专题02平行线的判定与性质同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题02平行线的判定与性质同步讲义 【题型01 同位角相等.两直线平行】.................................3 【题型02 同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】.................3 【题型03 内错角相等,两直线平行】.................................4 【题型04 同旁内角互补,两直线平行】...............................5 【题型05 两直线平行,同位角相等】.................................6 【题型06 两直线平行,内错角相等】.................................7 【题型07 两直线平行,同旁内角互补】...............................8 【题型08 利用平行线性质探究角的关系】............................8 【题型09 利用平行线性质求角的度数】.............................10 【题型10 平行线性质在生活中的应用】.............................11 【题型11 利用平行线判定与性质证明】.............................12 【题型12 利用平行线判定与性质求角度】...........................13 【解答题5题】...................................................14 ★知识梳理★ 知识点01:核心判定定理 1.同位角相等，两直线平行 几何语言：若∠3 = ∠2，则 AB∥CD。 作用：由角的相等关系推导出直线平行。 2.内错角相等，两直线平行 几何语言：若∠1 = ∠2，则 AB∥CD。 作用：通过内错角相等证明平行。 3.同旁内角互补，两直线平行 几何语言：若∠2 + ∠4 = 180°，则AB∥CD 。 作用：通过同旁内角互补证明平行。 4.同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 几何语言：若 b⊥a，c⊥a，则 c∥b。 作用：由垂直关系推导出平行关系。 知识点02:核心性质定理 1.两直线平行，同位角相等 几何语言：若 a∥b，则∠1 = ∠2。 作用：由直线平行推导出同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等 几何语言：若 a∥b，则∠2 = ∠3。 作用：由直线平行推导出内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补 几何语言：若 a∥b，则∠2 + ∠4 = 180°。 作用：由直线平行推导出同旁内角互补。 【题型1.同位角相等.两直线平行】 【典例】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是_________． 【跟踪专练1】如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a、b平行． 【跟踪专练3】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【题型2.同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】 【典例】若，则A，B，C三点共线，理由是_______________________． 【跟踪专练1】如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【跟踪专练2】两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点，，，在一条直线上，则有，理由是_____． 【跟踪专练3】在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【题型3.内错角相等,两直线平行】 【典例】如图，当_____________时，． 【跟踪专练1】如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） . A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【跟踪专练2】如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____． 【跟踪专练3】如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型4.同旁内角互补,两直线平行】 【典例】如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是________． 【跟踪专练1】随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据：，，，，，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【跟踪专练3.】如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.两直线平行.同位角相等】 【典例】如图，，是上一点，，，则的度数为_____． 【跟踪专练1】如图，直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，若，．则______． 【跟踪专练3】下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【题型6.两直线平行.内错角相等】 【典例】 如图，，，则与的数量关系是_____． 【跟踪专练1】如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，点E在上，平分．若，则的大小为________度． 【跟踪专练3】如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型7.两直线平行.同旁内角互补】 【典例】如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 【跟踪专练1】如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 【跟踪专练2】如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______． 【跟踪专练3】下列说法正确的个数有（   ） ①相等的角是对顶角；②两个无理数的和还是无理数；③同旁内角相等，两直线平行；④在同一平面内的三条直线，，，如果，，那么；⑤是直线外一点，，，分别是上的三点，已知，，，点到的距离一定是．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8.利用平行线性质探究角的关系】 【典例】共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是________．（用含，的式子表示） 【跟踪专练1】如图，，且，那么图中与相等的角（不包括）有（   ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练2】已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 【跟踪专练3】如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【题型9.利用平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，，则__． .【跟踪专练1】如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【跟踪专练3】如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型10.平行线性质在生活中的应用】 【典例】如图，砌墙师傅用重锤线检验砌的墙体是否与地面垂直，墙体竖直线用a表示，重锤线用b表示，当时，因为，则，这里运用了平行线的性质是______． 【跟踪专练1】如图，当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知，则（   ） A．100° B．125° C．120° D．135° 【跟踪专练2】如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【跟踪专练3】如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型11.利用平行线判定与性质证明】 【典例】如图，，，则和的位置关系为______．    【跟踪专练1】已知：如图，在四边形中，分别是上的点，连接，且．求证：．是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是（   ） ①，②．③，④．⑤． A．①④③②⑤ B．③⑤①④② C．③④①②⑤ D．①⑤③④② 【跟踪专练2】如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    【跟踪专练3】如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【题型12.利用平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，已知，，，四条直线，若，，，则__度． 【跟踪专练1】如图，中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 【跟踪专练3】.如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 2．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 3．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 4．完成下面的证明，并在括号里注明理由：如图，已知点O，E在直线AB上，OD是的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．证明：． 证明：∵， ∴， ． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． 5．某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线的判定与性质同步讲义 【题型01 同位角相等.两直线平行】.................................3 【题型02 同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】.................5 【题型03 内错角相等,两直线平行】.................................7 【题型04 同旁内角互补,两直线平行】...............................9 【题型05 两直线平行,同位角相等】................................11 【题型06 两直线平行,内错角相等】................................13 【题型07 两直线平行,同旁内角互补】..............................16 【题型08 利用平行线性质探究角的关系】...........................18 【题型09 利用平行线性质求角的度数】.............................22 【题型10 平行线性质在生活中的应用】.............................25 【题型11 利用平行线判定与性质证明】.............................28 【题型12 利用平行线判定与性质求角度】...........................31 【解答题5题】...................................................35 ★知识梳理★ 知识点01:核心判定定理 1.同位角相等，两直线平行 几何语言：若∠3 = ∠2，则 AB∥CD。 作用：由角的相等关系推导出直线平行。 2.内错角相等，两直线平行 几何语言：若∠1 = ∠2，则 AB∥CD。 作用：通过内错角相等证明平行。 3.同旁内角互补，两直线平行 几何语言：若∠2 + ∠4 = 180°，则AB∥CD 。 作用：通过同旁内角互补证明平行。 4.同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 几何语言：若 b⊥a，c⊥a，则 c∥b。 作用：由垂直关系推导出平行关系。 知识点02:核心性质定理 1.两直线平行，同位角相等 几何语言：若 a∥b，则∠1 = ∠2。 作用：由直线平行推导出同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等 几何语言：若 a∥b，则∠2 = ∠3。 作用：由直线平行推导出内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补 几何语言：若 a∥b，则∠2 + ∠4 = 180°。 作用：由直线平行推导出同旁内角互补。 【题型1.同位角相等.两直线平行】 【典例】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是_________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据作平行线时，三角板的角的度数是不变的，以及角的位置关系，结合平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：图中移动的三角板的角度是同位角的关系， 则过直线外一点作已知直线的平行线，依据是同位角相等，两直线平行. 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定方法；根据同位角相等，两直线平行即可判断 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a、b平行． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，此时停止运动， ，解得：； ④当时，此时停止运动， ，解得：， 综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行， 故答案为：或或或． 【跟踪专练3】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 【题型2.同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】 【典例】若，则A，B，C三点共线，理由是_______________________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 【跟踪专练1】如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 【跟踪专练2】两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点，，，在一条直线上，则有，理由是_____． 【答案】内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等两直线平行是解决此题的关键，利用平行线的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） 故答案为：内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． 【跟踪专练3】在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵， ∴， 故选：B． 【题型3.内错角相等,两直线平行】 【典例】如图，当_____________时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 利用内错角相等两直线平行进行判定即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） . A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵与不是同位角，也不是内错角，∴无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，无法证明，也无法证明，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∴，故该选项符合题意； 故选：D 【跟踪专练2】如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____． 【答案】 AB CD 内错角相等，两直线平行(答案不唯一) 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】∵∠1+∠3+∠ABD＝180°，∠1＝56°，∠3＝80°， ∴∠ABD＝180°﹣56°﹣80°＝44°， ∵∠2＝44°， ∴∠2＝∠ABD， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 【跟踪专练3】如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 【题型4.同旁内角互补,两直线平行】 【典例】如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：． 【跟踪专练1】随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据：，，，，，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定条件进行求解即可，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 【跟踪专练3.】如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．熟知平行线的判定法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，故不符合题意． 、，，故不符合题意； C、，，不能判定，故符合题意； D、，，故不符合题意； 故选：C． 【题型5.两直线平行.同位角相等】 【典例】如图，，是上一点，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，解题关键是掌握两直线平行同位角相等． 根据两直线平行同位角相等，求得，再结合，求得． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键，根据题意，两直线平行，同位角相等即可判定． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，符合题意； 不相等，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：A ． 【跟踪专练2】如图，，若，．则______． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，，进而得到，，即可求出的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项A、∵，∴，故本选项不符合题意； 选项B、∵， ∴， ∵， ∴， 故本选项符合题意； 选项C、由，不能得到，故本选项不符合题意； 选项D、由，不能得到，故本选项不符合题意； 故选B． 【题型6.两直线平行.内错角相等】 【典例】 如图，，，则与的数量关系是_____． 【答案】相等 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的数量关系是相等． 故答案为：相等． 【跟踪专练1】如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，，点E在上，平分．若，则的大小为________度． 【答案】35 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到即可求解. 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， 故答案为：35． 【跟踪专练3】如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【题型7.两直线平行.同旁内角互补】 【典例】如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 【答案】A 【分析】本题考查方向角，掌握方向角的定义以及平行线的性质是正确解答的关键；根据方向角的定义以及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴学校位于小明家北偏东方向上的1200米处． 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______． 【答案】30 【分析】先根据角平分线的定义求得，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【跟踪专练3】下列说法正确的个数有（   ） ①相等的角是对顶角；②两个无理数的和还是无理数；③同旁内角相等，两直线平行；④在同一平面内的三条直线，，，如果，，那么；⑤是直线外一点，，，分别是上的三点，已知，，，点到的距离一定是．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定即性质，点到直线的距离，对顶角的定义，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 根据平行线的判定即性质，点到直线的距离，对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：①对顶角是指两个角有一个公共点，且一个角的两边是另一个角的两边反向延长线，所以两个相等不一定有公共点，故①错误； ②两个相反的无理数和为有理数，故②错误； ③同旁内角要互补，两直线才会平行，故③错误； ④平行线具有传递性，故④正确； ⑤不一定会垂直于，点到的距离不一定是，故⑤错误； 综上正确有1个； 故选：A． 【题型8.利用平行线性质探究角的关系】 【典例】共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是________．（用含，的式子表示） 【答案】 【分析】由得到，代入，得到，由即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，，且，那么图中与相等的角（不包括）有（   ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由可得，再根据，可得，，最后统计即可解答. 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴图中与相等的角共有5个． 故选：C. 【跟踪专练2】已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 【跟踪专练3】如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及“平行线+角平分线”的经典组合，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线定义可得，由，根据同角或等角的余角相等即可判断选项B正确． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴，故B符合题意； A、C、D均没有条件可证明，不符合题意． 故答案为： B． 【题型9.利用平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，，则__． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 可根据两直线平行的性质可得，以及直角三角形的性质来求解的度数． 【详解】解：如图， ，， ， 直线， ． 故答案为：． .【跟踪专练1】如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【跟踪专练3】如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，求出和，即可求出答案． 本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】延长交于点， ,, ， ， , , ，， , , 故选：C． 【题型10.平行线性质在生活中的应用】 【典例】如图，砌墙师傅用重锤线检验砌的墙体是否与地面垂直，墙体竖直线用a表示，重锤线用b表示，当时，因为，则，这里运用了平行线的性质是______． 【答案】两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据a，b平行得到∠1和∠2的关系，再结合b，c的关系求出∠2即可判断． 【详解】解：如图，∵， ∴∠1+∠2=180°， ∵b⊥c， ∴∠1=90°， ∴∠2=180°-∠1=90°， ∴a⊥c， 理由为：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了平行线的性质的实际应用，解题的关键熟练掌握平行线的性质，并能与实际情境相结合． 【跟踪专练1】如图，当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知，则（   ） A．100° B．125° C．120° D．135° 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】解：∵，在水中平行的光线在空气中也是平行的 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选C． 【跟踪专练2】如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 【跟踪专练3】如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质、三角形内角和定理，逐个判断即可． 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 【题型11.利用平行线判定与性质证明】 【典例】如图，，，则和的位置关系为______．    【答案】 【分析】根据题中所给条件，得出潜在条件，再结合，根据平行线判定定理，得出． 【详解】解：， ， ， ， ，即和的位置关系为平行． 故答案为：∥ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及平行线的判定定理． 【跟踪专练1】已知：如图，在四边形中，分别是上的点，连接，且．求证：．是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是（   ） ①，②．③，④．⑤． A．①④③②⑤ B．③⑤①④② C．③④①②⑤ D．①⑤③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．根据同旁内角互补两直线平行证明，根据内错角相等两直线平行证明，得到，再利用平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴证明步骤正确的顺序是③⑤①④②， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 【跟踪专练3】如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④， 故选：D． 【题型12.利用平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，已知，，，四条直线，若，，，则__度． 【答案】65 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据，推出是解决问题的关键． 由对顶角的性质和已知条件得到，由平行线的判定推出，根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：65． 【跟踪专练1】如图，中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：， ∴，， ， 故选：C． 【跟踪专练2】两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【跟踪专练3】.如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【解答题】 1．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据平行线的判定推出，即可推出． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（__垂直定义__）， 所以， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点睛】本题考查了平行线判定的应用，解决本题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 3．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．完成下面的证明，并在括号里注明理由：如图，已知点O，E在直线AB上，OD是的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．证明：． 证明：∵， ∴， ． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． 【答案】见解析 【分析】由两直线平行，内错角相等，根据可得到；由两直线平行，同位角相等，根据可得到．由是的平分线，根据角的平分线的定义得到，从而得到，最后根据等角的补角相等得到． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵是的平分线， ∴（角的平分线的定义）， ∴． ∵，， ∴（等角的补角相等）． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等． 5．某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $