微专题02 二元一次方程的解法综合（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02二元一次方程的解法综合 代入消元法 加减消元法 二元一次方程的解法综合 二元一次方程组的特殊解法 构造二元一次方程组求解 微点量破 题型1代入消元法 ©螺方法 核心思想：将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程，实现消元。 步骤： L.变形：从方程组中选择一个系数较简单的方程，将其变形为y=x+b或x=a少+b的形式。 2.代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 3.求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4.回代：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。 5.写解：将两个未知数的值用大括号联立，即为方程组的解。 关键点：通常选择未知数系数绝对值较小的方程进行变形，以简化计算。 x=3 1.(25-26八年级上山东青岛·月考)二元一次方程组2x-y=8的解是 2x+3y=9 2.(25-26八年级上山东济南期末)解方程组： x+2y=3 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2x+3y=1 3.(25-26八年级上山东济南期末)解方程组：4x-y=9. y=5-x 4.(25-26八年级上山东济南期末)解方程组： 2x+y=8: [x+2y=10 5.(25-26八年级上山东济南期末)解方程组： y=2x [2x+y=3 6.(26-27八年级上山东枣庄期末)解方程组x-2y=4 题型2加减消元法 妹方法 核心思想：通过将两个方程相加或相减，直接消去一个未知数。 步骤： 1.变形：利用等式性质，将两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数（通常找系数的最 小公倍数)。 2.加减：若系数相等，则将两个方程相减：若系数互为相反数，则将两个方程相加，从而消去该未知 数，得到一个一元一次方程。 3.求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个较简单的方程，求出另一个未知数的值。 5.写解：写出方程组的解。 关键点：当方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，直接加减消元最简便。 3x+y=-15 1.(25-26八年级上山东青岛期末)解方程组3x-5y=3 2.(25-26八年级上山东济南期末)解方程组： 2x-y=3① (1)x+y=6②： 2x+3y=1① (2)4x-y=9②. 2/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-2y=7 3.(25-26七年级上山东济南期末)解方程组：4x+y=10 4.(25-26八年级上山东青岛期末)解方程组： [2x-y=0 (1)x+2y=5: (xy+1=1 (2)23 3x+2y=10 5.(24-25七年级下·山东聊城期末)解方程组： 2x+y=7 (1)3x-y=3 (x-y_x+y=-1 24 (2)x+y=-8 6.(25-26八年级上·山东菏泽·月考)解方程组 x-2y=-3① (1)3x+y=12② [7x+6y=23① (2)3x-2y=3②. 题型3二元一次方程组的特殊解法 煤方法 当方程组具有某些结构特征时，可采用更灵活的方法： 1.整体代入法：将方程组中的一个代数式（如x+y、x-y)看作一个整体，直接代入另一个方程进 行求解。 2.换元法：设新的未知数替换原方程组中的复杂表达式（如设m=x+y，n=x-y),将原方程组转 化为更简单的方程组，解出新的未知数后再回代求解。 3/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b 3. 参数法：当方程形式为比例式（如）时，可设，=k'y=:(k为参数)，代入另一个方程 求出k,进而得到x、y的值。 4. 特殊系数关系的消元法：若两个方程中同一未知数的系数之差（或和）的绝对值相等，可通过直接 相加或相减，先求出两未知数的和或差，再求解。 3x+y=3 1.(24-25七年级下山东菏泽期末)已知方程组x+3y=5,则y2-x2的值为() A.-2 B.2 C.-4 D.4 [2a-3b=13 a=8.3 2.(24-25七年级下山东菏泽·月考)已知方程组3a+5b=30.9的解是b=1.2,则 2(x+2)-3(y-1)=13 3(x+2)+5y-1)=30.9的解是 [2x+y=4 3.(24-25七年级下山东聊城期末)已知方程组x-2y=3,则代数式(x+3y(3x-)的值为 x+y=3m+1 4.(24-25七年级下山东滨州期末)已知关于x,y的方程组2x-y=8-6n(m,n为实数). m=-3,n=2 (1)当 时，求方程组的解： (2)当m+4n=5时，试探究方程组的解x,y之间的关系. ax+by =m x=1 5.(24-25七年级下山东德州期中)若关于x,y的二元一次方程组cx+少=n的解为y=2,则关于 4ax +3by-2b=2m x,y的方程组4cx+3d-2d=2n的解为() X= x=1 x=2 Jx-i A.1y=2 B.1y=4 y=3 D.y=2 6.(24-25七年级下山东泰安·期中)先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题. 4/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ax+by=c x=4 2a x+3by=c 己知方程组①a2x+by=c2的解为y=9,求方程组②2a2x+3b2y=c2的解. 2ax+3by=c 解：将方程组②2a2x+3by=c2 a1·2x+b·3y=c 变形为方程组③a2·2x+b3y=c2 am+bn=c 1m=4 设2x=m,3y=n,则方程组③可化为方程组④a2m+b1=c2比较方程组④与方程组①可得n=9即 [2x=4 3y=9 x=2 .方程组②的解为y=3 我们把这种解方程组的方法称为换元法， [3x+by=108 x=20 3x+1)+b(y-2=108 若已知方程组ax+2y=76的解为y=12则方程组：a(x+1+2(y-2)=76的解为 题型4构建二元一次方程组求解 嫦方法 这类问题通常需要根据题目条件（如文字描述、图表、等量关系）建立方程组，再选择上述方法求解。 一般步骤： 1.设未知数：明确问题所求，设出两个未知数。 2.找等量关系：从题目中找出两个独立的等量关系（常见于行程、工程、利润、数字等问题）。 3.列方程组：用含未知数的代数式表示等量关系，列出方程组。 4.解方程组：根据方程组特点，灵活选用代入法、加减法或特殊解法求解。 5.检验并作答：检验解是否符合题意，并写出最终答案。 1,2425七年级下山东威海期中)定义运算，规定”y+,其中4,6为搭数，日2-5 5/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2*1=6,则2*3=() A.8 B.4 C.3 D.10 2.(24-25七年级下山东泰安·期中)如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个， 先从甲袋中取出2个小球放入乙袋，再从乙袋中取出2”个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出2+2) 3x-5y 个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则 的值等于 丙袋 28 2+2 2 16 2 28 甲袋 乙袋 3.(24-25七年级下山东日照期中)已知X,,。, …,中每一个数值只能取2、0、1中的一个， 且满足+-”.分+巧++=引.对*对+…+龙 4.(25-26八年级上山东青岛·期末)我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对 ,b,如果满足3a+2b=l,那么我们称数对a.b是“三二一数对”； ②对于给定的数对cd和ef),如果满足c=e+f,d=e-f,则称数对cd是ef刊的“和差数 对” 根据以上信息解决下列问题： (0判断32 是否为“三二一数对”，并说明理由； ②已知数对玉3引是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”， (3若数对m,”是“三二一数对”，且m,四的“和差数对卫，9满足条件：2p+39=6,求m和” 的值。 6/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+bx+c 5.(24-25七年级下山东德州月考)已知代数式 (1)当x=2时，代数式的值是5，请用含c的代数式表示b. (2)当x=1时，代数式的值是0；当x=-2时，代数式的值是15，求b,c的值. 6.(24-25七年级下山东日照·期中)在平面直角坐标系xO中，存在一个点P(x,),若点Q的坐标为 (mx+y,x+my),则称点Q是点P的“m级关联点”（其中m为常数，且m≠0）.例如，点PL,4)的 “3级关联点”为Q(3×1+4,1+3×4),即Q(7,13), (1)若点P的坐标为(-1,3)，则它的“2级关联点”的坐标为 P(x,y) .(7,-3) (2)若点的“3级关联点”的坐标为 ,求点的坐标： P(x,y) x+y=4,p, (3)若点 ，它的坐标满足 》4,点”的“m级关联点”的坐标为 （-9,-7) ,求的值. 7/7 微专题02 二元一次方程的解法综合 题型1 代入消元法 核心思想：将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程，实现消元。 步骤： 1. 变形：从方程组中选择一个系数较简单的方程，将其变形为或的形式。 2. 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 3. 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 回代：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。 5. 写解：将两个未知数的值用大括号联立，即为方程组的解。 关键点：通常选择未知数系数绝对值较小的方程进行变形，以简化计算。 1．（25-26八年级上·山东青岛·月考）二元一次方程组的解是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解： 把①代入②得，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，运用代入消元法进行解答即可． 【详解】解：， 由②得，， 把代入①，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了加减消元法求解二元一次方程组，掌握加减消元法求解二元一次方程组是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组求出解即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故方程组的解为． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程组：； 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 利用代入消元法解二元一次方程组即可得； 【详解】解： ， 把①代入②得：， 解得， 将代入①得： 解得， 则方程组的解为； 5．（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键． 直接运用代入消元法求解即可； 【详解】解：， 将②代入①可得：，解得：， 将代入②可得：， 所以该方程组的解为：． 6．（26-27八年级上·山东枣庄·期末）解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想． 方程组利用代入消元法求解即可； 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 则方程组的解为． 题型2 加减消元法 核心思想：通过将两个方程相加或相减，直接消去一个未知数。 步骤： 1. 变形：利用等式性质，将两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数（通常找系数的最小公倍数）。 2. 加减：若系数相等，则将两个方程相减；若系数互为相反数，则将两个方程相加，从而消去该未知数，得到一个一元一次方程。 3. 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个较简单的方程，求出另一个未知数的值。 5. 写解：写出方程组的解。 关键点：当方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，直接加减消元最简便。 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是正确运用消元的思想． 利用加减消元法解方程即可． 【详解】解： 由①②得，， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴原方程组的解为． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是正确运用消元的思想． （1）由加减消元法求解； （2）由加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 由得，解得； 将代入②得，，解得； ∴原方程组的解为； （2）解：， 由得，，解得； 将代入②得，，解得， ∴原方程组的解为． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的关键思想是消元，常用的消元方法有代入消元法和加减消元法，本题用了加减消元法解二元一次方程组． 【详解】解：， 得： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 原方程组的解是． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组即可． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入②中得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）解： 整理，得， 得， 解得， 把代入，得， 解得：， ∴方程组的解为． 5．（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）解方程组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）（2）直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 题型3 二元一次方程组的特殊解法 当方程组具有某些结构特征时，可采用更灵活的方法： 1. 整体代入法：将方程组中的一个代数式（如、）看作一个整体，直接代入另一个方程进行求解。 2. 换元法：设新的未知数替换原方程组中的复杂表达式（如设，），将原方程组转化为更简单的方程组，解出新的未知数后再回代求解。 3. 参数法：当方程形式为比例式（如）时，可设，（k为参数），代入另一个方程求出k，进而得到x、y的值。 4. 特殊系数关系的消元法：若两个方程中同一未知数的系数之差（或和）的绝对值相等，可通过直接相加或相减，先求出两未知数的和或差，再求解。 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出，，然后利用因式分解转化为求解． 【详解】 将①式与②式相加： ∴ 用②式减去①式： ∴ ∴ 故选B． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）已知方程组的解是，则的解是_______． 【答案】 【分析】本题考査了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知方程组，则代数式的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由得，由．然后代入计算即可． 【详解】解： ，得 ，得 ∴ 故答案为：7 4．（24-25七年级下·山东滨州·期末）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）． (1)当时，求方程组的解； (2)当时，试探究方程组的解x，y之间的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意，原方程组为，运用加减消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解出关于的表达式，再根据代数式的值即可求解． 【详解】（1）解：当时，则原方程组为， ①②得，，解得：， 将代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ①②得，， ∴， ①②得，， ∴， ④③得， ， ∵， ∴，即． 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，将新方程组与原方程组进行对比，，可化为，从而得到，继而得解． 【详解】解：，可化为， 已知原方程组的解为， ∴的解满足， 解得：． 故选：D． 6．（24-25七年级下·山东泰安·期中）先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组② 变形为方程组③ 设，则方程组③可化为方程组④比较方程组④与方程组①可得即 ∴方程组②的解为 我们把这种解方程组的方法称为换元法． 若已知方程组的解为则方程组：的解为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法是解题的关键． 设，利用换元法计算求解即可． 【详解】解：设， 则方程组可化为． 比较方程组与方程组， 得． 即． ∴原方程组的解为． 故答案为：． 题型4 构建二元一次方程组求解 这类问题通常需要根据题目条件（如文字描述、图表、等量关系）建立方程组，再选择上述方法求解。 一般步骤： 1. 设未知数：明确问题所求，设出两个未知数。 2. 找等量关系：从题目中找出两个独立的等量关系（常见于行程、工程、利润、数字等问题）。 3. 列方程组：用含未知数的代数式表示等量关系，列出方程组。 4. 解方程组：根据方程组特点，灵活选用代入法、加减法或特殊解法求解。 5. 检验并作答：检验解是否符合题意，并写出最终答案。 1．（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东日照·期中）已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键．先设有个取，个取，其余的取，根据，可得出关于，的二元一次方程组，求出，的值，再把，及的值代入求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： (1)判断是否为“三二一数对”，并说明理由； (2)已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； (3)若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 【答案】(1) 不是 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义列出方程求解即可； （3）根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ∵， ∴不是“三二一数对”； （2）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∴， ∵， ∴该数对的“和差数对”为：； （3）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∵的“和差数对”满足条件：， ∴， ∴，整理得：， 联立方程组得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义的运算、有理数的混合运算、一元一次方程、二元一次方程组的解法等，关键是根据题意列出正确的方程或代数式． 5．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知代数式． (1)当时，代数式的值是5，请用含c的代数式表示b． (2)当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是15，求b，c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）解：根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 6．（24-25七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，存在一个点，若点的坐标为，则称点是点的“级关联点”（其中为常数，且）．例如，点的“级关联点”为，即． (1)若点的坐标为，则它的“2级关联点”的坐标为__________； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点，它的坐标满足，点的“级关联点”的坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形，二元一次方程组的应用，正确理解已知定义是解题关键． （1）根据已知定义求解即可； （2）根据已知定义列二元一次方程组求解即可； （3）根据已知定义，得到，再根据，列方程组，得出，即可求得的值． 【详解】（1）解：，， 点“2级关联点”的坐标为， 故答案为：； （2）解：点的“3级关联点”的坐标为， ，解得：， 点的坐标为； （3）解：点的“级关联点”的坐标为， ， ，即 ∴原方程组为： ∴ ∴ 解得：． / 学科网（北京）股份有限公司 $