福建省集美中学高中105组2025-2026学年高二下学期数学练习（第2周）(周测)

集美中学高中105组高二（下)数学练习（第2周） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.下列等式中不成立的是() 1 A.A=(n-2)A B. An=As n C.nAg-子=A D.nAr=A: n-n 2.整数3528有()个不同的正因数， A.10 B.12 C.36 D.40 3.甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次.甲、 乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1 名."对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列 可能的不同情况种数为() A.480 B.384 C.360 D.288 4.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出 演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种， A.216 B.360 C.432 D.672 5.已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意 相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有()个. A.432 B.257 C.282 D.504 6.某次市运会跳水项目的预赛中有6名参赛选手，其中A校有3名，B校有2名，C校有1名. 现要求B校2名选手的出场均不能和C校选手的出场相邻，则这6名选手不同出场顺序的种 数为() A.144 B.288 C.360 D.432 7.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配 合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》 《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面， 《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有() A.720种 B.360种 C.288种 D.144种 8.从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室 试卷第1页，共4页 进行深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被 安排在一起相邻而坐的概率为（) A动 B吉 D.动 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知下列问题，其中是排列问题的有() A,从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C.从a,b,c,d四个字母中取出2个字母 D.从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数 10.下列说法正确的有() A.某商场共有5层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有32种 B.用0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 105个 C.现有5个相同的球和5个编号为1,2,3,4,5的不同的盒子，把球全部放入盒子 内，恰有一个空盒的放法有20种 D.把英文单词soy的字母顺序写错，可能出现的错误共有59种 11.用数中0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是() A.可以组成300个四位数 B.可以组成180个四位偶数 C.可以组成96个能被3整除的四位数 D.将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若S=0+1+2+3++100!,则S的个位数字是 13.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时 验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色， 要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种 14.从1,2,3，.，20,21这21个整数中任选两个不同的整数a,b,其中使得2°+3的 个位上的数字为9的有序数组(a,b)的个数为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知圆C过点A(1,4),B(2,3),且圆心在直线x+y-6=0上 (1)求圆C的标准方程： (2)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线方程. 16.己知{a}是公比大于1的等比数列，4=2，且4,3a2,a成等差数列，数列{bn}的 前n项和为Sn= (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列{abn}的前n项和T. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,AD⊥CD,AD/IBC,PA=AD=CD=2, BC=3,B为PD的中点，点r在PC上，且C=P心，G是线段PB上一动点 3 (I)求证：平面PCD⊥平面PAD: (2)当A,E,F,G四点共面时，求直线CG与平面AEF所成角的余弦值 试卷第3页，共4页 18.在平面直角坐标系xOy中，设A(-2,0),B(2,0),C(1,0),直线A2,B2相交于点O, 且它们倒斜率之积足子 (1)求点Q的轨迹T的方程： (2)过点G(4,0)的直线与T交于M,N两点， ①求△CMN面积的最大值： MGNG ②若P是线段MN上异于M,N的一点，且满足 MPNP 证明：∠PAG=∠PGA. 19.已知递增数列{an}的前n项和为Sn,a≥1，数列{an}具有性质P:对任意的n∈N,当 1≤i≤≤时，aa,与马两数中至少有一个是集合a,4,,a}中的项 (1)若数列{a,2,3,4}单调递增且具有性质P,求a,44; (2)证明： =1+1++1 1 a.4a2 a (3)若数列{a,42,4,44,4}单调递增且具有性质P己知a2=2,求S. 试卷第4页，共4页 《集美中学高中105组高二（下)数学练习（第2周）》参考答案 题号 4 5 6 8 9 10 答案 ⊙ D & D C AD BCD 题号 11 答案 AC 1.B 【分析】根据排列数的计算公式计算即可. 【详解】对于A,A=（n-2)(n-1)n=（n-2)A,A正确： 对于B,1A=+少，A=牛，当n>2时，A≠A,B错误： 2 对于C,nA=n(n-1)!=n!=A,C正确： 对于D,A A,=”-川 -m0-m-a-mA,D正确 故选：B 2.C 【分析】先把3528因数分解，再根据分步乘法计数原理求其正因数的个数. 【详解】3528=23×32×72,3528的正因数必为2×3×7的形式， a∈{0,1,2,3}，b∈{0,1,2}，c∈0,1,2}， 所以3528共有4×3×3=36个不同的正因数， 故选：C 3.B 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定第一名的班级，再确定最后一名的班级，再确定没 有要求的班级名次即可， 【详解】分步乘法计数原理，分三步完成. 第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有4种可能： 乙班的名次只可能是第2,3,4,5名，有4种可能： 剩余4个班的名次有A=24种可能 所以6个班的名次排列有4×4×24=384种不同情况. 故选：B 4.C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 答案第1页，共11页 【详解】步骤1：先排4个歌舞节目：A4=24,排好后会产生5个空位（包括两端）： 步骤2：将2个机器人节目插入空位：A?=20; 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置， 有A3=24种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机 器人-歌舞-机器人”的排列， 有A?=2种方法.故不满足条件的情况有A·A=48 故总数为：24×20-48=432 故选：C 5.D 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可。 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有AAA=72种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有C,=7种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有72×7=504个， 故选：D 6.B 【分析】记B校2名选手分别为甲、乙，记事件M:甲与C校选手的出场相邻，事件N:乙与 C校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数： 【详解】记B校2名选手分别为甲、乙， 记事件M:甲与C校选手的出场相邻，事件：乙与C校选手的出场相邻，如下图所示： 2 M 事件M⌒N为：C校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为n(MUN=Aξ-n(M)-n(N)+n(M∩N) 答案第2页，共11页 =A6-2AA+AA4=720-2×240+48=288种. 故选：B. 7.D 【分析】根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两 首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步 计数原理计算可得答案 【详解】根据题意分2步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有A:=24种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这4首诗词的排法有 =12种： 2 ②这4首诗词排好后，不含最后有4个空位，在4个空位中任选2个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有A:=12种安排方法： 则后六场的排法有12×12=144种. 故选：D 8.C 【分析】n个元素圆桌环形排列的所有情况为A,将需要相邻的元素捆绑，环形排列，还 要注意捆绑的两个元素内部也有顺序. 【详解】由题意可知，n个元素圆桌环形排列的所有情况为A”,故所有的情况数是A;=120 种， 同一班级的两名同学恰好排在一起相邻而坐的情况数为：首先三个班的两名同学捆绑，形成 新的三个元素，环排共有A2=2种， 又每个班两名同学可以排序，则有A?A?·A?A?=16种，同一班级的两名同学恰好被安排 162 在一起相邻而坐的概率为 2015 故选：C 9.AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关： 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关： 答案第3页，共11页 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列. 故选：AD 10.BCD 【分析】对于A:根据分步乘法计数原理运算求解；对于B:分类讨论个位数是否为0，结 合排列数运算求解：对于C:若恰有一个空盒，则一个盒子有2个球，结合排列数运算求解； 对于D:注意到字母中包含2个r,结合排列数运算求解 【详解】对于选项A:每层均有2种选择，从一楼上到五楼可能的走法有2=16种，故A 错误； 对于选项B:若个位为0，偶数共有A:=30个： 若个位不为0，偶数共有AAA;=75个： 综上所述：偶数共有30+75=105个，故B正确： 对于选项C:若恰有一个空盒，则一个盒子有2个球，所以放法有A?=20种，故C正确： 对于选项D:由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题 五个字母进行全排列共有A;=120种结果， 字母中包含2个，则五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果， 在这60种结果里有一个是正确的， 所以可能出现的错误的种数是60-1=59，故D正确： 故选：BCD 11.AC 【分析】A选项，先考虑千位，再考虑剩余3个数位，相乘得到答案；B选项，分个位为0 和个位不为0两种情况，相加得到答案；C选项，选出四个数，数字之和能被3整除，再考 虑每种情况下能组成的四位数个数，相加后得到答案；D选项，先考虑千位数字为1，再考 虑千位数字为2，再考虑百位，从而得到从小到大排列，第85个数为2301. 【详解】对于A,先从1,2,3,4,5五个数字中选出1个放在千位上，有C=5种选择， 再从添上0后的剩余5个数中选出4个，放在百位，十位和个位上，有A=60种选择， 因此可以组成没有重复数字的四位数个数为5×60=300，A正确： 对于B,分两种情况，当个位为0时，从1,2,3,4,5五个数中，选择3个放在千位，百 答案第4页，共11页 位和十位上，有A=60中选择， 当个位不为0时，先从2,4中选择1个放在个位上，有C=2种选择， 再考虑千位，从除去0外的剩余4个数中，选择1个放在千位，有C:=4种选择， 再从添上0后的4个数中，选择2个，和剩余的百位和十位进行全排列，有A=12种选择， 故可以组成没有重复数字的四位偶数个数为60+CC4A=60+96=156,B错误： 对于C,能被3整除的四位数，数位上的数字之和要能被整除， 先从0,1,2,3,4,5六个数中，选出四个数，数字之和能被3整除的有0,1,2,3；0,2,3,4： 0,1,3,5；0,3,4,5和1,2,4,5： 其中0,1,2,3，先考虑千位，从除去0的三个数中，选出1个，有C=3种选择，再考虑剩余 的3个数，有A=6种选择，可以组成的没有重复数字的四位数个数为3×6=18， 同理可得0,2,3,4：0,1,3,5；0,3,4,5，均可以组成的没有重复数字的四位数个数为18， 1,2,4,5,能组成没有重复数字的四位数个数为A=24, 因此可以组成18×4+24=96个能被3整除的四位数，C正确： 对于D,若组成的没有重复数字的四位数千位为1， 此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有A=60个， 若组成的没有重复数字的四位数千位为2， 此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有A=60个， 60<80<120,故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个四位数千位为2， 若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为0，此时从剩余的4个数字中选择2个， 放在十位和个位，组成的没有重复数字的四位数有A?=12个，60+12=72<85， 同理可得：若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为1，组成的没有重复数字的四 位数有A=12个，72+12=84<85， 因此将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2301，D错误， 故选：AC 12.4 【分析】分别计算，找出规律可求s的个位数字. 【详解】0！=1,1！=1,2！=2,3！=6,4！=24，从5！开始一直到100！的个位数字都是0. 答案第5页，共11页 所以要求S的个位数字，则只要将前面五个数加起来，即1+1+2+6+24=34. 所以S的个位数字就是4. 13.72 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数 原理计算答案 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域B,有4种颜色可选： ②，对于区域C,与B区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域A,与C、B区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有2种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，E区域有1种颜色可选， 则区域D、E有2+1×1=3种选择， 则不同的涂色方案有4×3×2×3=72种. 14.85 【分析】根据2”，3”的个位上的数字具有周期性规律，对a、b的取值分类讨论，结合计数 原理求得答案， 【详解】2”，3”的个位上的数字具有周期性规律，如表所示， 2 6 7 P 2的个 位上的 2 4 8 6 2 4 8 数字 3”的个 位上的 3 0 7 数字 由表可得2”，3”的个位上的数字周期为4， 因此，①当a取1,5,9,13,17,21时，b可取3,7,11,15,19，此时满足题意的有序数组(a,b)有 6×5=30个： 答案第6页，共11页