微专题01 二元一次方程组的含参数问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

微专题01 二元一次方程组的含参数问题 题型1 含参数的二元一次方程组解法 题型说明：方程组中包含参数（如a,b,m等），需通过消元法将参数与未知数分离，求出未知数的表达式（用参数表示）。 核心解题思路：将参数视为“已知常数”，采用代入消元法或加减消元法解方程组，用参数表示未知数x,y。 详细步骤： 1. 选择消元方法：观察方程组中未知数的系数，若某未知数系数为1或－1，优先用代入消元法；若系数成倍数关系，用加减消元法。 2. 消元求解：通过消元得到一元一次方程，解出其中一个未知数（用参数表示），再代入原方程求另一个未知数。 3. 验证正确性：将解代入原方程组，检查是否满足所有方程（避免计算错误）。 1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）把二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．首先移项，得到，即可求解． 【详解】解：移项，得， 故选：B． 2．（24-25七年级上·云南保山·期末）把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：把方程写成用含的代数式表示的形式：． 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东青岛·月考）在方程中，用的代数式表示，得_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为“”，得， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）把方程变形，用含的式子来表示，则________；用含的式子来表示，则________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用了等式的性质． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：把方程变形，用含的式子来表示，则； 用含的式子来表示，则． 故答案为：；． 5．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，将看作已知数表示出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，①用含的代数式表示，则______．②______． 【答案】 / 【分析】本题考查了解二元一次方程，幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法，利用等式的性质可得，，再根据幂的乘方的逆运算及同底数幂的乘法运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：，． 题型2 已知方程组的解求参数的值 题型说明：给出方程组的解（含参数或具体数值），求参数的值（如a,b的具体数）。 核心解题思路：解的定义——方程组的解满足每个方程，将解代入方程组，建立关于参数的方程（组），求解参数。 详细步骤： 1. 代入解：将已知的解代入方程组中的每个方程，得到关于参数的方程。 2. 解参数方程组：若参数个数与方程个数相同，直接解方程组；若参数个数多于方程个数，需结合其他条件（如参数为整数）求解。 3. 检查参数合理性：若参数有范围限制（如整数、正数），需验证解是否符合条件。 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是______（只要求填一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，注意对概念灵活应用是解决本题的关键．根据二元一次方程组的解可得到一个二元一次方程组． 【详解】解：关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为， 该方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：把代入得 ， ，得． 6．（25-26九年级上·重庆·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程得到代数式的值，再进行求解． 把代入方程，可得，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】将代入，得：， 整理得；， ∴． 故答案为：． 题型3 二元一次方程组的同解问题 题型说明：两个方程组有相同的解，求参数的值（如a,b）。 核心解题思路：公共解——两个方程组的解相同，说明该解满足所有方程，先求出公共解，再代入含参数的方程求参数。 详细步骤： 1. 求公共解：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解 2. 代入含参数方程：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组。 3. 解参数方程组：解出参数a,b,m的值。 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东德州·月考）与有相同的解，则______，______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同解方程组．先求出两个方程组的公共解，即解方程组和，得到，；然后将，代入和，得到关于，的方程组，解之即可． 【详解】解：解方程组，得． 将，代入和， 得． 解此方程组，相加得，； 代入 得， ． 故答案为：；． 3．（24-25七年级下·山东东营·月考）已知关于的方程组和有相同的解，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法．根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可求得，，再分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， 得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：； 把分别代入和得：， 得：， 得：， 把代入得：， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知关于的方程组和的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数．联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解；将公共解代入含的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵两个方程组解相同， ∴先解不含的方程组：， ①②得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含的方程：， ③④得：， 解得， 将代入④得：，求得， ． 6．（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 题型4 根据方程组解的情况求参数 题型说明：已知方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解），求参数的值（如k）。 核心解题思路：系数比例关系——二元一次方程组的解的情况由系数比决定： 1. 唯一解：（两直线相交）； 2. 无解：（两直线平行）； 3. 无穷多解：（两直线重合）。 详细步骤： 1. 写出系数比 2. 判断解的情况 1．（2023·山东聊城·模拟预测）若关于和的方程组无解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组无解时，即可得出与得关系式，解题的关键是掌握二元一次方程组，当时方程组无解． 【详解】∵关于和的方程组无解， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限是第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，一次函数的图象，由方程组无解可得直线和直线平行，即得，进而求出的值，再根据一次函数解析式即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组无解， ∴直线和直线平行， ∴， 解得， ∴一次函数， ∵，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）若方程组的解中，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，整体代入是求值的常用方法．方程组中的两个方程相加后除以，得到，根据可得关于的方程，求解即可． 【详解】解： ， 由得： ， ， ∵， ∴，即． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 5．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．利用已知条件 与方程组中的方程 组成新的方程组，直接求解出 和 的值，再代入方程 求得 的值． 【详解】解：依题意得：， 解得： 将 ， 代入 ，得， ∴． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 题型5 二元一次方程组的整数解问题 题型说明：方程组的解为整数（x,y均为整数），求参数的值（如m为整数）。 核心解题思路：不定方程转化——将方程组中的参数视为已知数，解出x,y的表达式（含参数），根据“整数解”条件，建立关于参数的不等式或等式，求出参数的整数值。 详细步骤： 1. 解方程组：用消元法解出x,y的表达式（含参数）。 2. 建立整数条件：因x,y为整数，故x,y的表达式结果均为整数。 3. 求参数整数值：解不等式或等式，找出符合条件的参数值。 1．（24-25七年级下·山东·期中）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】AD 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， ①②得， 解得， 为整数，为整数， ， 的值为或． 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东威海·期中）已知x，y均为整数，按如下程序运算，输出结果为8．请写出满足条件的一对x，y的值_______．   【答案】（答案不唯一） 【分析】根据运算程序列出方程，取方程的一组整数解即可．此题考查了解二元一次方程，弄清题中的运算程序是解本题的关键． 【详解】解：依题意， ∵x，y均为整数， 当时，则， 解得 ∴是符合题意的； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，估计无理数的取值范围，解题的关键是掌握以上运算法则． 先解二元一次方程组，求出用m表示的x和y，再计算并代入不等式，解出m的取值范围，最后根据m为整数确定其值． 【详解】解：解方程组， ，得， 即， 解得， 代入第二个方程， 即， 解得， 所以， 由，得， 即， ∵，， 即，， ∴，， ∴， 由于m为整数， 所以． 故答案为：1． 4．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．通过解方程组，用m表示x和y，根据解为自然数（包括0），确定m的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴第二式得，代入第一式得， 解得， ∴把代入， 得． ∵解为自然数， 即x和y均为非负整数，且， ∴且整除7， 故或， 解得或． 当时，，不是自然数，舍去； 当时，，，均为自然数． 故整数． 故答案为： 5．（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，根据题意，写出满足题意的，的系数，再把代入，验证的值，即可． 【详解】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数， ∴满足题意， ∵，是这个二元一次方程的解， ∴当时，， 解得：， ∴符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 题型6 二元一次方程组的新定义问题 题型说明：通过“新运算”“新关系”（如“友好对”“雅赞点”）定义问题，需将新定义转化为常规二元一次方程组求解。 核心解题思路：翻译新定义——理解新定义的运算规则，将其转化为二元一次方程（组），再用常规方法求解。 详细步骤： 1. 理解新定义：明确新定义的运算规则。 2. 转化为方程组：根据新定义，将问题中的条件转化为二元一次方程（组）。 3. 解方程组：用常规方法（代入、加减消元）解方程组，得到新定义下的解。 1．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 【答案】，． 【分析】此题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解本题的关键．根据设出的与，将方程组变形，求出解确定出与的值，进而求出与的值． 【详解】解：∵设，， ∴整理成， 将各个式子去分母化简为：， 由由得： ， ， ， ， 将代入①中得：，即， ∴综上． ∵将代入，中， 整理得， 由③④得： ， ， ， 将代入③中得：，即， ∴综上． 2．（24-25七年级下·山东德州·月考）阅读与思考 形如与的两个关于的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组，叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)直接写出方程的“共轭二元一次方程”，并求出它们组成的“共轭方程组”的解． (2)若关于的二元一次方程组，为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 【详解】（1）解：由题可知的“共轭二元一次方程”为． 列“共轭方程组”得 解得； （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， ． 此“共轭方程组”的共轭系数为． 3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（   ） A． B． C． D．方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，正确理解行列式定义及计算方法是解题的关键． 根据行列式定义计算、、及方程组的解，对比选项判断正误即可． 【详解】解：， 则A正确； ， 则正确； ， 则错误； ，， 因此方程组的解为， 则D正确； 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）对一各位均不为0的三位自然数，将其各位数代入中，称为对其进行一次“少年运算”，例如：对123进行一次“少年运算”，其结果为；对该三位数及任意调换其两位数字后所得的五个数分别进行一次“少年运算”，所得结果的最小值，称为该三位数的“宏志数”．若一对三位数和满足，则的“宏志数”_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了列代数式，求二元一次方程的正整数解，化简绝对值等知识点，读懂题意，按照题中定义的新运算正确列式计算是解题的关键． 由题意可得，进而可得或，再结合新定义进一步求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理，得：， ∵，为正整数， ∴或， 当时，则， ∴对该三位数及任意调换其两位数字后所得的数为，， ∴，，， ∴的“宏志数”； 当时，则， ∴对该三位数及任意调换其两位数字后所得的数为，， ∴，，， ∴的“宏志数”； 综上，的“宏志数”为或， 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的M的最大值是______． 【答案】6273 【分析】根据友谊数的定义，用 a 和 b 表示 M 和 ，并计算 ，化简后得到表达式，令其除以 13 为整数，即是 13 的倍数；在 a 和 b 的取值范围内，求使 M 最大的 a 和 b即可． 本题考查了整除问题，实数的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由于 M 是友谊数，故 ，且各位数字均不为 0，因此 a，b，c，d 均为 1 到 8 的整数， ， ； ； 故 故， 该式为整数当且仅当为整数，即 是 13 的倍数； 由 a，b 的取值范围，的最小值为，最大值为 ，因此可能值为 13 或 26； 若为13，则 ，a 最大为 2，，此时 M 较小； 若为 26，则 ，a 最大为 6，，此时， ； 故满足条件的 M 的最大值为 6273， 故答案为：6273． 6．（24-25七年级下·山东泰安·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)一次函数图象的“亮点”为，求，的值； (3)若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与直线没有交点，即直线与平行， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，当时，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 题型7 二元一次方程组的错解复原问题 题型说明：学生解方程组时看错系数（如看错a或b），得到错误解，求原方程组的参数（如a,b）。 核心解题思路：错误解的有效性——错误解满足未看错的方程，将错误解代入未看错的方程，建立关于参数的方程组，求解参数。 详细步骤： 1. 分析错误原因：确定学生看错的系数（如甲看错a，乙看错b）。 2. 代入错误解：将错误解代入未看错的方程，得到关于参数的方程。 3. 解参数方程组：解出参数a,b的值。 1．（24-25七年级下·山东济宁·月考）已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，二元一次方程组的错解问题，根据题意可甲的解满足（2），乙的解满足（1），据此可求出a、b的值，再求出的值后即可根据平方根的定义得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴的平方根为1和， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程组的关系是解决本题的关键． （1）将代入求出， 将代入求出； （2）按照加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，再按照加减消元的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：， ． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：由（2）可知， 得， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）解方程组时，一同学把看错而得到而正确的解是，求的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的看错解问题，虽然看错，但两个解都适合方程组的第一个方程，由此可得关于的方程组，解方程组即可求出，，把正解代入第二个方程即可求出，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握二元一次方程组的解法． 【详解】解：据题意得， 解这个方程组，得：， 把代入，得， 解得：， ∴，，． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键． （1）将代入①算出，将代入算出即可； （2）将 的值代入二元一次方程组中，解出即可． 【详解】（1）解：甲看错方程组中的a，得到方程组的解为． 将代入①得：， 乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解， 将代入中 得：； （2）解：将代入中得：， 得，， 解得， 将代入①得：， 解得， 由方程组的解为 ． 6．（24-25七年级下·山东日照·月考）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）当时，化成具体方程组，解答即可． （2）求得原方程组的解，结合，求k的值即可． （3）根据，把方程组进行化简，后根据题意，解方程组即可． 本题考查了解方程组，方程组看错问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组变形为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为． （2）解：方程为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 故方程组的解为． 由得， 解得． （3）解：根据题意，得， 故方程组变形为， 整理，得， 根据题意，方程组的解为，方程组的解为， 故； 解得， 此时方程组变形为， 解得， 故． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01二元一次方程组的含参数问题 含参数的二元一次方程组解法 已知方程组的解求参数的值 二元一次方程组的同解问题 二元一次方程组的含参数问题 根据方程组解的情况求参数 二元一次方程组的整数解问题 二元一次方程组的新定义问题 二元一次方程组的错解复原问题 /00 德点型砖 题型1含参数的二元一次方程组解法 啸方法 题型说明：方程组中包含参数（如α，b,m等），需通过消元法将参数与未知数分离，求出未知数的表达式（用 参数表示)。 核心解题思路：将参数视为“已知常数”，采用代入消元法或加减消元法解方程组，用参数表示未知数xy。 详细步骤： 1. 选择消元方法：观察方程组中未知数的系数，若某未知数系数为1或一1，优先用代入消元法；若系数 成倍数关系，用加减消元法。 2. 消元求解：通过消元得到一元一次方程，解出其中一个未知数（用参数表示），再代入原方程求另一个 未知数。 3. 验证正确性：将解代入原方程组，检查是否满足所有方程（避免计算错误）。 1.(24-25七年级下山东临沂期中)把二元一次方程3x+y-1=0写成用含x的式子表示y的形式正确的是 () 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.y=3x-1 B.y=1-3x C.y=-3x-1 1-y D.x= 3 2.(24-25七年级上·云南保山期末)把方程2x+y=1写成用含x的代数式表示y的形式，下面表示正确的 是() A.y=2x-1 B.y=-2x+1 1 1 C.y=2x+1 D.y-7x-1 3.(23-24八年级上山东青岛月考)在方程2x-3y=8中，用x的代数式表示y,得 4.(25-26七年级上全国课后作业)把方程2x-y+1=7变形，用含x的式子来表示y,则y=: 用含y的式子来表示x,则x= 5.(24-25七年级下·浙江金华月考)已知二元一次方程2x-y=2,用含y的代数式表示x,则x= 6.(24-25七年级下浙江杭州期中)已知2x+y-3=0,①用含x的代数式表示y,则y= .② 4.2'= 题型2已知方程组的解求参数的值 妹方法 题型说明：给出方程组的解（含参数或具体数值)，求参数的值（如α，b的具体数）。 核心解题思路：解的定义一方程组的解满足每个方程，将解代入方程组，建立关于参数的方程（组），求 解参数。 详细步骤： 1. 代入解：将已知的解(x,y)代入方程组中的每个方程，得到关于参数的方程。 2. 解参数方程组：若参数个数与方程个数相同，直接解方程组；若参数个数多于方程个数，需结合其他 条件（如参数为整数）求解。 3. 检查参数合理性：若参数有范围限制（如整数、正数），需验证解是否符合条件。 1.(25-26八年级上安徽宿州期末)若 2是二元次方程组”了的解，则。+6的信为) x=1 ax+y=3 A.3 B.4 c.5 D.6 2x+y=5 2.(25-26八年级上·甘肃酒泉·期末)已知方程组 x-3y=6的解为 =b,则a+46的值为() x=a A.-1 B.2 C.3 D.4 x=3 3.(25-26八年级上山东枣庄·月考)关于未知数x,y的一个二元一次方程组的解为， y=-1则这个方程组 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可以是 (只要求填一个). 元-发方程盟{物的部求6的饮 [x=2 ax-by=3 4.(25-26八年级上贵州毕节期末)已知 2ax+by =3 (ar-by=1的解为 x=1 5.(25-26八年级上·山东菏泽·期末)己知关于x,y的二元一次方程组 y=1?求a+26的 值. X=2 6.(25-26九年级上重庆·月考)若{ =一1是二元一次方程a+心：-2的一个解，则-4m+2n-6的值是 题型3二元一次方程组的同解问题 妹方法 题型说明：两个方程组有相同的解，求参数的值（如α，b)。 核心解题思路：公共解一两个方程组的解相同，说明该解满足所有方程，先求出公共解，再代入含参数 的方程求参数。 详细步骤： 1. 求公共解：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解(x,】 2. 代入含参数方程：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组。 3. 解参数方程组：解出参数a,b,m的值。 2x+3y=19,3x-2y=9 1.(24-25七年级下山东泰安期中)关于x,y的方程组 ax+by=-1 bx+ay=-7有相同的解，则 a+b-3的值为() A.-1 B.-6 C.-8 D.-4 ax+by=3 2.(23-24七年级下·山东德州月考) ax-by=13 与 4x-5y=41 2x+3y=-7 有相同的解，则a=,b=。 3.(2425年级下山东东营月考)已知关于x,y的方程组 2x-y=7∫x+2y=1 ar+2y=7有相同的解，那么 和 2ax-by =4 (a+b)2025= 4.(24-25七年级下山东德州月考)已知关于x,y的方程组 2x+5y=6m3.x-5y=16 和 的解相同，则 ax-by=-4 bx+ay=-8 (2a+b)205的值是 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4x+3y=113x-5y=1 5.(25-26八年级上·山东菏泽·月考)己知关于x,y的二元一次方程组 ar+by=-2和 的解相同， bx-ay=6 求(a+b)25的值。 6.(24-25七年级下山东泰安期末)阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想， 4+3y=-1'利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为 4x-3y=17 (1)解方程组 4X-3)-3Y+1)=17 (2)如何解方程组 4(X-3+3(Y+1)=-1 呢？我们可以把X-3,Y+1看成一个整体，设X-3=x, Y+1=y,很快可以求出原方程组的解为 由此请你解决下列问题： am+bn=11 3m+n=5 若关于m,的方程组 2m-bn=-2 am-bm=-3有相同的解，求a、b的值. 题型4根据方程组解的情况求参数 煤方法 题型说明：己知方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解），求参数的值（如k)。 核心解题思路：系数比例关系一二元一次方程组 [ax+by=G的解的情况由系数比决定： 42x+b2y=C2 1. 唯一解：4+么≠9（两直线相交）： az ba C2 无解： 4-点≠9（两直线平行）： az b2 C2 3. 无穷多解： 4_么=9（两直线重合）。 az ba c2 详细步骤： 1. 写出系数比 2. 判断解的情况 5x+4y=a 1.(2023山东聊城模拟预测)若关于x和y的方程组 无解，则() ax+by=c A.5a=4c B.4a=5b C.4a=5c D.5a=4b y=（3-k)x-2 2.(25-26八年级上山东青岛·月考)已知关于x,y的二元一次方程组{ =(3k-5列x+5无解，则一次函数 y=x-1的图象不经过的象限是第 象限. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x-y=4k-5 3.(25-26八年级上山东济南·期末)若方程组 的解中x+y=2025,则k等于 2x+6y=k 2x-2y= 4.(25-26八年级上·山东青岛周测)已知关于x,y的方程组 a-y=3 无解，则k=一 5.(25-26八年级上山东济南期中)已知关于x,y的二元一次方程组 x+3y=m 的解满足x+y=2,求 2x-y=4 m的值. 2x-y=3k 6.(25-26八年级上山东青岛期末)已知关于x,y的方程组 x+2y=4k+1'给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数。测太= ②若方程组的解也满足4x+3y=-20,则k=-2; ③当k=1时，方程组的解也是关于x,y的二元一次方程3y-x=k+1的解； ④无论k取何值，代数式10y-5x的值不变，始终为定值.其中正确的有 (填序号) 题型5二元一次方程组的整数解问题 妹方法 题型说明：方程组的解为整数(x,y均为整数)，求参数的值（如m为整数）。 核心解题思路：不定方程转化一将方程组中的参数视为已知数，解出x,y的表达式（含参数），根据“整 数解”条件，建立关于参数的不等式或等式，求出参数的整数值。 详细步骤： 1. 解方程组：用消元法解出xy的表达式（含参数）。 2. 建立整数条件：因xy为整数，故x,y的表达式结果均为整数。 3. 求参数整数值：解不等式或等式，找出符合条件的参数值。 x+2y-6=0 1.(24-25七年级下山东期中)己知关于x,y的方程组 x-2y+mx+5=0'若方程组的解中x恰为整数， m也为整数，则n的值为() A.0 B.1 C.3 D.-3 2.(24-25七年级下·山东威海期中)已知x,y均为整数，按如下程序运算，输出结果为8.请写出满足条 件的一对x,y的值 输入 相加 输出结果 y ×(-2) 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x-y=1-3m 3.(25-26八年级上山东潍坊·期末)关于x,y的二元一次方程组 的解满足√2<x+y<V5, 2x+y=2 则整数m的值为 2x-y=4 4.(2025八年级上山东青岛·专题练习)已知关于x,y的方程组 的解是自然数，则整数m= 4x+y=1 5.(23-24七年级下山东烟台期末)请写出一个关于x,y的二元一次方程，使其满足x的系数是大于2的 整数，y的系数是小于-1的整数，且x=1,y=3是这个二元一次方程的解.这个方程可以是 3x-y=0有正整数解，其中k为整 kx+y=7 6.(24-25七年级上·安徽合肥期末)己知关于x,y的二元一次方程组 数，则2-1的值为() A.-2 B.3 C.-2或4 D.3或15 题型6二元一次方程组的新定义问题 嫦方法 题型说明：通过“新运算”“新关系”（如“友好对“雅赞点”）定义问题，需将新定义转化为常规二元一次方 程组求解。 核心解题思路：翻译新定义一理解新定义的运算规则，将其转化为二元一次方程（组），再用常规方法求 解。 详细步骤： 1.理解新定义：明确新定义的运算规则。 2. 转化为方程组：根据新定义，将问题中的条件转化为二元一次方程（组）。 3. 解方程组：用常规方法（代入、加减消元）解方程组，得到新定义下的解。 x+y+x-y=13 1.(2025八年级上·山东青岛·专题练习)对于方程组 2 3 ，不妨设 ，则原方程组 x+y x-y =3 3 4 u= X= 变为以4、为未知数的方程组，解得 一，从而原方程组的解是 这种解题的方法称 V= V= 为换元法， 2.(24-25七年级下山东德州月考)阅读与思考 形如x+y=b与x+y=b的两个关于x,y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1.由这两个方程组 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 成的方程组 c+y=b叫作“共轭方程组，k,b称为共轭系数” x+kv=b 3 (①)直接写出方程x+2y=5的“共轭二元一次方程，并求出它们组成的“共轭方程组”的解。 1-26)x+y=-5-。,为共轭方程组，求此共轭方程组的共轭系数. x+2-5ay=-b-4 (2)若关于x,y的二元一次方程组 a 3.(25-26八年级上山东菏泽·月考)阅读理解：a,b,c,d是实数，我们把符号 6 称为2×2阶行列式， c d b 23 并且规定： =axd-b×c, -2-1 =2×-1)-3×(-2).二元一次方程组 c d [a,x+by=G的解可以利 ax+b2y=C2 用2×2阶行列式表示为：x=2, 0:DDE分0晚ag Dy=1 问题：对 D az b, 2x+y=1 于用上面的方法解二元一次方程组 3x-2y=12时，下面说法错误的是（) A.D= 21 =-7 B.D=-14 3-2 x=2 C.D,=27 D.方程组的解为 y=-3 4.(24-25七年级上湖北武汉·期末)对一各位均不为0的三位自然数abc,将其各位数代入a+b-c中， 称为对其进行一次“少年运算”，例如：对123进行一次“少年运算”，其结果为1+2-3=0；对该三位数 及任意调换其两位数字后所得的五个数分别进行一次“少年运算”，所得结果的最小值，称为该三位数的 “宏志数”.若一对三位数1和1x满足7.1y+291x=4293,则1的“宏志数”= 5.(25-26九年级上山东威海·自主招生)一个各数位均不为0的四位自然数M=abcd,若满足 +d=6+c=9,则称这个国位数为友谊数.若M=b是一个友谊数，设F()-与，且 F(M)+ab+cd是整数，则满足条件的M的最大值是一 13 6.(24-25七年级下山东泰安期中)定义：我们把一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=-x的 图象的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)图象的“亮点”.例如：求一次函数y=-2x-1图象的“亮点”时， y=-2x-1 x=-1 联立方程得 y=-x ，解得 少=1，则一次函数y=-2x-1图象的亮点为-1,1. (1)求一次函数y=2x-6图象的“亮点”： 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)一次函数y=mx+n图象的“亮点”为2，n+2),求m,的值； (3)若一次函数y=kx+4(k≠0)的图象分别与x轴，y轴交于点A,B,且一次函数y=c+4的图象上没 3 有“亮点”，点P在y轴上，S。P=。S。4OB,求满足条件的点P的坐标 2 题型7 二元一次方程组的错解复原问题 煤方法 题型说明：学生解方程组时看错系数（如看错a或b),得到错误解，求原方程组的参数（如α，b)。 核心解题思路：错误解的有效性一错误解满足未看错的方程，将错误解代入未看错的方程，建立关于参 数的方程组，求解参数。 详细步骤： 1. 分析错误原因：确定学生看错的系数（如甲看错α，乙看错b)。 2. 代入错误解：将错误解代入未看错的方程，得到关于参数的方程。 解参数方程组：解出参数a,b的值。 a.x+5y=151 1.(24-25七年级下·山东济宁·月考)已知：甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程(1) 4x=by-2(2)） x=5 中的a,解得 1,乙看错了(2)中的6，解得 x=-2 y=-4’ 则a+b的平方根为() A.1和-1 B.2和-2 C.3和-3 D.4和-4 2.(25-26八年级上山东青岛期末)甲、乙两名同学在解方程组 2ar-y=132时，甲看错了方程0中的 ax+by=7① X= x=3 a,解得 2，乙看错了方程②中的b,解得 =-2'请你根据以上结果，求出a和乃的值。 y=-2 2x+y=52,甲看错了方程O中 ax-4y=2① 3.(25-26八年级上山东济南期中)己知关于x,y的二元一次方程组 =3乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为 x=1 x=6 的a,得到方程组的解为 y=4 (1)求a,b的值； (2)求原方程组的解； / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)直接写出关于s,t的二元一次方程组 a(s+)-4(s-t)=2 2s+0+b(-)=5的解. ax+by= x=-2 4.(2425八年级上山东枣庄·月考)解方程组 cx-7y=8 时，一同学把c看错而得到 而正确的解是 y=2 x=3 y=-2'求a、c的值. 3x-by=-1① 5.(2425八年级上山东枣庄月考)甲、乙两人解关于x、y的方程组 ax+by=-5② 时，甲因看错a得到 x=1 方程组的解为 乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为 x=-1 y=-11 (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解. 6.(24-25七年级下山东日照·月考)综合与探究 x+4y-2k=5y-1 己知关于x,y的二元一次方程组 3 2, 5x+7y=3k (1)当k=3时，求这个方程组的解 (2)若该方程组的解x,y满足等式x=7y,求k的值. ax+by=46k (3)在(2)的条件下，某同学在解关于x,y的方程组 时，将x-23k=Gy中的b看成了6， 23k=y bx 6 2 “一”写成了“+”，结果得到方程组的解为 3,而方程组正确的解为 x=2 =3'请你根据这些条件直接 y=5 写出a+b+c的值. /