计算插入三道函数题的情况种数即可得. 【详解】用表示三道函数题且难度从易到难， 用表示两道几何题且难度从易到难， 用表示两道概率统计题且难度从易到难， 先排几何题与概率统计题，则有①或、②或、 ③或这三类不同情况， 针对情况①：之间与之间必须插入一道函数题， 则剩余的道函数题有个位置可选，共有种情况； 针对情况②：再插入三道函数题，共有种情况； 针对情况③：则之间或之间必须插入一道函数题，共有种情况； 综上，共有种不同情况. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式、前项和公式及等比中项的定义列式求解. （2）利用裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 设数列的通项公式为 ，， 由，故； 又，，成等比数列，故，解得， 因为，故. 代入可得，，. 故 . 【小问2详解】 ， 故. 16. 已知锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，求． ①面积为； ②边上的中线长为； ③，，成等差数列． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助二倍角公式与正弦定理计算即可得； （2）由余弦定理可得，若选择①，则可利用面积公式结合完全平方公式计算求解；若选择②，则可利用向量数量积公式结合完全平方公式计算求解；若选择③，则可利用等差数列定义结合完全平方公式计算求解. 【小问1详解】 由，故， 由于是锐角三角形，则，故， 由正弦定理，故， 由，故； 【小问2详解】 由余弦定理 ，得到； 选择①面积为：则，即， 又由于，则，故， ，故，则； 选择②边上的中线长为：设为边上的中线， 则，即有， 即，又由于， 则，，则，故， ，故，则； 选择③成等差数列：则，， 又由于，则，， 则，故，则. 17. 如图，在三棱锥 中，是棱的中点，，是边长为2的正三角形，平面平面 ． （1）证明： ； （2）点满足，且 平面 ， （i）求 的值； （ii）求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，结合勾股定理逆定理即可证明； （2）（i）法1：根据线面平行的性质确定，结合全等三角形的判定及性质可得为中点，再根据共线的性质可求；法2：以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合线面平行列方程计算即可；（ii）根据空间向量法求线面角即可． 【小问1详解】 证明：∵在正三角形 中，是棱的中点， ∴， ∵平面平面 ，平面 平面，平面， ∴平面 ，∴ ∵，∴ 又∵，∴， ∴ ； 【小问2详解】 （i）法1．综合法 ∵，∴共面， 延长交于点 ，连接， ∵ 平面 ，平面 平面， 平面 ， ∴，， 又是棱的中点，， ∴， ∴， ∴为中点， ∴，即． 法2．坐标法 由（1）可知平面 ， 平面 ，， 在中，， ， ，， ，即 ， 则两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 则， ，，， ， ∴， ， 设平面 的一个法向量为， ，不妨取，则 ∵ 平面 ， ∴， ∴． （ii）由（i）可得平面 的法向量， 又， 设直线与平面 所成角为， 则， 即直线与平面 所成角的正弦值． 18. 已知椭圆，动点在抛物线上，过点作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点． （1）求椭圆的焦距； （2）若切线 与椭圆的切点恰好是 的中点，求直线 的方程； （3）证明：直线经过定点，并写出定点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程求出半焦距即可. （2）设出直线 方程，分别与椭圆、抛物线方程联立，结合判别式及中点坐标公式列出方程组求解. （3）设出点坐标，求出直线 方程并与椭圆方程联立，利用判别式建立方程，同理可得直线方程与椭圆方程联立求得的方程，再利用方程根的特征及韦达定理求出直线即可推理得证. 【小问1详解】 依题意，椭圆的长短半轴长分别为，则， 所以椭圆的焦距. 【小问2详解】 设直线，切点为， 由，得， 由，得，则， 由，得，则，因此， 解得或， 所以直线 的方程为或. 【小问3详解】 设，由，得直线 斜率， 直线 的方程为，整理得， 同理得直线的方程为，由， 得， 因此， 整理得，同理， 则是关于的方程的两个根，， 因此直线的方程为，所以直线经过定点. 19. 已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． （1）当 时，讨论的单调区间； （2）若对任意的，均有极小值点，且 ，求实数的取值范围； （3）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 【答案】（1）当 时，单调递增；当 时，在 单调递减，在 单调递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系求解即可. （2）通过求导找出极小值点，再代入 ，结合，转化为函数最值问题求解即可. （3）通过变量代换将，转化为新函数的根，构造函数求导，结合导数与单调性的关系求出最值，即可求出距离最小值时的参数关系. 【小问1详解】 当 时，，则 ， 当 时，，故单调递增； 当 时，令，即 ，解得， 所以当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增． 综上，当 时，单调递增；当 时，在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 当时， 当时， ，故单调递减，故不可能有极小值点； 当 时，令，即 ，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 因此均有极小值点，且 ， ， 令，故对任意的， ． ，当时， ，当， ， 故在上单调递增，在单调递减， ， ，且时，；时， ；的图像如图， 故恒成立，故 ． 【小问3详解】 ， 因为方程有两个根，，故 或 ， 方程有两个根，等价于有两个根，， 令，由 ； 无论 或 ，总有当 ； 当 ，故可知． 记 ，上式等价于有两个根， 两式相减可得 ，记 ， 故上式可写成 ，故， 又代入（ ）得， 令， 故，令 ，故 ， 故是单调递增，要求最小值，即求 的最小值，就是求的最小值. 下面考虑的最小值． ，令， 当时， ，单调递增；当时， ，单调递减； （的图像如图所示） 故存在使得 ，即 ， 所以时， ，单调递减；时， ，单调递增； 故，即时，取最小值． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学练习 考生须知： 1．本卷满分150分，练习时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．练习结束后，只需上交答题卷． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知，则（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 3. 体积为的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 5. 已知双曲线的左焦点为为虚轴端点，直线 与渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线族（具有某种共同性质的所有曲线的集合）满足条件：存在直线，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的”是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A. 的估值为，的估值为 B. 的估值为，的估值为 C. 可化为 D. 可化为 10. 在正三棱柱中，，点满足，，则（） A. 当时， B. 当时， 与异面 C. 若 平面，则 D. 若点在平面内，则 11. 已知集合，其中，且，定义的和集，则（） A. 若是等差数列，则的元素个数为 B. 若是等比数列，则的元素个数为 C. 若的元素个数为，则是等差数列 D. 若的元素个数为，则是等比数列 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 曲线在点处的切线方程为___________． 13. 已知，，则的值为___________． 14. 某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求证：． 16. 已知锐角中，角，， 的对边分别为，，，且，． （1）求； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，求． ①面积为； ②边上的中线长为 ； ③，，成等差数列． 17. 如图，在三棱锥 中，是棱的中点，，是边长为2的正三角形，平面平面 ． （1）证明： ； （2）点满足，且 平面 ， （i）求 的值； （ii）求直线与平面 所成角的正弦值． 18. 已知椭圆，动点在抛物线上，过点作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点． （1）求椭圆 的焦距； （2）若切线 与椭圆的切点恰好是 的中点，求直线 的方程； （3）证明：直线经过定点，并写出定点坐标． 19. 已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． （1）当 时，讨论的单调区间； （2）若对任意的，均有极小值点，且 ，求实数的取值范围； （3）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $