2.3.2 平行线的判定与性质的综合应用同步练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2.3 平行线的性质 第2课时 平行线的判定与性质的综合应用 一、选择题 1．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝108°，则∠BAD＝(　　) A．82°　　B．112°　　C．108°　　D．72° 2．如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为(　　) A．75°　　B．105°　　C．115°　　D．130° 3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．如图，∠1＝50°，∠AOB＝153°，则∠2等于(　　) A．93°　　B．103°　　C．130°　　D．153° 4．如图是某次考古发掘出的一块四边形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A＝82°.已知∠C＝60°，∠B＝120°，则此玉片残缺角∠D的度数为(　　) A．60°　　B．82°　　C．98°　　D．120° 5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数为(　　) A．120°　　B．130° C．140°　　D．150° 6．珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE等于(　　) A．20°　　B．40°　　C．69°　　D．80° 7．将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE＋∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则∠2＝30°.其中正确的有(　　) A．1个　　B．2个 C．3个　　D．0个 8．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为(　　) A．60°　　B．55°　　C．50°　　D．45° 9．如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM，DN交于点O，与主光轴分别交于点F2，F1，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若∠ABM＝165°，∠CDN＝160°，则∠F1OF2的度数为(　　) A．165° B．160° C．155° D．145° 二、填空题 10．(1)如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32′，则∠2的度数是__________________； (2)如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是______________． 第10(1)题图 第10(2)题图 11．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°.若DM平分∠BDC，CE⊥ME于点E，∠1＝78°，则∠5的度数为__________． 12．如图，已知∠B＝∠BCG，∠A＝61°，则∠ECF＝______________． 13．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN＝________度． 14．已知∠ABC＝90°，点D在∠ABC的边AB上，∠EDF＝36°，且∠EDF的一边与BC平行，则∠ADE的度数为________________． 15．如图，若AB∥CD∥EF∥GH，∠OAB＝∠AOG＝108°，AO⊥OE，CO⊥OG，则∠OCD＋∠OEF＝_________(∠OCD，∠OEF均小于180°)． 三、解答题 16．如图，已知直线l1∥l2，∠ABC＝∠C，∠1＝40°，求∠2的度数． 17．如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在∠A的两边上．已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，求∠A的度数． 18．如图，已知AB∥CD∥EF. (1)∠x＝60°，∠y＝150°，求∠z的度数； (2)猜想∠x，∠y，∠z三者之间的关系，并说明理由 19．如图，CD⊥AB，垂足为D，FE⊥AB，垂足为E，∠ACD＋∠F＝180°. (1)求证：AC∥FG； (2)若∠F＝3∠G，∠BCD∶∠ACD＝2∶3，求∠BCD的度数． 20．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图①，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角，且∠i＝∠r，这就是光的反射定律． (1)在图①中，证明∠1＝∠2； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图②是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由(1)可知，光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠4＝∠5. (2)请问∠3和∠6有什么关系？并说明理由； (3)小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜AB，CD的位置，并给出建议(合理即可)． 21．将三角尺ABC与三角尺ADE摆放在一起，AC与AE重合(如图①)，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°.固定三角尺ADE不动，将三角尺ABC绕点A顺时针旋转180°后停止，设三角尺ABC旋转得三角尺AB′C′. (1)当边AE落在∠B′AC′内时(如图②)，∠DAC′－∠B′AE的度数为________； (2)三角尺ABC绕点A旋转的速度为每秒5°，设旋转时间为t秒．若三角尺AB′C′的一边与三角尺ADE的某边平行(不包含重合情况)，请写出所有符合条件的t的值． 参考答案 一、选择题 1．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝108°，则∠BAD＝(　　) A．82°　　B．112°　　C．108°　　D．72° 【答案】D 2．如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为(　　) A．75°　　B．105°　　C．115°　　D．130° 【答案】B 3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．如图，∠1＝50°，∠AOB＝153°，则∠2等于(　　) A．93°　　B．103°　　C．130°　　D．153° 【答案】B 4．如图是某次考古发掘出的一块四边形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A＝82°.已知∠C＝60°，∠B＝120°，则此玉片残缺角∠D的度数为(　　) A．60°　　B．82°　　C．98°　　D．120° 【答案】C 5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数为(　　) A．120°　　B．130° C．140°　　D．150° 【答案】B 6．珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE等于(　　) A．20°　　B．40°　　C．69°　　D．80° 【答案】A 7．将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE＋∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则∠2＝30°.其中正确的有(　　) A．1个　　B．2个 C．3个　　D．0个 【答案】B 8．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为(　　) A．60°　　B．55°　　C．50°　　D．45° 【答案】A 【解析】如图，过点E作EH∥AB，因为AB∥FG，所以AB∥EH∥FG.所以∠BEH＝α＝15°，∠FEH＋∠EFG＝180°.因为β＝45°，所以∠FEH＝180°－45°－15°＝120°.所以∠EFG＝180°－∠FEH＝180°－120°＝60°.所以EF与FG所成锐角的度数为60°.故选A. 9．如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM，DN交于点O，与主光轴分别交于点F2，F1，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若∠ABM＝165°，∠CDN＝160°，则∠F1OF2的度数为(　　) A．165° B．160° C．155° D．145° 【答案】D 【解析】如图，连接BD，因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠CDB＝180°.因为∠ABM＝165°，∠CDN＝160°，所以∠ABD＋∠OBD＋∠CDB＋∠ODB＝325°.所以∠OBD＋∠ODB＝325°－180°＝145°.所以∠BOD＝180°－145°＝35°.所以∠F1OF2＝180°－∠BOD＝180°－35°＝145°.故选D. 二、填空题 10．(1)如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32′，则∠2的度数是__________________； (2)如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是______________． 第10(1)题图 第10(2)题图 【答案】53°28′ 85° 11．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°.若DM平分∠BDC，CE⊥ME于点E，∠1＝78°，则∠5的度数为__________． 【答案】51° 12．如图，已知∠B＝∠BCG，∠A＝61°，则∠ECF＝______________． 【答案】119° 13．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN＝________度． 【答案】55 14．已知∠ABC＝90°，点D在∠ABC的边AB上，∠EDF＝36°，且∠EDF的一边与BC平行，则∠ADE的度数为________________． 【解析】分三种情况讨论： ①如图①所示，当DE∥BC时，∠ADE＝∠ABC＝90°； ②如图②所示，当DF∥BC，且DE位于DF上方时， 因为DF∥BC，所以∠ADF＝∠ABC＝90°. 所以∠ADE＝∠ADF－∠EDF＝90°－36°＝54°； ③如图③所示，当DF∥BC，且DE位于DF下方时， 因为DF∥BC，所以∠ADF＝∠ABC＝90°， 所以∠ADE＝∠ADF＋∠EDF＝90°＋36°＝126°. 综上所述，∠ADE的度数为90°或54°或126°. 15．如图，若AB∥CD∥EF∥GH，∠OAB＝∠AOG＝108°，AO⊥OE，CO⊥OG，则∠OCD＋∠OEF＝_________(∠OCD，∠OEF均小于180°)． 【答案】288° 【解析】如图，过点O作OM∥AB，所以∠BAO＋∠MOA＝180°.又因为∠BAO＝108°，所以∠MOA＝180°－108°＝72°.因为AO⊥OE，所以∠AOE＝90°.所以∠MOE＝90°－72°＝18°.因为∠AOG＝108°，所以∠EOG＝∠AOG－∠AOE＝108°－90°＝18°.因为CO⊥OG，所以∠COG＝90°，所以∠MOC＝∠COG－∠MOE－∠EOG＝90°－18°－18°＝54°，所以易得∠OCD＋∠OEF＝(180°×2)－(54°＋18°)＝288°. 三、解答题 16．如图，已知直线l1∥l2，∠ABC＝∠C，∠1＝40°，求∠2的度数． 解：因为直线l1∥l2，∠1＝40°，所以∠3＝∠1＝40°. 因为∠ABC＝∠C， 所以AE∥CD. 所以∠3＋∠2＝180°. 所以∠2＝180°－∠3＝140°. 17．如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在∠A的两边上．已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，求∠A的度数． 解：因为∠1＝50°，∠2＝50°， 所以∠1＝∠2.所以AB∥CD. 因为∠2＝∠BDC＝50°， ∠3＝130°，所以∠BDC＋∠3＝180°. 所以BD∥AC.所以∠A＝∠1＝50°. 18．如图，已知AB∥CD∥EF. (1)∠x＝60°，∠y＝150°，求∠z的度数； (2)猜想∠x，∠y，∠z三者之间的关系，并说明理由 解：(1)∵CD∥EF，∠y＝150°，∴∠CEF＝180°－∠y＝30°，∵AB∥EF，∴∠x＝∠AEF＝∠z＋∠CEF，∵∠x＝60°，∴∠z＋30°＝60°，∴∠z＝30°　 (2)∠x＋∠y－∠z＝180°，理由如下：由(1)可知，∠CEF＝180°－∠y，∠x＝∠AEF＝∠z＋∠CEF，即∠CEF＝∠x－∠z，∴180°－∠y＝∠x－∠z，整理，得∠x＋∠y－∠z＝180° 19．如图，CD⊥AB，垂足为D，FE⊥AB，垂足为E，∠ACD＋∠F＝180°. (1)求证：AC∥FG； (2)若∠F＝3∠G，∠BCD∶∠ACD＝2∶3，求∠BCD的度数． 解：(1)证明：因为CD⊥AB，FE⊥AB， 所以∠AEH＝∠ADC＝90°. 所以EF∥DC. 所以∠ACD＝∠CHF. 因为∠ACD＋∠F＝180°. 所以∠CHF＋∠F＝180°. 所以AC∥FG. (2)因为∠BCD∶∠ACD＝2∶3， 设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x， 因为AC∥FG，所以∠G＝∠ACB＝∠BCD＋∠ACD＝5x. 因为∠F＝3∠G，所以∠F＝15x. 因为∠ACD＋∠F＝180°，所以3x＋15x＝180°，即x＝10°. 所以∠BCD＝2x＝20°. 20．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图①，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角，且∠i＝∠r，这就是光的反射定律． (1)在图①中，证明∠1＝∠2； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图②是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由(1)可知，光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠4＝∠5. (2)请问∠3和∠6有什么关系？并说明理由； (3)小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜AB，CD的位置，并给出建议(合理即可)． 解：(1)证明：因为∠i＝∠r， ∠1＋∠i＝90°，∠r＋∠2＝90°， 所以∠1＝∠2. (2)∠3＝∠6.理由如下： 因为∠1＝∠2，∠4＝∠5，AB∥CD， 所以∠1＝∠2＝∠4＝∠5. 所以180°－(∠1＋∠2)＝180°－(∠4＋∠5)． 所以∠3＝∠6. (3)因为潜望镜是根据光的反射原理制成的，而光线通过潜望镜会改变传播方向，如果无法顺利通过，说明HG没有与光线EF平行，需要调整平面镜AB，CD的位置，使得两面镜子AB，CD达到平行(合理即可)． 21．将三角尺ABC与三角尺ADE摆放在一起，AC与AE重合(如图①)，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°.固定三角尺ADE不动，将三角尺ABC绕点A顺时针旋转180°后停止，设三角尺ABC旋转得三角尺AB′C′. (1)当边AE落在∠B′AC′内时(如图②)，∠DAC′－∠B′AE的度数为________； 【答案】15° 【解析】因为∠DAC′＝∠DAE－∠C′AE＝45°－∠C′AE，∠B′AE＝∠B′AC′－∠C′AE＝30°－∠C′AE，所以∠DAC′－∠B′AE＝45°－∠C′AE－(30°－∠C′AE)＝15°. (2)三角尺ABC绕点A旋转的速度为每秒5°，设旋转时间为t秒．若三角尺AB′C′的一边与三角尺ADE的某边平行(不包含重合情况)，请写出所有符合条件的t的值． 解：如图①，当B′C′∥DE时，∠BAB′＝∠DAE＋∠BAC＝45°＋30°＝75°，所以t＝15；如图②，当B′C′∥AE 时，∠CAB′＝∠AB′C′＝90°，所以∠BAB′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°＋30°＝120°，所以t＝24；如图③，当AC′∥DE时，∠DAC′＝∠ADE＝90°，所以∠BAB′＝∠BAC＋∠DAE＋∠DAB′＝∠BAC＋∠DAE＋(∠DAC′－∠C′AB′)＝30°＋45°＋(90°－30°)＝135°，所以t＝27；如图④，当AB′∥DE时，∠B′AD＝∠ADE＝90°，所以∠BAB′＝∠B′AD＋∠DAE＋∠BAC＝90°＋45°＋30°＝165°，所以t＝33；如图⑤，当B′C′∥AD时，∠B′AD＝∠AB′C′＝90°，所以∠BAB′＝∠B′AD＋∠DAE＋∠BAC＝90°＋45°＋30°＝165°，所以t＝33.综上，所有符合条件的t的值为15或24或27或33. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $