1.3.2直角三角形全等的判定 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明及其应用》 1.3.2直角三角形全等的判定教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一 课题 直角三角形全等的判定 课时 1 课标要求 1、 理解并掌握“斜边、直角边”简称为“HL”的判定定理，知道HL定理是直角三角形特有的判定方法，不适合一般三角形； 2、 综合运用判定方法解决问题，能结合SSS、SAS、ASA、AAS,HL灵活运用从中选择最优方法进行判定； 3、 能依据严谨的逻辑推理解决直角三角形全等的证明及相关的几何计算问题。 教材分析 “直角三角形（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第三节．本节课主要探究的是全等直角三角形判定的“HL”定理，这是在学生已经学过的三角形全等的判定、直角三角形的性质和勾股定理等知识的基础上进行的，它既是前面学习的三角形全等判定方法的拓展与应用，又为证明三角形全等、研究矩形的性质等提供了新的方法．所以，本节课在教材中起着承上启下的作用．另外学生在本节课的动手操作、观察猜想、合作交流、反思质疑及归纳小结的过程中，进一步的提高了分析问题和解决问题的能力、感受了合情推理与演绎推理的紧密联系、养成了良好学习习惯以及形成了实事求是的科学态度．这对于学生对后续知识的研究起着很大的作用． 学情 分析 学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理，且在以往的探究知识的过程中，具备了初步的合情推理和演绎推理能力，积累了一定的探究知识经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础．就其生理、心理特点而言，八年级学生的思维还是以形象思维为主，抽象思维虽然逐渐形成，但尚未成熟．八年级学生有较强的学习兴趣，学习独立性逐渐加强，可塑性大，是掌握基础知识、基本技能的最佳时期．但其认知水平和分析能力有一定的局限．所以在教学过程中，一方面教师要运用直观材料激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；另一方面教师要精心的设计教学活动，留足时间给学生操作、观察、思考、交流、质疑和归纳，引导学生用自己的语言归纳新的定理，让学生真正明白知识的产生过程，学会探究新知识的方法． 核心素养目标 1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。 2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。 3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。 教学重点 掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。  教学难点 “HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。 教学 准备 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 1、判定三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,AAS 2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？ ( A C B D E F ) （1） AB=DE，BC=EF （SAS） （2）∠ A=∠D，AC=DF (AAS) （3）AB=DE ，AC=DF (？） 直角边 斜边 1回顾已经学过的三角形全等的判定定理。 2、完成课前检测题，导入新课。 回归旧知，导入新课 二、探究 合作探究，活动领悟 探究1：直角三角形全等的特有判定定理“HL” 活动一： 1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。 2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。 把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗? 活动二 如图1-21，已知线段a和c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=c. 作法： 1、作射线CN, 2、过C点作射线CN的垂线CM. 3、在射线CM上截取CB=a 4、以B为圆心，以线段c的长度为半径作弧，交射线CN与点A. 5、连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形。 把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？ 猜想： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 探究2：验证猜想 已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC中，∠C=90° AC=AB一BC(勾股定理)． 在Rt△ A′B′C′中， ∠C′=90° A′C′=A′B′—B′C′2(勾股定理)． ∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′． ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS) 小结：直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 【强调】在使用“HL”时,同学们应注意什么? （1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. （2）注意对应相等. 书写格式: ∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中 AB =A′B′ BC =B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL) 想一想 1、到现在为止，你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？ 答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL 2、 一般三角形（非直角三角形）有几种判定三角形全等的方法？ 答：有四种：SAS、ASA、AAS、SSS。 1、 学生按要求画直角三角形。 2、猜想、验证直角三角形全等斜边、直角定理（HL） 学生经历操作、观察、猜想、交流、验证等活动，获得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理(HL.感受了合情推理与演绎推理的紧密联系. 三、变式 例题1：如图1-23，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？ 解：根据题意可知：∠EAB=∠EDF=90°. 在Rt△CAB和Rt△FDE中， BC=EF,AC=DF ∴ Rt△CAB和Rt△FDE (HL). ∴∠CBA=∠DEF.(全等三角形对应角相等） ∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠CBA+∠EFD=90°， ( E A D F C B )例题2：已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC． 证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠EAD=∠ABC=90°. 在Rt△EAD和Rt△ABC中， ED=AC， EA=AB， ∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL). ∴∠AED=∠BAC. ∵∠EAF+∠BAC=90°， ∴∠EAF+∠AED=90°， ∴∠EFA=90°， ∴ED⊥AC. 学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系 及时运用知识解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识、参与意识，巩固所学的“斜边、直角边”定理． 四、尝试 基础达标： 1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（　A　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　D　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 第1题 第2题 第3题 3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（　C　） A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大 4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则 该等腰三角形的底角为（　A　） A．75°或15°B．30°或60° C．75° D．30° 5.已知:如图，AC⊥BC，BD⊥AD, AC=BD， 求证：AD=BC. 证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD， ∴∠D=∠C=90°. ( C ) ( D ) ( D ) ( D ) ( C ) ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) ( C )在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， ( A ) ( A ) ( A ) ( B ) ( A ) ( B ) ( A ) ( A ) ( A ) ( B ) AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴BC=AD. 6.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．求证：AD＝BC. 证明：连接DC. ∵ AD⊥AC，BC⊥BD， ∴∠A=∠B=90°. 在Rt△ADC和Rt△BCD中， DC=CD， AC=BD， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL). ∴AD=BC. 能力提升： 7.如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分∠ACB, (1)求∠B的度数 （2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE (1)解：∵BAC中∠ABC=90°，CD、CE平分∠ACB ∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=30° ∠DCB=60° ∵CD为AB边上的高 ∴∠B=90°-60°=30° (2)解：由（1）得∠ACD=∠DCE=∠ECB=30° ∠A=60° ∠ACE=60° ∴三角形ACE是等边三角形，AC=AE=CE ∠B=30°,∠BCE=30°, ∴EB=CE ∴AE=CE=EB ∴CE是AB的中线。且AB=2CE 拓展迁移 8、如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． （1）证明：如图1，连接DM、DE ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高,M是BC的中点 ∴ ∴DM=EM 又∵N是DE的中点 △DEM是等腰三角形 ∴MN⊥DE （2）猜想∴∠DME＝180°﹣2∠A； 证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）， ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）， ＝360°﹣2（180°﹣∠A）， ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC ∠BME＝∠ACB+∠CEM=2∠ACB ∠CMD＝∠ABC+∠MDB=2∠ABC ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°． ∴∠DME＝2∠BAC﹣180°． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 五、提升 适时小结，兴趣延伸 三角形全等的判定 SSS：如果两个三角形的三条边长度分别相等，那么这两个三角形全等。 SAS：如果两个三角形的一条边和它相邻的两个角，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。 ASA：如果两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。 AAS：如果两个三角形的任意两个角和不夹着它们的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等1。 HL：在直角三角形中，如果两个三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形全等。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 直角三角形全等的判定(HL) ∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中 AB =A′B′ BC =B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL) 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1．下列语句中不正确的是（C　　） A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．有两边对应相等的两个直角三角形全等 C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等 D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 2．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　C　） A．100度 B．120度 C．135度 D．140度 3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　B　） ( A C B D )A．2.5 B ． C． D．2 第3题 第4题 第5题 4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ C　） A．20 B．12 C．14 D．13 5.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC. 求证：AD∥BC． 证明: ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD=∠CDB=90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， AD=CB， BD=DB， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL） ∴∠ADB=∠CBD ∴AD∥BC. 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED． 证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点， ∴BD=AD=DC∴∠A＝∠ABD， ∵DE⊥AC，∴∠CED+∠C＝90°． ∵∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠CED， ∴∠ABD＝∠CED． 能力提升： 7.如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ,∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求OC、BC的长； （2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． （1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ∴∠B＝30° OA＝ OB＝ ， 由勾股定理得：AB＝3， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B， ∴OC＝BC， 在△AOC中，AO +AC ＝CO ， 求出OC=BC=2 （2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2， 则CP＝2﹣t，CQ＝t， 过P作PH⊥OC于H， ∠HCP＝60°，∠HPC＝30° CH＝ CP＝ （2﹣t），HP＝（2﹣t）， ②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在； ③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4， 过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z， ∵CO＝2，∠NOC＝60°，CZ= CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2， ∠NOC＝60°， ∴∠GPO＝30°， OG＝ OP＝（4﹣t） PG＝（4﹣t）， ④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3） 过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K， ∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2， CM＝BC＝1，BM= OM=OB-BM= PQ=BC=2 综合上述：S与t的函数关系式是：S＝ （3） 解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°， ∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°， ①OM＝PM时， ∠MOP＝∠MPO＝30°， ∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°， ∴OP＝2OQ， ∴2（t﹣2）＝4﹣t， 解得：t＝ ②PM＝OP时， 此时∠PMO＝∠MOP＝30°， ∴∠MPO＝120°， ∵∠QOP＝60°， ∴此时不存在； ③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G， OP＝4﹣t，∠QOP＝60°， ∴∠OPG＝30°， ∵∠AOC＝30°，OM＝OP， ∴∠OPM＝∠OMP＝75°， ∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45° ∴PG＝QG OG+QG＝OQ， 即 t= 综合上述：当t 为 或 时，△OPM是等腰三角形． 拓展迁移： 8. 如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F． （1）求证：BE＝BF； （2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． （1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点， ∴BD⊥AC，∠DBC＝45°， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAF＝22.5°， ∴∠BFE＝67.5°， ∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF； 2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点， ∴BD＝AD＝CD， ∴△ABD、△CBD是等腰三角形， 由已知得，△ABC是等腰三角形， 由（1）得，△BEF是等腰三角形， ∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线， ∴点E是△ABC的内心， ∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°， ∴△AEC是等腰三角形． 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $