微专题04 二元一次方程组与一次函数问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

微专题04 二元一次方程组与一次函数问题 题型1 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 待定系数法：待定系数法是求一次函数表达式的常用方法，其本质是通过已知条件建立关于未知系数的二元一次方程组，进而求解系数。 1. 设函数表达式：设一次函数的一般形式为（）（k、b为待确定的系数）。 2. 代入已知条件：将已知点的坐标（或两组对应值）代入函数表达式，得到关于k、b的二元一次方程组。 3. 解方程组：通过代入消元法或加减消元法解出k、b的值。 4. 写出表达式：将k、b的值代入所设表达式，得到最终的一次函数表达式。 注意事项： 1. 正比例函数（）只需一组非零对应值即可确定；一次函数（）需要两组对应值。 2. 代入坐标时要注意x与y的顺序，避免混淆。 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发，故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为，故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距，故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得：， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得：； 故或时，乙比甲多行驶．故④正确； 综上，正确的有3个． 故选：C． 2．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地，当甲行驶后，乙骑自行车以的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离与甲行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是______． 【答案】②④ 【分析】本题考查了同学们从图像中获取信息解决问题的能力及数形结合的思想，关键是从图像中获取到正确的信息，并能应用信息解决问题． ①根据题意，两人距离y为时间x的函数，由图象可知两人起始距离为，甲走4小时时两车相遇，由此即可求得甲的速度为每小时；进一步求出甲到B地的时间为5小时，甲原路返回直到追上乙时，比乙多走，列方程解答即可；②当甲行驶1小时时，两人的距离等于减去甲1小时走的路程，即可得到P的纵坐标；③从两人相遇到甲到达B时用1小时，M的横坐标为5，此时两人距离等于两人一小时走的路程和，即可求出M的纵坐标，由的坐标即可求出线段所在直线的解析式；④分别计算当，，时，甲、乙两人之间距离即可． 【详解】解：①， (小时)， 设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：， 解得：，故①错误； ②， 所以P的纵坐标为240，②正确； ③， 所以M坐标为， 又因为Q的坐标为， 设线段所在直线的解析式， 解得：， 所以③错误； ④时，； 时， ； 时，，④正确; 综上所述：②④正确． 故答案为：②④． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质．利用待定系数法，将点代入函数解析式建立方程组求得解析式，再将代入解析式，即可求解． 【详解】解：将点和代入， 得， 解得，． 点在图象上， 故． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山东淄博·期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕显示目前电量为20%（如图1所示）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：h）的函数关系图象分别为图2中的线段，．根据以上信息，解答下列问题： (1)单独用快速充电器充满电比用普通充电器少用______h； (2)求线段对应的函数表达式； (3)先用普通充电器充电h后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，求的值． 【答案】(1)4 (2)， (3) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图． （1）根据图象即可得出答案； （2）用待定系数法可得函数关系式； （3）根据一共用3h时，列方程求出的值． 【详解】（1）解：由图象得，单独用快速充电器充满电比用普通充电器少用． 故答案为：4． （2）解：设线段对应的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得，， 线段对应的函数表达式为，． （3）解：根据题意得，， 解得，． 答：的值为． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）两地之间的距离是300千米，地在两地之间，甲、乙两人乘坐不同的交通工具，甲从地，乙从地，沿同一路线同时出发匀速前往地，图中，分别表示两人距地的路程（单位：千米）与行驶的时间为（单位：小时）之间的关系，根据图象解决以下问题． (1)①直线与直线中，直线___________表示甲到地的路程与行驶时间之间的关系？ ②甲、乙乘坐的交通工具速度比较，___________乘坐的交通工具速度快； ③甲乘坐的交通工具的速度是___________千米/小时，乙乘坐的交通工具的速度是___________千米/小时； (2)与对应的两个一次函数表达式与中，的实际意义各是什么？并直接写出两个具体表达式； (3)在甲追上乙前，过点作轴的垂线，分别交两直线的图象于点，当线段长为40千米时，求的值并解释的实际意义． 【答案】(1)①；②甲乘坐的交通工具；③60，40 (2)、分别表示甲、乙乘坐的交通工具的速度；， (3)，a表示甲、乙两人出发1小时后，乙在甲前面40千米 【分析】此题主要考查一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，构建方程解决问题，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据题意和图象即可解答； （2）先根据题意和图象得出、的实际意义，再根据、的实际意义，即可求出一次函数的解析式； （3）先根据甲、乙对应的函数解析式，得出点的坐标，再根据千米，利用方程即可求出答案． 【详解】（1）解：①甲从地出发匀速前往地， 当时，， 故观察图象可知，直线表示甲到地的路程与行驶时间之间的关系； ②观察图象可知，甲乘坐的交通工具速度快； ③，， 甲乘坐的交通工具的速度是60千米/小时，乙乘坐的交通工具的速度是40千米/小时． 故答案为：①；②甲乘坐的交通工具；③60，40． （2）解：由题意可知，的实际意义分别是甲、乙乘坐的交通工具的速度； 甲乘坐的交通工具的速度是60千米/小时，乙乘坐的交通工具的速度是40千米/小时， 且直线过点，直线过点， ，． （3）解：过点作轴的垂线，分别交两直线的图象于点， ，． 千米， ， 解得，， a的实际意义为甲、乙两人出发1小时后，乙在甲前面40千米． 题型2 两直线交点坐标与二元一次方程组的解 核心关系： 两条直线的交点坐标，就是它们所对应的二元一次方程组的解；反之，二元一次方程组的解，就是两条直线的交点坐标。具体来说，若直线与直线相交于点，则是方程组的唯一解；若两直线平行（且），则方程组无解；若两直线重合（且），则方程组有无数解。 应用： 1. 求两直线交点坐标：只需解对应的二元一次方程组。 2. 判断方程组解的情况：通过观察两直线的位置关系（相交、平行、重合）。 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和方程组的关系，掌握函数图象交点的横纵坐标即方程组的解是解题的关键． 根据题意，先求出m的值，再根据函数图象交点的横、纵坐标即方程组的解，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， 当时，， ， 则方程组的解为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则关于的方程组解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，关键知识点为：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解．据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于的方程组的解就是交点的坐标， 即， 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则方程组的解为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据正比例函数解析式求出交点坐标，然后根据交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】解：将代入得， ， ∴交点坐标为， ∴的解为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 先求出P点坐标，再根据函数图象作答即可． 【详解】解：将代入得：， 即， ∵函数和的图象交于点P， ∴关于x，y的二元一次方程组即的解是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，那么方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据点在一次函数的图象上，求得点的横坐标，再得出方程组的解． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．先把点代入直线求出，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可． 【详解】解：直线与直线交于点， ，即， ， 关于，的方程组的解为， 故答案为：． 题型3 图象法解二元一次方程组 核心思路：将方程组中的两个方程转化为一次函数，通过画出它们的图象，找到交点坐标，即为方程组的解（数形结合思想）。 1. 转化函数：将方程组中的每个二元一次方程转化为一次函数的形式（如转化为）。 2. 画图象：在同一平面直角坐标系中，画出两个一次函数的图象（通常取两个点连线，如与坐标轴的交点）。 3. 找交点：观察图象，确定两直线的交点坐标。 4. 写结果：交点坐标即为方程组的解，即。 注意事项： 1. 图象法直观但不精确，通常用于验证解的存在性或近似解；精确解需用代数方法（如消元法）。 2. 画图时要尽量准确，避免因图象偏差导致错误。 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴轴分别交于点C、B，两直线相交于点． (1)求，的值； (2)求的值； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为2，求的值； (4)在轴上存在点，使得的值最小，则最小值是_____． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再将点的坐标代入直线中，即可求出值； （2）根据解析式求得、、、的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得； （3）由点、的横坐标，即可得出点、的纵坐标，结合即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ； 点在直线上， ， ； （2）解：直线与x轴、y轴分别交于点D，A， ， 直线与x轴、y轴分别交于点C，B， ， ； （3）解：当时，； 当时，． ， ， 解得或； （4）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∵， ∴， 此时，的值最小，则最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、轴对称的性质以及三角形的面积． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 【答案】（1）见详解；（2），（3）无解， （4）4 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据两点确定一条直线即可画出函数图象； （2）根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解； （3）根据图象即可确定方程组解的情况； （4）根据方程组无解，可知两条直线平行，即k值相等，进而可得出a的值． 【详解】解：（1），取点， 则以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象如下： （2）根据图象可知，两直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解是 （3）根据函数图象可知，两直线平行， ∴方程组二元一次方程组的解是无解． （4）∵二元一次方程组无解，即，即， ∴二元一次方程图象和二元一次方程图象平行， ∴ ∴ 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点． (1)求点的坐标； (2)点在直线上，使得，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使得，，三点构成的三角形与全等，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在； 【分析】（1）设直线的表达式：，将点和点代入解析式，解方程组，得到具体的解析式，联立已知构造方程组，解答即可． （2）连接，根据，分别用坐标方式表示三角形的面积，解答即可． （3）利用两点间距离公式，计算线段的长度，依此判定三角形全等的方式，利用平行线的性质，直线平行的坐标特点，建立等式，构造方程组确定交点坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式：，将点和点代入 ， 解得：， ∴， 联立：， 解得， ∴． （2）解：连接，， ∵直线的函数表达式为，分别与轴，轴交于点， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：∵点和点， ∴， ∵点点， ∴， ∴ 当以，，三点构成的三角形与全等时，只有， ∴， ∴， ∴ 设的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴， 由题意得直线， ∴， ∴直线表达式： 联立， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了函数交点坐标的计算，方程组的构造，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，全等的判定和性质是解题的关键． 6．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在Rt中，．点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点在运动过程中，其运动的路程为的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若，直接写出时的取值． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小（答案不唯一） (3)4或9 【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，解题的关键是掌握画函数图象的方法． （1）根据题意，进行分类讨论，当点P在上时，当点P在上时，再根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象，求出两函数图象的交点横坐标即可． 【详解】（1）解：当点P在上时，如图，由题意，，， 则， 即， 当点P在上时，如图，由题意，，， 则， 即， 综上：； （2）解：当、时，；当时，； 则函数图象如图所示， 由图可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，，，则； 当时，，，则， ∴当时的取值为4或9． 题型4 求直线围成的图形面积 核心方法： 直线围成的图形通常为三角形（如直线与坐标轴围成的三角形、两直线交点与坐标轴围成的三角形），需通过以下步骤求解： 1. 求直线与坐标轴的交点：对于直线，与x轴交点为（令），与y轴交点为（令）。 2. 求两直线的交点：解对应的二元一次方程组，得到交点坐标。 3. 计算面积：根据三角形面积公式，选择合适的底和高（如以两直线与x轴交点之间的距离为底，交点纵坐标为高）。 1．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用． （1）分别令，，求出点A和点B的坐标； （2）设，由（1）得点A，B的坐标，则，，，然后由即可求出b的值，从而求解． 【详解】（1）解：由得， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：设， 由（1）得点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， 的面积为3， ， 即， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点，点沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式 (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、两直线的交点坐标，坐标与图形面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）联立两函数解析式，可得点A的坐标，再由三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点A、点B，直线与轴交于点C，与轴交于点，直线与交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)点G是轴上的一个动点，连接，，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点 P，使得的面积等于6，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）代入点到直线，求出的值，得到，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）利用一次函数的性质求出，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，即为所求最小值，再利用勾股定理即可求解； （3）设点的坐标为，分2种情况：①当点在点左侧时；②当点在点右侧时，根据三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：代入点到直线，得， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：将代入得， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时， 即为所求最小值， 过点作轴于点 ∵， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）解：设点的坐标为， ①当点在点左侧时， ∵ ∴ 解得， ∴点的坐标为； ②当点在点右侧时， ∵ ∴ 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、待定系数法求一次函数解析式、轴对称的最短路径问题、勾股定理、三角形的面积公式，运用数形结合思想是解题的关键． 4．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直线的表达式，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到直线的解析式； （2）先求点的坐标，进而确定的底的长度，再确定的高，最后代入三角形面积公式计算； （3）先求出点的坐标，作关于轴的对称点，利用“轴对称性质”得，将转化为，当、、共线时，最小，求出直线的解析式，令，得到的值即为点的纵坐标； （4）先确定目标面积，设点的坐标，以为的底，点到轴的距离为高，代入面积公式列方程，解方程得的值，再代入直线解析式得到的纵坐标，进而确定的坐标． 【详解】（1）解：直线为，且位于直线上， ，解得， 直线的解析式为． 答：． （2）解：直线的解析式为， 当，，即直线与轴交点为， ， 点坐标为， 点到轴的距离为， ． 答：． （3）解：直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 如图，作点关于轴对称点，连接，与轴交于点， ，， ， ， 可知当、、位于同一条直线上时，取得最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，则， 故的坐标为． 答：． （4）解：设存在点， 根据题意可知， 得，即， 解得， 则点的坐标为或． 答：存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，轴对称的应用，一次函数与图形面积的综合应用，通过作对称点，将“折线线段和”转化为“直线线段”是解题关键． 5．（24-25七年级下·山东泰安·月考）如图，直线的函数解析式为，直线与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点B，如图所示．直线交于点． (1)求m的值和点D的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)求的面积； (4)利用函数图象直接写出关于x、y的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3)3 (4) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解决本题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． （1）求函数值为0时一次函数所对应的自变量的值即可得到D点横坐标，把代入求出m得到C点坐标； （2）把C、B坐标代入中，利用待定系数法求直线的解析式； （3）将代入求出A点坐标，进而求出的长度，最后即可计算面积； （4）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】（1）解：∵直线、交于点， ∴把坐标代入中， 得， ∴，则， 又直线与x轴交于D点，故， ∴，则． （2）解：把点代入直线：， 得 ， 解得， ∴直线的解析式为：． （3）解：把代入中， 得， ， ∴， 又∵， 则， 又∵， ∴． （4）解：由图象知，点C的坐标即方程组 的解， ∴． 6．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 【答案】(1)1， (2)直线经过点M，理由见解析 (3)，16 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征、求函数解析式、三角形的面积等知识点，掌握函数图象经过的点必能满足解析式是解题的关键． （1）把代入可得p的值，然后根据二元一次方程组的解为对应直线交点的坐标作答即可； （2）把点M的坐标代入，得到m、n的关系；然后把点P的坐标代入，并结合m、n的关系即可解答； （3）先运用待定系数法求得m、n的值即可确定函数解析式，再求出A点坐标，然后运用三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得：； ∴两条直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为：． （2）解：直线经过点M，理由如下： ∵在直线上， ∴． 当时，， ∴直线经过点M． （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴； ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 二元一次方程组与一次函数问题 题型1 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 待定系数法：待定系数法是求一次函数表达式的常用方法，其本质是通过已知条件建立关于未知系数的二元一次方程组，进而求解系数。 1. 设函数表达式：设一次函数的一般形式为（）（k、b为待确定的系数）。 2. 代入已知条件：将已知点的坐标（或两组对应值）代入函数表达式，得到关于k、b的二元一次方程组。 3. 解方程组：通过代入消元法或加减消元法解出k、b的值。 4. 写出表达式：将k、b的值代入所设表达式，得到最终的一次函数表达式。 注意事项： 1. 正比例函数（）只需一组非零对应值即可确定；一次函数（）需要两组对应值。 2. 代入坐标时要注意x与y的顺序，避免混淆。 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地，当甲行驶后，乙骑自行车以的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离与甲行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是______． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 4．（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 5．（25-26七年级上·山东淄博·期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕显示目前电量为20%（如图1所示）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：h）的函数关系图象分别为图2中的线段，．根据以上信息，解答下列问题： (1)单独用快速充电器充满电比用普通充电器少用______h； (2)求线段对应的函数表达式； (3)先用普通充电器充电h后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，求的值． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）两地之间的距离是300千米，地在两地之间，甲、乙两人乘坐不同的交通工具，甲从地，乙从地，沿同一路线同时出发匀速前往地，图中，分别表示两人距地的路程（单位：千米）与行驶的时间为（单位：小时）之间的关系，根据图象解决以下问题． (1)①直线与直线中，直线___________表示甲到地的路程与行驶时间之间的关系？ ②甲、乙乘坐的交通工具速度比较，___________乘坐的交通工具速度快； ③甲乘坐的交通工具的速度是___________千米/小时，乙乘坐的交通工具的速度是___________千米/小时； (2)与对应的两个一次函数表达式与中，的实际意义各是什么？并直接写出两个具体表达式； (3)在甲追上乙前，过点作轴的垂线，分别交两直线的图象于点，当线段长为40千米时，求的值并解释的实际意义． 题型2 两直线交点坐标与二元一次方程组的解 核心关系： 两条直线的交点坐标，就是它们所对应的二元一次方程组的解；反之，二元一次方程组的解，就是两条直线的交点坐标。具体来说，若直线与直线相交于点，则是方程组的唯一解；若两直线平行（且），则方程组无解；若两直线重合（且），则方程组有无数解。 应用： 1. 求两直线交点坐标：只需解对应的二元一次方程组。 2. 判断方程组解的情况：通过观察两直线的位置关系（相交、平行、重合）。 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则关于的方程组解为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则方程组的解为___________ 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______ 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，那么方程组的解为__________． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为___________． 题型3 图象法解二元一次方程组 核心思路：将方程组中的两个方程转化为一次函数，通过画出它们的图象，找到交点坐标，即为方程组的解（数形结合思想）。 1. 转化函数：将方程组中的每个二元一次方程转化为一次函数的形式（如转化为）。 2. 画图象：在同一平面直角坐标系中，画出两个一次函数的图象（通常取两个点连线，如与坐标轴的交点）。 3. 找交点：观察图象，确定两直线的交点坐标。 4. 写结果：交点坐标即为方程组的解，即。 注意事项： 1. 图象法直观但不精确，通常用于验证解的存在性或近似解；精确解需用代数方法（如消元法）。 2. 画图时要尽量准确，避免因图象偏差导致错误。 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴轴分别交于点C、B，两直线相交于点． (1)求，的值； (2)求的值； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为2，求的值； (4)在轴上存在点，使得的值最小，则最小值是_____． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点． (1)求点的坐标； (2)点在直线上，使得，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使得，，三点构成的三角形与全等，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在Rt中，．点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点在运动过程中，其运动的路程为的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若，直接写出时的取值． 题型4 求直线围成的图形面积 核心方法： 直线围成的图形通常为三角形（如直线与坐标轴围成的三角形、两直线交点与坐标轴围成的三角形），需通过以下步骤求解： 1. 求直线与坐标轴的交点：对于直线，与x轴交点为（令），与y轴交点为（令）。 2. 求两直线的交点：解对应的二元一次方程组，得到交点坐标。 3. 计算面积：根据三角形面积公式，选择合适的底和高（如以两直线与x轴交点之间的距离为底，交点纵坐标为高）。 1．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点，点沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式 (2)求的面积； 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点A、点B，直线与轴交于点C，与轴交于点，直线与交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)点G是轴上的一个动点，连接，，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点 P，使得的面积等于6，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（24-25七年级下·山东泰安·月考）如图，直线的函数解析式为，直线与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点B，如图所示．直线交于点． (1)求m的值和点D的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)求的面积； (4)利用函数图象直接写出关于x、y的二元一次方程组的解． 6．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $