考点02 解二元一次方程组（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点02 解二元一次方程组 考点一：代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.选一个系数比较简单的方程进行变形.变成(或)的形式； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出x或y的值，； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 考点二：加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成绝对值相等的形式； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 考点三：解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 考点四：解三元一次方程组 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路）;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 题型一：代入消元法 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想． 根据消元的思想解答即可． 【详解】解：将代入，消去后所得到的方程是， 去括号，得， 故选：C． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 3．（22-23七年级下·广西贵港·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入算二个方程消去得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（　　） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 【答案】A 【分析】根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：． 【点睛】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）若与互为相反数，则________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键．根据互为相反数的两数和为，结合绝对值与算术平方根的非负性，列方程组求解、，进而计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 又∵，， ∴ 由得，代入得 解得 ∴ ∴ 故答案为：． 题型二：加减消元法 5．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个选项的方法计算出来即可判断． 【详解】解：A、得，，不符合题意，该选项错误； B、得，，不符合题意，该选项错误； C、得，，符合题意，该选项正确； D、得，，不符合题意，该选项错误． 6．（25-26八年级上·河北张家口·期末）解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 通过将方程，消去x，得到关于y的方程，本题可解． 【详解】解： 由，得，． 故选：B． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组为则的值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过将方程组的两个方程相加，进行整体运算，直接求出代数式的值 【详解】解：给定方程组 ，将①和②相加，得， 即． 故答案为：6． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，是边的中线，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的中线的定义，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形的中线的定义得到，得到，解二元一次方程组计算即可． 【详解】解：是边的中线， ， ，， ∴ 联立， 解得 ∴， 故答案为：2． 题型三：选用合适的方法解二元一次方程组 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 5）当二元一次方程组的结构比较复杂,但又有一定的规律时,可以考虑利用换元法. 9．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 10．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，         将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：，         得：， 解得：，         把代入得， 解得：， 原方程组的解为． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可得； （2）先将方程组中的第一个方程的两边同乘以6去分母进行化简，再利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可化为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 题型四：解二元一次方程组的错误步骤判断 12．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义解答即可得； （2）利用方程②减去方程③的时候出现错误，由此即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减． （2）解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是， 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二． （3）解：， 由①，得③， ②③，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为． 13．（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】第二步是消元，依据见解析，小明的解答过程不正确，正确的过程见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【详解】解：第二步是消元； 消元的依据是：等式的性质1或等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式． 小明的解答过程不正确，正确过程如下： 解：得：③， 得：， 将代入①得：， 即， ∴原方程组的解为． 14．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】（1）①代入 ②三；去括号时没有变号  （2）   （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是关键． （1）①根据把③代入②可知运用了代入消元法； ②根据去括号法则可知小林在第三步出现错误； （2）更正错误的步骤并继续完成小林的解题步骤即可得出答案； （3）本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据去括号法则可给出建议． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法， 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为． 故答案为：三，去括号时没有变号； （2）解：，由①，得．   把③代入②，得．   整理得．   解得，即．   把代入③，得． 则方程组的解为 故答案为： （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）． 题型五：换元法/整体法解二元一次方程组 在用换元法解方程组时，把要解决的对象的一部分（或全部）看成一个整体，并设为一个新的未知数，使原方程组转化为一个更为简单的方程组，从而达到简化问题的效果. 15．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 16．（24-25八年级下·上海长宁·期中）用换元法解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握换元法解方程组是解答本题的关键．设，，方程组可化为，据此可得m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，， 方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 17．（23-24八年级下·上海松江·期中）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，设，利用换元法，加减消元法求出解即可． 【详解】解：设：，， 方程组变形为， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为：，即． 18．（22-23八年级上·四川成都·月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中的解得到，进而求解即可； （3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 得，则， 得，则， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：设，， 则原方程组化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：原方程组可化为 设，， 则原方程组化为，解得， ∴，即 得，则， 得，则， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 题型六：解三元一次方程组 19．（25-26八年级上·上海·月考）若，则______，______，______． 【答案】 2 0 1 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题的关键． 根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． 20．（22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【答案】8，9，13 【分析】本题考查三元一次方程组，根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ①②得：④， 把③代入④得：⑤， ①②得：⑥， ⑥3得：⑦， ⑤⑦得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴三角形的三边长分别为8，9，13． 题型七：同解问题 由两个方程组的解相同，知方程组的解满足四个方程，因此，可以把其中的两个系数均为已知数的方程组成一个新方程组，把含待定系数的方程组成另一个方程组，通过解系数已知的新方程组求出原方程组的解，然后把解代入含待定系数的方程组中，进而解决问题 22．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 23．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）将代入得出，解方程组，再将的值代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得： ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：将代入 ∴ 得，， 解得： 将代入得 解得： ∴ 24．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值； (2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含，的方程，所求的解代入含，的方程，即得出关于，的方程组，解之即可； （2）将（1）所求的解代入方程的左边，再化简，即可得证． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； 将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （2）证明：当时，方程的左边 ， ∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 题型八：错解问题 看错方程组中某个方程的系数，所得的解既是方程组中看错系数的方程的解，也是方程组中没有看错系数的方程的解，所以，将错解代入到没有看错的方程中，通过解方程来求得参数的值，将参数代入方程组，进而求得源方程组的解. 25．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 26．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ． ， 解得； （2）解：由（1）得，， ． 27．（24-25八年级上·江西九江·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，得方程组，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为； ∴把代入， 得， 解得； ∵在解方程组时，乙看错了方程组中的b，得解为． ∴把代入， 得， 解得； 则方程组， 则，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 题型九：已知方程组解的关系求参数 正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值. 28．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数． (1)求的值； (2)若b为的整数部分，c为的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相反数定义，代入消元法，无理数的估算，算术平方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据相反数定义得到，将代入二元一次方程组中求解，即可解题； （2）根据无理数的估算得到的值，进而求出的值，即可得到的值． 【详解】（1）解： 方程组的解互为相反数，即． 将代入中，有， 将代入中，有， 将代入中，解得， 故． （2）解：， ， 整数部分． ， 小数部分． 代入表达式： 有， 因此，． 30．（25-26七年级下·全国·期中）宁宁准备解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”当成，请你帮助宁宁解二元一次方程组； (2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果，是一对相反数．”则原题中“”是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组、已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）加减消元法解二元一次方程组即可； （2）根据题意得出，解二元一次方程组后，将其解代入即可得解． 【详解】（1）解：， 得，， ， 将代入得，， ； （2）解：依题意得：， 则的解与二元一次方程组的解相同， 中两式相加得，， ， 将代入得，， 即是二元一次方程组的解， 则， ． 故答案为：． 31．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 题型十：二元一次方程组有解/无解问题 32．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）无论k取何值时，关于x，y的方程均有解则的值为______． 【答案】 【分析】将原方程转化为的形式，根据未知数的对应系数相等求出x，y的值，从而进行解答即可． 本题考查了二元一次方程的解．把已知方程变形为的形式是解题的难点． 【详解】解：由，得 ，即． ∵无论k取何值时，关于x，y的方程均有解 ∴， 解得． ∴， ∴． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于，的二元一次方程组无解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组无解得出的值是解题的关键．方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到，即可求出的值． 【详解】解：， ，得， ， 关于，的二元一次方程组无解， ， ， 故答案为：． 34．（21-22八年级下·江西赣州·期末）若关于的方程组无解，则函数的图象不经过第___________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．首先根据题意，解二元一次方程组，用k表示出x为；接下来由方程组无解即可得到，求出k的值，然后根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：对方程组消去y，得， 解得：， 方程组无解， ∴， 即， 故， ∵，， ∴一次函数y随x增大而增大，图象与轴交于负半轴， ∴一次函数图象过一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 35．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？ 【答案】当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解． 【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可． 【详解】解： 可得：，化简可得： （1）当时，即，方程有唯一解，即方程组有唯一解； （2）当，时，即，，方程无解，即方程组无解； （3）当，时，即，，方程有无数解，即方程组有无数解； 综上，当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法． 36．（20-21七年级下·全国·课后作业）当m，n为何值时，方程组 （1）有唯一解； （2）有无数多个解： （3）无解 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】先把①变形得到，代入②使方程变为只含y的一元一次方程，根据y的系数讨论方程组（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解时m，n的取值即可． 【详解】解：解方程组 由①变形得到代入②得到， ∴， （1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解 将此y的值代入中， 得：x＝，因而原方程组有唯一一组解； （2）当＝0且＝0时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解； （3）当＝0且≠0时，即时，方程无解，因此原方程组无解． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 1．（22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程组解的情况的讨论 我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组． 解：，得．下面我们分几种情况讨论： （1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为． （2）当，即时， ①若，即，也就是，方程组有无穷多个解； ②若，即，也就是，方程组无解． 任务： (1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）． A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想 (2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况： ①；②；③． (3)运用小论文提供的公式，解方程组． 【答案】(1)B (2)①有无穷多个解；②有唯一解；③无解 (3) 【分析】（1）根据对分类讨论思想进行解答； （2）根据小论文中的判断方法进行方程组解的判断； （3）根据当，即时，，进而可得方程组的唯一解为，解出答案． 【详解】（1）解：分不同情况讨论得出结果，故为分类讨论思想． 故选B． （2）由题意得 ①中，，故有无穷多个解， ②中，，故有唯一解， ③中，，故方程组无解． （3）∵，，，，，， ∴，， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂例题中对不同方程组的解的情况分类． 2．（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 3．（2026·四川巴中·一模）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）根据互为相反数相加得零列式求解即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， 把代入①，得 解得， ∴； （2）解：∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 5．（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可； （2）根据题干给定的方法求解即可； （3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可． 【详解】（1）解： 得：，所以③ ③得：④ 得：， 把代入③得：， 解得： 原方程组的解是：； （2）解：， 得：③ ③得：④ 得：，解得： 把代入③得：， 解得：， 原方程组的解是：； （3）解：猜测：， 当时，第一个方程：左边右边， 第二个方程：左边右边， 是原方程组的解． 6．（25-26七年级下·浙江金华·月考）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 解二元一次方程组 考点一：代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.选一个系数比较简单的方程进行变形.变成(或)的形式； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出x或y的值，； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 考点二：加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成绝对值相等的形式； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 考点三：解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 考点四：解三元一次方程组 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路）;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 题型一：代入消元法 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23七年级下·广西贵港·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入算二个方程消去得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（　　） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）若与互为相反数，则________． 题型二：加减消元法 5．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北张家口·期末）解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组为则的值是_____． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，是边的中线，若，，则的长为______． 题型三：选用合适的方法解二元一次方程组 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 5）当二元一次方程组的结构比较复杂,但又有一定的规律时,可以考虑利用换元法. 9．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1)(2) 10．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1)(2)． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解二元一次方程组： (1)；(2)． 题型四：解二元一次方程组的错误步骤判断 12．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 13．（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 14．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 题型五：换元法/整体法解二元一次方程组 在用换元法解方程组时，把要解决的对象的一部分（或全部）看成一个整体，并设为一个新的未知数，使原方程组转化为一个更为简单的方程组，从而达到简化问题的效果. 15．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 16．（24-25八年级下·上海长宁·期中）用换元法解方程组． 17．（23-24八年级下·上海松江·期中）解方程组： 18．（22-23八年级上·四川成都·月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 题型六：解三元一次方程组 19．（25-26八年级上·上海·月考）若，则______，______，______． 20．（22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 21．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 题型七：同解问题 由两个方程组的解相同，知方程组的解满足四个方程，因此，可以把其中的两个系数均为已知数的方程组成一个新方程组，把含待定系数的方程组成另一个方程组，通过解系数已知的新方程组求出原方程组的解，然后把解代入含待定系数的方程组中，进而解决问题 22．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 23．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 24．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值； (2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 题型八：错解问题 看错方程组中某个方程的系数，所得的解既是方程组中看错系数的方程的解，也是方程组中没有看错系数的方程的解，所以，将错解代入到没有看错的方程中，通过解方程来求得参数的值，将参数代入方程组，进而求得源方程组的解. 25．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 26．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 27．（24-25八年级上·江西九江·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 题型九：已知方程组解的关系求参数 正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值. 28．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 29．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数． (1)求的值； (2)若b为的整数部分，c为的小数部分，求的值． 30．（25-26七年级下·全国·期中）宁宁准备解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”当成，请你帮助宁宁解二元一次方程组； (2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果，是一对相反数．”则原题中“”是______． 31．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 题型十：二元一次方程组有解/无解问题 32．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）无论k取何值时，关于x，y的方程均有解则的值为______． 33．（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于，的二元一次方程组无解，则的值是______． 34．（21-22八年级下·江西赣州·期末）若关于的方程组无解，则函数的图象不经过第___________象限． 35．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？ 36．（20-21七年级下·全国·课后作业）当m，n为何值时，方程组 （1）有唯一解； （2）有无数多个解： （3）无解 1．（22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程组解的情况的讨论 我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组． 解：，得．下面我们分几种情况讨论： （1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为． （2）当，即时， ①若，即，也就是，方程组有无穷多个解； ②若，即，也就是，方程组无解． 任务： (1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）． A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想 (2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况： ①；②；③． (3)运用小论文提供的公式，解方程组． 2．（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 3．（2026·四川巴中·一模）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 5．（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得．所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 6．（25-26七年级下·浙江金华·月考）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $