专题1.3 平行线的判定与性质的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题1.3 平行线的判定与性质的综合 · 典例分析 【典例1】【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． （2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． （3）【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【思路点拨】 本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案． （3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案． 【解题过程】 （1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 4．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．    5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 7．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，点为射线上一动点，连接，作平分交直线于点在直线上取点，连接，使，当时， ． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 9．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． （1）当点运动到如图2所示位置时，求证：； （2）直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 10．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点是外一点，过点作 交于点，以为边作． （1）若，则与的关系是 ； （2）若与直线交于点（点不与点重合），写出三者之间的数量关系，画出相应的图形，并对其中的一种进行证明． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 13．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． （1）如图1，若点在线段上，，，求的度数． （2）如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． （3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 14．（23-24七年级下·山东济宁·期中）（1）如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． （2）问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． （3）如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） （1）如图1， 求证：； （2）如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； （3）如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． （1）如图①，求证： （2）如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． （3）如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． （1）①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； （2）如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； （3）在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 18．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； （3）如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 19．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，直线，直线与分别交于点．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，．    （1）若，则＿＿＿＿＿＿＿； （2）若，射线在内交直线于点，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求的度数； （3）小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示） 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 平行线的判定与性质的综合 · 典例分析 【典例1】【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． （2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． （3）【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【思路点拨】 本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案． （3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案． 【解题过程】 （1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用． 由，可得，故结论①正确；证明，可得，故结论②正确；证明，可得平分，故结论③正确；由，结合是的余角的5倍，可得，进一步可得结论④正确；证明，，进一步可得结论⑤错误； 【解题过程】 解：∵， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵， ∴， ∵是的余角的5倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确； ∵为的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：C． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 ①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【思路点拨】 本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵ ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 4．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．    【思路点拨】 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质等知识．过作，再证明，先证明，，再证明，，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解． 【解题过程】 解：如图，过作．    ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再由平行线的性质证明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根据，推出，再由，推出，即． 【解题过程】 解：如图所示，连接，过点C作， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作，，，，由题意得到，进而得到，由角平分线的性质得到，，再得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【解题过程】 解：作，，，，如图： ∵， ∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 7．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，点为射线上一动点，连接，作平分交直线于点在直线上取点，连接，使，当时， ． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据点与点，点的位置分三种情况讨论，分别画出图形根据平行线的性质推导即可． 【解题过程】 解：①设， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ∵，， ， ， ， ． ②当点在点的左侧时， 设，， 平分， ， ， ，， ∵，，， ，， ， ，即：， ， ， ， 将代入上式解得：， ； ③当点在，之间时， 设，，则， 平分， ，， ， 由已知得：， ， ， ， ， ， ，不合题意，此种情况不存在． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质、角平线的定义．根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果． 【解题过程】 解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的值为或， 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． （1）当点运动到如图2所示位置时，求证：； （2）直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）利用平行线的性质，得到和，利用角度的转换即可解答； （2）根据分类讨论，依次画出情况即可，解答即可． 【解题过程】 （1）证明：， ． ， ， ， 即． （2）解：当点在左侧，且在上方，根据（1）可得； 如图，当点在右侧时，且在下方， ， ． ， ， ； 如图，当点在左侧，且在下方， ， ． ， ， ； 如图，当点在右侧，且在下方， ， ． ， ， ， 综上所述，可得；；；． 10．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点是外一点，过点作 交于点，以为边作． （1）若，则与的关系是 ； （2）若与直线交于点（点不与点重合），写出三者之间的数量关系，画出相应的图形，并对其中的一种进行证明． 【思路点拨】 （1）根据题意作图，根据平行线的性质即可求解； （2）分三种情况分别作图，根据平行线的性质解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴与的数量关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补； （2）解：共有三种情况： ①如图，当与射线交于点时，． 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②如图，当与线段交于点时，． 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ③如图，当与射线交于点时，． 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，数量关系为或或． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 【思路点拨】 此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键； （1）过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系； （2）过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系； （3）过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系． 【解题过程】 （1）证明：过作， ， ， 由两直线平行，内错角相等，可得： 、； ， ． （2）解：关系：； 过作直线， ， ， 则：、； ， ． （3）关系：． 过作， ， ， 同（1）可证得：； ，， ， 即． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【思路点拨】 本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【解题过程】 解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ． 13．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． （1）如图1，若点在线段上，，，求的度数． （2）如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． （3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； （1）过点作，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）设，根据平行线的性质得出，结合平角的定义，即可求解； （3）由（1）可得，则，根据平行线的性质得出，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：设 ∵ ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∴ 又∵，即 解得： ∴ （3）解：如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 由（1）可得 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴． 14．（23-24七年级下·山东济宁·期中）动点探究题 （1）如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． （2）问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． （3）如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 【思路点拨】 本题考查平行线的性质定理，解决问题的关键是添加辅助线，运用平行线的性质，让角与角产生关联从而解决问题． （1）利用平行线的性质，分别同得，的度数，相加即可； （2）利用平行线的性质，和（1）辅导线的作法，推理即可； （3）利用平行线的性质，按照前面方法写出数量关系即可． 【解题过程】 （1）解：过点P做，， ， ， ，， ， 即， ，， ； 故答案为：． （2） 如图，过点P做， ，， ， ， （3） 过点P做，过点K做， 则， ，，，， ， ∵平分，垂直于，平分， ∴，，，， ， , ． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） （1）如图1， 求证：； （2）如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； （3）如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【思路点拨】 （1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论； （2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论； （3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【解题过程】 （1）证明： 平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又 ， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又 ， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又 ， ， 整理得， ． 16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． （1）如图①，求证： （2）如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． （3）如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【思路点拨】 本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． （1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解； （3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据 ，即可求出． 【解题过程】 （1）证明：过点作，如图， ， ， ， ， 即； （2）解：如图： 设， ∵平分平分， ∴， 由（1）中结论可得， ． ， ， 即， ∴； （3）解：过H作， ， ， ， ， 分别平分， ， ， 过P作， ， ， ， ， ， ∴． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． （1）①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； （2）如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； （3）在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 【思路点拨】 本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题；②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【解题过程】 （1）解：①过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：不发生变化，，理由为： 由②可得，， ∵、的角平分线交于点， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； （3）如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【思路点拨】 （1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可求解； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，可得，解方程求出即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，过点作，设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过作，过作，设，， ∵交于，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，直线，直线与分别交于点．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，．    （1）若，则＿＿＿＿＿＿＿； （2）若，射线在内交直线于点，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求的度数； （3）小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示） 【思路点拨】 （1）过点作直线，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，即可； （2）延长交于点，根据，，则，再根据平行公理，得，根据平行线的性质，则，，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可； （3）根据平移三角形分类讨论：①当，分别在点，的右侧；②当点，分别在点，的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 本题考查平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的性质，学会分类讨论的解题方法． 【解题过程】 （1）解：过点作直线，如图1， ， ， ，， ． ∵ ∴； （2）解：延长交于点，如图2， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：①当，分别在点，的右侧，如图3， ， ， ， ， ， ， 射线平分， ； ②当点，分别在点，的左侧，如图4， ， ， ， ， ， ，， 射线平分， ， ， ， 综上所述，或． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）由平行线的性质得到，再根据，等量代换推出，即可证明结论； （2）分别过点作的平行线，设，利用平行线的性质分别表示出，即可得出结论； （3）设，则，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，，根据，求出，过点P作，过点H作，求出，，根据，求出，即可解答． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图：分别过点作的平行线， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴， 如图，过点P作，过点H作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$