精品解析：河北廊坊市广阳区2025-2026学年九年级下学期学情自测 数学试卷

九年级数学 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下面由正方形和圆组成的几何图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 对称轴是的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，钟表表面上的12个点把进行了十二等分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，连接，，．将绕点A顺时针旋转得到，若点B，C，在同一直线上，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 与的度数有关 7. 下列图象与函数图象相符的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（ ） A. 65 B. 75 C. 85 D. 95 11. 如图，是的内接三角形，圆心O在边上，D为边上的点且，将弦沿所在直线折叠，点C落在处，与的夹角（锐角）为，下列，及的关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A的坐标为，点C的坐标为，先将矩形绕点A顺时针旋转，然后再让矩形绕点O以每秒的速度顺时针旋转，则旋转2025分钟后，点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知两条线段的长分别为a，b，且，则________． 14. 已知点，在反比例函数的图象上，且a比b大1，则________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 16. 如图，已知正六边形，从点A引出的三条对角线把它分成4个三角形，点F到对角线的距离是1，的外心为O，的内心为I，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． （1）请在图中找出旋转中心O； （2）以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； （3）连接，求的长度． 18. 如图是一个运算框架图，，，表示某一实数，运算过程是，，． （1）若表示的数为，列出方程并解该方程； （2）若表示的数为，请说明该方程根的情况． 19. 如图是一块和田玉璧的平面图，圆环中镶嵌着一个正方形，A，B为两个切点．正方形的边长为． （1）求圆环内外两圆之间的距离； （2）求与正方形围成的阴影部分的面积． 20. 甲、乙两位同学玩猜盲盒游戏，在4个盲盒里分别放着1个毛绒玩具． （1）4个毛绒玩具分别记为A，B，C，D，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的盲盒中随机选取1个，用画树状图或列表法求乙选中毛绒玩具A的概率； （2）若两人通过石头、剪刀、布游戏决定谁获胜谁优先选择盲盒，游戏规则是：双方每次任意出“剪刀”“石头”“布”这三种手势中的一种，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出现相同手势，算打平．这个游戏是否公平？为什么？ 21. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． （1）求大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 22. 在九三阅兵筹备阶段，某军工企业需向阅兵训练基地运送一批高精度装备配件．运输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量y（单位：个，）与每个包装箱的实际装载重量x（单位：）成反比例关系．当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装载重量为，且每个包装箱的最大安全装载重量为． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）该企业每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元．若某次运输的总费用不超过1550元，求每个包装箱的最少装载重量． 23. 如图，抛物线：的顶点坐标为，与轴交于点，(点在点左侧)，与轴交于点．，是轴上的两点，且点在点的右侧，．过，分别作轴的垂线，与抛物线分别交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）若，均在负半轴，且，求抛物线上点的横坐标； （3）若，在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，是否存在线段？若存在，求出的值，若不存在；请说明理由． 24. 如图，在中，，，．点P以速度从点B向点A运动，同时点Q以的速度从点C向点B运动，当一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． （1） ； （2）当时，求点P到距离； （3）当点P运动到中点时，求线段的长； （4）当t为何值时，线段？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下面由正方形和圆组成的几何图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：“把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形”逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，符合题意； D．是中心对称图形，不符合题意． 2. 小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图和俯视图判断几何体的形状，进而确定其左视图，用到了由三视图判断几何体的知识． 【详解】解：根据该几何体的主视图为长方形，俯视图为圆形可知， 该几何体可能是圆柱， ∴其左视图是长方形，选D． 3. 对称轴是的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数对称轴的求解，可利用顶点式的对称轴性质判断，或用一般式的对称轴公式计算，逐一验证选项即可． 【详解】解：二次函数顶点式的对称轴为，据此推导： 选项A，∵，对应，∴对称轴为，符合要求； 选项B，∵，对应，∴对称轴为，不符合； 选项C，∵，对应，∴对称轴为，不符合； 选项D，展开得，由一般式对称轴公式得，∴对称轴为，不符合； 综上，选A． 4. 如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 5. 如图，钟表表面上的12个点把进行了十二等分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接， ∵钟表表面上的12个点把进行了十二等分， ∴， ∴． 6. 如图，在四边形中，，连接，，．将绕点A顺时针旋转得到，若点B，C，在同一直线上，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 与的度数有关 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转得到，，，求出，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：由旋转得，，， ∴ ∴ ∵ ∴． 7. 下列图象与函数图象相符的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，分别得到表达式即可求解． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符是： ． 8. 若一元二次方程两根是，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用求根公式求出两根，判断两根的符号关系，逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理得， ∵，，， ∴， ∴两个根一个为，一个为，两根异号， A项：，故A错误； B项：题目未规定的大小，若为正根，则，故B错误； C项：两根异号，则，故C错误； D项：两根异号，异号两数相除商为负，则，故D正确． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式求出三角形三边长度，再利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，最后根据正切的定义求出结果． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， 而， ∴， ∴是直角三角形，且， 在中，， ∴． 10. 某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（ ） A. 65 B. 75 C. 85 D. 95 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 11. 如图，是的内接三角形，圆心O在边上，D为边上的点且，将弦沿所在直线折叠，点C落在处，与的夹角（锐角）为，下列，及的关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再根据，得出，根据折叠可得，则，，结合，得，． 【详解】解：根据题意可知是的直径， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴，A正确； ∵， ∴， 即，故B正确； ∴， 即，故C错误；D正确． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A的坐标为，点C的坐标为，先将矩形绕点A顺时针旋转，然后再让矩形绕点O以每秒的速度顺时针旋转，则旋转2025分钟后，点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出绕点A顺时针旋转后点C的坐标，再计算矩形绕点O旋转的总角度，根据旋转的周期性确定最终点C对应点的坐标． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， 又∵矩形绕点A顺时针旋转， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为2025分钟， 又∵， ∴， ∴总旋转角度为：， 由于旋转是周期性的，每为一个周期， ∴，即旋转了506个完整周期后又额外旋转了， ∴点绕点O顺时针旋转后，得到的点C坐标为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知两条线段的长分别为a，b，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件得出a与b的关系，再将其代入进行化简求值． 【详解】解：∵， ∴， 将代入，得到， ∴． 14. 已知点，在反比例函数的图象上，且a比b大1，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到a、b与k的等量关系，结合已知条件a比b大1，联立方程即可求解k的值． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得， 即，， ∴， 由题意得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出m的取值范围，然后根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质求出点P的坐标，得出，即可求解．． 【详解】解：由图可知：，， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 若在直线上，则， 解得， ∵点位于内， ∴， 如图，连接，，过作轴于，过作轴于，则， ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又 ∴． 16. 如图，已知正六边形，从点A引出的三条对角线把它分成4个三角形，点F到对角线的距离是1，的外心为O，的内心为I，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点F作于点G，根据正六边形的性质可得，，则可证明，，进一步可证明；求出的长，进而可求出的长，根据直角三角形的外心为斜边的中点可得，由勾股定理求出的长，根据内心的性质和等面积法推出的长，利用勾股定理求出，进而求出的长，据此可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于点G， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴ 同理可得， 又∵， ∴， ∴； ∵，点F到对角线的距离是1， ∴，， ∴； 在中，， ∴； ∵的外心为O， ∴点O为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点I作于点H， ∵的内心为I， ∴点I到的三边的距离相等，都为的长，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． （1）请在图中找出旋转中心O； （2）以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； （3）连接，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得和成中心对称，则点O即为线段与线段的交点，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点作图即可； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点O即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得． 18. 如图是一个运算框架图，，，表示某一实数，运算过程是，，． （1）若表示的数为，列出方程并解该方程； （2）若表示的数为，请说明该方程根的情况． 【答案】（1），； （2）该方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的、、这三个运算关系，推导出核心等量关系．将代入，得到关于的一元二次方程，求解该方程得出方程的根． （2）把代入等量关系，得到一元二次方程的一般形式，计算该方程根的判别式的值，依据一元二次方程根的判别式的判定规则，确定方程根的情况． 【小问1详解】 解：根据题意，可得：， ∵， ∴， 化简得到方程：， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 展开整理：， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 19. 如图是一块和田玉璧的平面图，圆环中镶嵌着一个正方形，A，B为两个切点．正方形的边长为． （1）求圆环内外两圆之间的距离； （2）求与正方形围成的阴影部分的面积． 【答案】（1）圆环内外两圆之间的距离为 （2）与正方形围成的阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）作辅助线利用正方形的性质和切线的性质得到，证明四边形是正方形，从而得到正方形的边长，即内圆的半径，再利用勾股定理求得的长度，即外圆的半径，最终可得到圆环内外两圆之间的距离； （2）根据（1）中的结论，先求出正方形的面积，再由已知条件可求出对应的扇形面积，最终可用正方形的面积减去对应的扇形面积即可得到阴影面积． 【小问1详解】 解：如图，连接，，， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴， 又∵点A，B是内圆的切点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，即内圆的半径为， ∴， ∴外圆的半径为， ∴圆环内外两圆之间的距离为． 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是正方形，且边长为， ∴， 又∵点A，B是内圆的切点，， ∴对应的扇形面积为， ∴与正方形围成的阴影部分的面积为． 20. 甲、乙两位同学玩猜盲盒游戏，4个盲盒里分别放着1个毛绒玩具． （1）4个毛绒玩具分别记为A，B，C，D，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的盲盒中随机选取1个，用画树状图或列表法求乙选中毛绒玩具A的概率； （2）若两人通过石头、剪刀、布游戏决定谁获胜谁优先选择盲盒，游戏规则是：双方每次任意出“剪刀”“石头”“布”这三种手势中的一种，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出现相同手势，算打平．这个游戏是否公平？为什么？ 【答案】（1） （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）画出树状图，得出等可能的结果数和选中毛绒玩具A的结果数，利用概率公式求解即可； （2）画出树状图，分别求出甲获胜和乙获胜的概率，进行比较即可得出是否公平． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中毛绒玩具A有3种可能的结果， ∴P（乙选中毛绒玩具A）； 【小问2详解】 解：公平，理由如下： 画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，其中甲获胜的有3种情况（甲石头、乙剪刀；甲剪刀、乙布；甲布、乙石头），概率为P（甲获胜）；乙获胜的有3种情况（甲石头、乙布；甲剪刀、乙石头；甲布、乙剪刀），概率为P（乙获胜）， ∴P（甲获胜） P（乙获胜）， ∴这个游戏是公平的． 21. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． （1）求的大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 【答案】（1），米 （2）透光长度比原来增大了0.7米 【解析】 【分析】（1）根据即可求出的值，进而可得，即可得的大小； （2）连接并延长交的延长线于点G，根据求出的值，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∵厘米米， ∴米， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交的延长线于点G， ∵厘米米， ∴米， 根据题意，得， ∴（米）， ∴（米）， 即透光长度比原来增大了07米． 【点睛】解题的关键是掌握三角函数的定义及理解题意． 22. 在九三阅兵筹备阶段，某军工企业需向阅兵训练基地运送一批高精度装备配件．运输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量y（单位：个，）与每个包装箱的实际装载重量x（单位：）成反比例关系．当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装载重量为，且每个包装箱的最大安全装载重量为． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）该企业每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元．若某次运输的总费用不超过1550元，求每个包装箱的最少装载重量． 【答案】（1）函数表达式为，自变量x的取值范围是 （2）每个包装箱的最少装载重量为 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出解析式，代入已知条件求出系数，结合题干给出的最大装载重量确定自变量的取值范围； （2）根据总费用的限制条件列出不等式，代入反比例解析式求解，即可得到x的最小值． 【小问1详解】 解：由题意知，y与x成反比例关系， ∴设， 将，代入得，， 解得， ∵每个包装箱的最大安全装载重量为，且， ∴y与x之间的函数表达式为，自变量x的取值范围为． 【小问2详解】 解：根据题意，总运输费用满足不等式：， 将代入不等式得：， 解得， 即每个包装箱的最少装载重量为． 23. 如图，抛物线：的顶点坐标为，与轴交于点，(点在点左侧)，与轴交于点．，是轴上的两点，且点在点的右侧，．过，分别作轴的垂线，与抛物线分别交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）若，均在负半轴，且，求抛物线上点的横坐标； （3）若，在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，是否存在线段？若存在，求出的值，若不存在；请说明理由． 【答案】（1）； （2）或或； （3）存在，的值为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，代入抛物线与轴的交点坐标求出，进而得到抛物线的一般式解析式； （2）先设出点的横坐标，根据得到点的横坐标，再结合的线段长度条件建立方程，求解得到点的横坐标后，即可得到点的横坐标； （3）根据点的横坐标写出、点的坐标，结合、在轴下方的条件确定纵坐标的符号，再根据的等量关系建立方程，求解后结合取值范围筛选出符合条件的的值． 小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为； 将点代入解析式，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为，则点， ∵点在点的右侧且， ∴点的横坐标为； ∵是过作轴的垂线与抛物线的交点， ∴； ∵， ∴； 分两种情况求解： ①当时，解得或； ∵、均在负半轴， ∴且，即， ∴舍去，取，此时点的横坐标为； ②当时，解得或，均满足， 此时点的横坐标为或； 综上，点的横坐标为或或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 令，则， 解得，， ∴，， ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的坐标为，点的坐标为； ∵、在轴下方的抛物线上， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 展开并整理得， 解得或； ∵、在轴下方，抛物线与轴的交点为和， ∴，解得， ∵，， ∴，不符合条件，舍去； ，符合的条件； ∴存在满足条件的，的值为． 24. 如图，在中，，，．点P以的速度从点B向点A运动，同时点Q以的速度从点C向点B运动，当一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． （1） ； （2）当时，求点P到的距离； （3）当点P运动到中点时，求线段的长； （4）当t为何值时，线段？ 【答案】（1）3 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，再由勾股定理求的长； （2）先求出当时，、的值，过点P作于点E，再证明，根据相似三角形的性质得，求出的长即可； （3）先求出当点P运动中点时的t值，进而可得、的长，连接，过点P作于点F，证明，根据相似三角形对应边成比例，可求得、的长，进而可求的长，再由勾股定理求线段的长； （4）根据题意得，用含t的代数式分别表示出、、，当，可证明，根据相似三角形的对应边成比例可得含t的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 如图，过点P作于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 即点P到的距离； 【小问3详解】 解：当点P运动中点时，， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，过点P作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴在中，； 【小问4详解】 解：如图， 根据题意得，，， ∴， 由（1）得，，， 当时，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 即当时，线段． 【点睛】熟练掌握等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $