精品解析：甘肃武威市凉州区武威第二十中学2025-2026学年八年级下学期学情自测数学试题

2025-2026学年第二学期八年级数学开校学情检测 　　　　　　　　　　 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若，且，，则 的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，为的高线， 为的角平分线，与 相交于点，，那么 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 5. 如图，在 中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若， ，则 的面积为（　　） A. 16 B. 24 C. 36 D. 48 6. 如图，l是 的边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 11 D. 13 7. 如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 9. 从图到图的变化过程中可以发现的结论是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 当 时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 无论x为何值，的值总为正数 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________． 12. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 13. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 14. 如图，已知等边的边长为a，中线，点E在 上运动，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ____________________ ． 15. 如图，在 中， 垂直平分 ，若，，则 的周长为_______． 16. 甲、乙两人在分解因式 时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 17. 如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 18. 某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 三、解答题（共66分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. （1）解分式方程：； （2）化简： 21. 已知． （1）化简分式； （2）若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 22. 如图，点、在 上，，，，交于点，且 ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 如图，在 中， ，延长至点E，过点E作 ，使 ，连接交于点D． （1）求证：； （2）若G是上一点，满足 ，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 24. 如图，在中， ，是 上一点，过点作于，的延长线交延长线于． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 25. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； （2）解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以， 为边作正方形，，连接， ，．若 与 的面积和为 ，的面积为，求的长； （3）类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 26. 万象灯火闹元宵，一碗汤圆共团圆．而“柿柿如意”汤圆更是将这种美好寓意发挥到极致．一所大学为让提前返校的外地学生感受节日的温情，计划为学生购买传统汤圆和“柿柿如意”汤圆共40袋．已知某超市每袋“柿柿如意”汤圆的标价比传统汤圆的标价高，若按标价购买共需花费380元，其中购买传统汤圆花费200元． （1）求每袋传统汤圆的标价． （2）若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该大学按“柿柿如意”汤圆九折，传统汤圆八折的优惠价购入，则购买原定数量的两类汤圆共需花费多少元？ 27. 数学教材中有这样一道习题：“如图1， ，垂足分别为 ，若 ， ，求的长．”在计算时，我们通过证明 ，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形 中， ，，为过点的直线， 于， 于，求证： ； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰 ，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰 和等腰 ，其中 ， 是边上的高．延长 交于点，若 ，直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学开校学情检测 　　　　　　　　　　 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若，且，，则 的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 2. 如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：在和中， ，， 当 时，满足“”判定定理，可证明； 当 时，属于“”，不能证明； 当时，，即，满足“”判定定理，可证明； 当 时，满足“ ”判定定理，可证明． 3. 如图，中，为的高线， 为的角平分线，与 相交于点，，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的值，接着利用三角形的高线及角平分线求出，则可求. 【详解】∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，窗户打开后，用窗钩 可将其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：窗户打开后，用窗钩 可将其固定，其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 5. 如图，在 中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与 ，交于点D，E，连接 ；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若， ，则 的面积为（　　） A. 16 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点G作于点H．先由作图得平分，再根据角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴， ∴ 的面积． 6. 如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】解：如图，连接， 是的边 的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：． 7. 如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得 ，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出 即可． 【详解】解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ，当B，M，D共线时等号成立， D为的中点，， ， ，面积为20， ， ， 的最小值为8． 8. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9. 从图到图的变化过程中可以发现的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，利用面积法验证公式是解题的关键．通过观察图到图的图形变化，分别计算出两个图形的面积，再根据图形剪拼前后面积不变的原理，即可推导出平方差公式． 【详解】解：图一的面积可表示为， 图二的面积可表示为， ， 故选： ． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 当 时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是 ，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴ ，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子 ，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴． 12. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，延长交于点，可证，得到分别为的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵垂直于的平分线于点P， ∴，且， ∴， ∴ ，即点是的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∵，， ∴． 13. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据周长为12，求得，然后根据角平分线的性质定理得到，即可根据求得答案． 【详解】解：周长为12，， ， ， 是的角平分线，，， ， ． 14. 如图，已知等边的边长为a，中线，点E在 上运动，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质得到、；作点A关于直线的对称点M，连接 交于N，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 中线， ，， ，， 如图：作点A关于直线的对称点M，连接 交于N，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ∵ ， ， ∴周长的最小值． 【点睛】正确作出辅助线，确定最值出现的条件是解题的关键． 15. 如图，在中， 垂直平分，若，，则 的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，再进行计算即可． 【详解】解：∵ 垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即 的周长为． 16. 甲、乙两人在分解因式 时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 17. 如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 18. 某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）直接提取公因式即可求解； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解分式方程：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后经检验，即可作答． （2）先把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是． （2）解： 21. 已知． （1）化简分式； （2）若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出 ，进而解不等式即可得出的范围． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且 ， 且 解得且， 的取值范围且． 22. 如图，点、在 上，，，，交于点，且 ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“角角边”可证明，再由全等三角形的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理即可得解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 即 ， 在和 中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 中，， ． 23. 如图，在 中， ，延长至点E，过点E作 ，使 ，连接交于点D． （1）求证：； （2）若G是上一点，满足 ，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和 ，证明，得； （2）证明，得． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 在 和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， ∵ ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 24. 如图，在中， ，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解答 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得： ，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得， ，从而可得，最后在中，利用含 角的直角三角形的性质可得 ，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 25. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； （2）解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以， 为边作正方形，，连接， ，．若 与 的面积和为，的面积为，求的长； （3）类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，运用整体思想和数形结合思想是关键． （1）根据题意，图形符合完全平方公式，写出即可； （2）①根据完全平方公式的变形进行计算即可； ②设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，通过构造完全平方公式可得，因此； （3）分析图形可得大长方形的长为，宽为 ，大正方形的面积为，小正方形的面积为，其余的小长方形的面积均为 ，根据面积相等写出等式即可． 【小问1详解】 解：由图可知，大正方形的面积为，两个小正方形的面积分别为和，长方形的面积为， ∴数学公式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴； ②设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， 由题意可知，，， 将，得， ， ∴， ∴， ∴ （负值舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：由图可知，大长方形的长为，宽为 ， 由面积相等可得，． 26. 万象灯火闹元宵，一碗汤圆共团圆．而“柿柿如意”汤圆更是将这种美好寓意发挥到极致．一所大学为让提前返校的外地学生感受节日的温情，计划为学生购买传统汤圆和“柿柿如意”汤圆共40袋．已知某超市每袋“柿柿如意”汤圆的标价比传统汤圆的标价高，若按标价购买共需花费380元，其中购买传统汤圆花费200元． （1）求每袋传统汤圆的标价． （2）若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该大学按“柿柿如意”汤圆九折，传统汤圆八折的优惠价购入，则购买原定数量的两类汤圆共需花费多少元？ 【答案】（1）每袋传统汤圆的标价是8元 （2）购买原定数量的两类汤圆共需花费322元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程． （1）根据“购买传统汤圆和“柿柿如意”汤圆共40袋；按标价购买共需花费380元，其中购买传统汤圆花费200元．”列出方程，即可求解； （2）根据“按“柿柿如意”汤圆九折，传统汤圆八折的优惠价购入，”解答即可． 【小问1详解】 解：设每袋传统汤圆的标价是x元，则每袋“柿柿如意”汤圆的标价是元， 根据题意得：40， 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意． 答：每袋传统汤圆的标价是8元； 【小问2详解】 解：根据题意得：（元）． 答：购买原定数量的两类汤圆共需花费322元． 27. 数学教材中有这样一道习题：“如图1， ，垂足分别为 ，若 ， ，求的长．”在计算时，我们通过证明 ，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形 中， ，， 为过点的直线， 于， 于，求证： ； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰 ，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的 ，边向外作等腰 和等腰 ，其中 ， 是边上的高．延长 交 于点，若 ，直接写出 的面积． 【答案】 （1）证明：∵ 于D， ， ∴， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：结论： ．理由如下： 如图，过点D作 于点T，连接 ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ， ∵是等腰直角三角形， ∴ ， 又∵ ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）60 【解析】 【分析】（1）因为 于D， ，所以 ，因为，即可通过证明 作答； （2）过点D作 于点T，连接 ．证明，推出 ， ，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作 交 的延长线于点M，过点E作 于点N，利用角度等量变换，得到 ，进而推导证明 ，同样证得 ，得到 ，最后 的面积为 、 面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作 交 的延长线于点M，过点E作 于点N，如图所示： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， 同理可证明： ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $