1.3《直角三角形》七大题型专练重提升卷2025-2026学年北师大版数学八年级下册

数学第一章第三课时《直角三角形》七大题型专练重提升卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．尺规作图作一个角的平分线的依据是 C．有两条边相等的两个直角三角形一定全等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】A 【知识点】判断命题真假、直角三角形的两个锐角互余、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、作角平分线(尺规作图) 【分析】正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 【详解】解：∵直角三角形内角和为，其中一个内角为， ∴另外两个锐角的和为，即两锐角互余，故A是真命题； 尺规作图作角平分线是通过构造三边对应相等的两个三角形全等，依据是，并非，故B是假命题； 若一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边相等，即使有两条边相等，两个三角形也不全等，故C是假命题； 同底等高的两个三角形面积相等，但形状不同，不全等，故D是假命题． 2．如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】先由三角形的外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 3．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 先根据直角三角形锐角互余以及折叠的性质得到，然后根据平行得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴ 由折叠可得，， ∴， 故选：B， 5．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 6．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，三角形的高的定义，由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角求，是解题的关键． 延长，相交于点，构建直角，通过角所对的直角边是斜边的一半求得，通过勾股定理求出线段的长，根据线段和差关系求得，根据结合勾股定理、角所对的直角边是斜边的一半可求出，，由此即可求出． 【详解】解：如图，延长，相交于点． 在中，． ， ， ， ，． 在中，， ，且， 解得，， ． 故选：B． 9．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 【详解】解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 由，可以得出是等腰三角形，故越大，就越大．当点D与点A重合时，取最大值．计算出此时的值，对比选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴越大，就越大， 当点D与点A重合时，取最大值，即取最大值，如图， 此时， ∵， ∴， ∴，即点C为斜边的中点， ∴， ∴点D运动过程中，，只有选项A符合． 故选：A． 二、填空题 11．在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 12．如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、三角形角平分线的定义 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________．    【答案】10 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________． 【答案】6 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：6． 15．如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，点到直线的距离，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 如图，过点作交于点，通过已知条件结合折叠的性质可证明为等边三角形，得到，进而得到，根据直角三角形两个锐角互余得到；再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理求出的长度，即为点到的距离． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由翻折可知，， 是边的中点， ， 又∵， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ，即点到的距离为， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形的高的定义得到，再利用即可证明； （2）根据三角形的高的定义得到，再根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵分别是边上的高， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 18．某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长． (1)请你帮忙计算出的长度； (2)判断的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理构建关于的方程求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形即可 （3）根据分割法求出绿地的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又，比长， ∴， 解得， 即的长度为； （2）解：由（1）知， 又，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且； （3）解： ， 即这片绿地（即四边形）的面积是． 19．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，折痕为；将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)与的关系是___________； (2)若，求的度数； (3)连接，在（2）的前提下，若，求的度数． 【答案】(1)互余 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据翻折的性质以及平角的度数进行求解即可； （2）根据翻折的性质以及互余的角，进行求解即可； （3）根据长方形的性质得出直角，根据直角三角形的性质求出，然后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：根据翻折的性质得，， 又∵， ∴， ∴与是互余的关系， 故答案为：互余； （2）解：由（1）得，且， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是长方形， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)9 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对等边对等角得出相等的角，根据直角三角形的性质以及等量代换得出，即可得出结论； （2）延长、交于点，根据条件证明和，得出相等的边即可得出结论； （3）延长、交于点，设，，根据面积得出，，最后利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ，， ， ， ， 即平分； （2）证明：如图2，延长、交于点， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在和中 ，，， ， ； （3）证明：如图3，延长、交于点， 由（2）得：， ，， ， 设，， ，， ， （舍负）, 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学第一章第三课时《直角三角形》七大题型专练重提升卷A3（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．尺规作图作一个角的平分线的依据是 C．有两条边相等的两个直角三角形一定全等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 【详解】解：∵直角三角形内角和为，其中一个内角为， ∴另外两个锐角的和为，即两锐角互余，故A是真命题； 尺规作图作角平分线是通过构造三边对应相等的两个三角形全等，依据是，并非，故B是假命题； 若一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边相等，即使有两条边相等，两个三角形也不全等，故C是假命题； 同底等高的两个三角形面积相等，但形状不同，不全等，故D是假命题． 2．如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角形的外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 3．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 先根据直角三角形锐角互余以及折叠的性质得到，然后根据平行得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴ 由折叠可得，， ∴， 故选：B， 5．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 6．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，三角形的高的定义，由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角求，是解题的关键． 延长，相交于点，构建直角，通过角所对的直角边是斜边的一半求得，通过勾股定理求出线段的长，根据线段和差关系求得，根据结合勾股定理、角所对的直角边是斜边的一半可求出，，由此即可求出． 【详解】解：如图，延长，相交于点． 在中，． ， ， ， ，． 在中，， ，且， 解得，， ． 故选：B． 9．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 【详解】解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 由，可以得出是等腰三角形，故越大，就越大．当点D与点A重合时，取最大值．计算出此时的值，对比选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴越大，就越大， 当点D与点A重合时，取最大值，即取最大值，如图， 此时， ∵， ∴， ∴，即点C为斜边的中点， ∴， ∴点D运动过程中，，只有选项A符合． 故选：A． 二、填空题 11．在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 12．如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________． 【答案】6 【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：6． 15．如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，点到直线的距离，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 如图，过点作交于点，通过已知条件结合折叠的性质可证明为等边三角形，得到，进而得到，根据直角三角形两个锐角互余得到；再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理求出的长度，即为点到的距离． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由翻折可知，， 是边的中点， ， 又∵， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ，即点到的距离为， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形的高的定义得到，再利用即可证明； （2）根据三角形的高的定义得到，再根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵分别是边上的高， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 18．某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长． (1)请你帮忙计算出的长度； (2)判断的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理构建关于的方程求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形即可 （3）根据分割法求出绿地的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又，比长， ∴， 解得， 即的长度为； （2）解：由（1）知， 又，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且； （3）解： ， 即这片绿地（即四边形）的面积是． 19．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，折痕为；将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)与的关系是___________； (2)若，求的度数； (3)连接，在（2）的前提下，若，求的度数． 【答案】(1)互余 (2) (3) 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据翻折的性质以及平角的度数进行求解即可； （2）根据翻折的性质以及互余的角，进行求解即可； （3）根据长方形的性质得出直角，根据直角三角形的性质求出，然后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：根据翻折的性质得，， 又∵， ∴， ∴与是互余的关系， 故答案为：互余； （2）解：由（1）得，且， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是长方形， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)9 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对等边对等角得出相等的角，根据直角三角形的性质以及等量代换得出，即可得出结论； （2）延长、交于点，根据条件证明和，得出相等的边即可得出结论； （3）延长、交于点，设，，根据面积得出，，最后利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ，， ， ， ， 即平分； （2）证明：如图2，延长、交于点， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在和中 ，，， ， ； （3）证明：如图3，延长、交于点， 由（2）得：， ，， ， 设，， ，， ， （舍负）, 即． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $数学第一章第三课时《直角三角形》七大题型专练重提升卷（原卷版） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.下列命题中，是真命题的是() A.直角三角形两锐角互余 B.尺规作图作一个角的平分线的依据是SAS C.有两条边相等的两个直角三角形一定全等 D.面积相等的两个三角形全等 2.如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F,交AC于E.己知 ∠A=32°，∠ECD=85°，则∠D=() A F E A.53° B.37° C.47° D.38 3.如图，AC=BC,AE=CD,AE⊥CD于点E,BD⊥CD于点D.若AE=7,BD=2, 则DE的长是(). D A.7 B.5 C.3 D.2 4.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN,EM为折痕，折叠后点A',B,E在同一 直线上，己知∠BME=32°，求∠DA'W的度数为() D A ◇ M A E B A.32° B.26° C.48 D.28° 试卷第1页，共3页 5.下列命题的逆命题是真命题的是() A.如果两个角是直角，那么它们相等B.若a2>b2,则a>b C.两直线平行，内错角相等 D.全等三角形的对应角相等 6.如图，ABC中，AD为ABC的角平分线，BE为ABC的高，∠C=70°， ∠ABC=48°，那么∠3是() F 3 B A.59° B.60° C.56° D.22° 7.如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=45°，∠C=85°，则∠DAE为() D C A.50° B.40° C.30° D.20 8.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90,AD=7,AB=8,则BC+CD等 于() D A.6W3 B.53 C.43 D.35 9.如图，在ABC中，∠C=90°，AE是ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC ,且BF与AE的反向延长线相交于点F,若∠FAC=70°，则∠ABF的度数是() D E、 试卷第1页，共3页 A.25° B.40° C.45° D.50° 10.如图，在Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°，BE=10,D是边AE上的一个动点，以 D为顶点作∠EDC=30°，点C在边BE上，则CD的长度可以是(). E D A B A.4 B.6 C.8 D.10 二、填空题 11.在ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=55°，则∠BAC的度数等于 I2.如图，在ABC中，BD平分∠ABC,与边AC交于点D,AE是ABC的边BC上的高， BD,AE交于点F,已知LC=70°，∠BAE=42°，则LBDC的度数为 A B E I3.如图，在ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD,DE平分∠ADB交AB于 点E,若AC=12,BC=16,则AE的长为 E B D C 14.如图，在ABC中，LB=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,若 BD=3,则CD的长是 试卷第1页，共3页 I5.如图，在ABC中，D是边AC的中点，连接BD,把△BDC沿BD翻折，得到△BDC', DC'与AB交于点E,连接AC'.若AD=AC',BD=3,则点B到AC的距离为 D 三、解答题 I6.如图，在ABC中，AB=AC,BE、CF分别是AC、AB边上的高，且BE与CF交于点 G. F G E B (I)求证：ABE≌ACF; (2)若∠A=50°，求∠BGF的度数. 试卷第1页，共3页 17.如图，在ABC中，D是AB上一点，连接CD,AD=5,BD=9,CD=12,AC=I3 (I)求证：CD⊥AB: (2)求BC的长. 18.某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路 AC.下图是施工图纸，AB=9m,CD=17m,AD=8m,∠ABC=90°，BC=*m,其中BC 的长度不小心被污染了，但知道AC比BC长3m. D 街 A 住宅 道 B 街道C (1)请你帮忙计算出BC的长度； (2)判断∠DAC的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形ABCD)的面积是多少？（小路忽略不计） 试卷第1页，共3页 I9.如图，点E、F分别在长方形纸片ABCD的边AB、CD上，连接EF,将∠BEF对折，点 B落在直线EF上的点B处，折痕为EM;将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A处， 折痕为EN. B B (I)∠MEB'与∠NEA的关系是 (2)若∠MEB'=2∠NEA,求∠MEB的度数； (3)连接MN,在(2)的前提下，若∠NMB'=40°，求∠ENM的度数. 20.如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点F在AC上，连接BF与CD交 于点G,且CF=CG,过点A作AE⊥BF与BF的延长线交于点E. 试卷第1页，共3页 D 图1 图2 (1)求证：BE平分∠ABC: (2)如图2，若AC=BC,求证：BF=2AE; (3)如图1，若△ABE的面积为5，AB-AC=1,求AB+AC的值. 试卷第1页，共3页 数学第一章第三课时《直角三角形》七大题型专练重提升卷（原卷版）A3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．尺规作图作一个角的平分线的依据是 C．有两条边相等的两个直角三角形一定全等 D．面积相等的两个三角形全等 2．如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 6．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 11．在中，，，则的度数等于________． 12．如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 13．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________．    14．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________． 15．如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为______． 三、解答题 16．如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 18．某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长． (1)请你帮忙计算出的长度； (2)判断的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 19．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，折痕为；将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)与的关系是___________； (2)若，求的度数； (3)连接，在（2）的前提下，若，求的度数． 20．如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $