26.1.2 反比例函数的图象和性质（讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦反比例函数的图象和性质，系统梳理描点法作图步骤、双曲线的象限分布与对称性质、k的符号对增减性的影响及k的几何意义，通过5类典型题型搭建从概念理解到应用解题的学习支架。 资料以“建体系”思维导图构建知识框架培养几何直观，“求甚解”强调增减性需“在每一个象限内”等易错点发展推理意识，“练题型”通过典例及变式练提升应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

26.1.2 反比例函数的图象和性质 目录 题型01 根据反比例函数的图象所在象限求字母的值 5 题型02 利用反比例函数的图象与性质比较函数值的大小 6 题型03 多种函数图象共存问题 9 题型04 反比例函数中比例系数k的几何意义 12 题型05 反比例函数与一次函数综合 16 建体系 新知廊 知识点1：用描点法画反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象的步骤 （1）列表：一般情况下，取三对或三对以上互为相反数的数，作为自变量的值，并计算对应的函数值，列出表格． （2）描点：以表格中各对对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点 （3）连线：按照自变量从小到大的顺序，分象限用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸．（不能用折线．） 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线． 知识点2：反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=－x）． （2）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． （3）反比例函数的性质如下表： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 知识点3：反比例函数中比例系数k的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN =|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|． 求甚解 1．注意因为k≠0，x≠0，y≠0，所以反比例函数的图象不经过原点且与x轴、y轴都没有交点． 2．在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在每一个象限内”． 也可以说成“在某个分支上”或“当x>0或x<0时”． 3．（1）过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积为． （2）过双曲线上的任意一点作x轴或y轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为． （3）注意：因为（k≠0）中k有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成k． 4．若已知反比例函数解析式，则利用反比例函数（k≠0）中k的几何意义可求相关几何图形的面积；反之，若已知相关几何图形的面积及函数图象的位置，则可求比例系数k，进而可得反比例函数解析式． 5．比较反比例函数值大小的方法 方法一：性质法．当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较． 方法二：图象法．根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小（图象法形象直观）． 方法三：特殊值法．根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小（特殊值法简单直接）． 6．与反比例函数图象对称性相关的解题方法 （1）反比例函数与正比例函数的图象若有两个交点，则两交点关于原点对称． （2）反比例函数图象与其他关于原点对称的图形组成的新图形仍关于原点对称，轴对称性同样适用． 7．借助转化求面积 当反比例函数图象中的几何图形面积无法直接求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算．（常作辅助线：①连接反比例函数图象上的点与坐标原点；②过反比例函数图象上的点作x轴或y轴的垂线．） 练题型 题型01 根据反比例函数的图象所在象限求字母的值 典型例题 　（2024春•鲤城区校级期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则a的值可以为（　　）典例 01 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质得2﹣a＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴2a﹣6＜0， ∴a＜3． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•北碚区校级期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点（3，k）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质确定k的符号，然后确定点的所在的位置即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴k＜0， ∴点（3，k）在第四象限， 故选：D． 【变式练2】　（2025•丰满区校级模拟）反比例函数的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第（　　）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】依据题意，根据所给反比例函数图象在第一、三象限，得出k的取值范围，进而可解决问题． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y的图象在第一、三象限，∴k﹣1＞0， ∴k＞1， ∴点（k，﹣3）在第四象限． 故选：D． 【变式练3】　（2025秋•道里区期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 【答案】C 【分析】反比例函数y（k≠0）：当k＞0时，图象位于第一、三象限；当k＜0时，图象位于第二、四象限． 【解答】解：由题意得m﹣1＜0， 解得m＜1， 故选：C． 题型02 利用反比例函数的图象与性质比较函数值的大小 典型例题 　（2025秋•临县期末）若点A（﹣2，a），B（﹣6，b）分别在如图所示的反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是（　　）典例 02 A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 【答案】C 【分析】根据图象知反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，据此性质求解即可． 【解答】解：由条件可知k＞0，在每一象限上y随x的增大而减小， ∵﹣2＞﹣6， ∴a＜b， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•海南一模）如果点A（x1，y1）B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【答案】A 【分析】依据题意，由反比例函数y（k＜0在同一个象限内，y随x的增大而增大即可得答案． 【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，且x1＞x2＞0， 又在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∴y1＞y2， 故选：A． 【变式练2】　（2025秋•沈河区校级期中）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣2，y3）在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 【答案】D 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答即可． 【解答】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小， ∵B（2，y2）在第一象限， ∴y2＞0， ∵点A（﹣1，y1）、C（﹣2，y3）在第三象限，且﹣2＜﹣1， ∴y1＜y3＜0， ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 【变式练3】　（2025秋•九龙坡区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据反比例函数（k＜0）在第二象限内，y随x的增大而增大解答即可． 【解答】解：反比例函数y（k＜0）中， ∵k＜0，且x＜0， ∴在第二象限内，y随x的增大而增大； ∵﹣3＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． 故选：A． 题型03 多种函数图象共存问题 典型例题 　（2025秋•娄烦县期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（　　）典例 03 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可． 【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A、C不符合题意，选项B符合题意； k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D不符合题意． 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024•玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【解答】解：∵y＝k（x﹣1）， ∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0）， 故①④不合题意； 当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y（k≠0）在一、三象限； 当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y（k≠0）在二、四象限； 故②③符合题意； 故选：B． 【变式练2】　（2025春•巴州区期中）已知ab＞0，一次函数y＝ax+b与反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：若反比例函数y经过第一、三象限，则a＞0．所以b＞0．则一次函数y＝ax+b的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数y经过第二、四象限，则a＜0．所以b＜0．则一次函数y＝ax+b的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A正确； 故选：A． 【变式练3】　（2023秋•兰州期末）函数y与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞0，相矛盾，故本选项错误； B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误； C、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误． D、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确； 故选：D． 题型04 反比例函数中比例系数k的几何意义 典型例题 　（2025秋•台江区校级月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是（　　）典例 04 A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5 【答案】C 【分析】依据题意，连接OA，得到S△OAB＝S△APB，根据k值的几何意义，即可得出结果． 【解答】解：连接OA， ∵AB⊥y， ∴AB∥OP， ∴S△OAB＝S△APB＝5， ∵A在反比例函数y的图象上， ∴S△OAB5． ∴|k|＝10， 又∵k＜0， ∴k＝﹣10． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024•武威三模）如图，点A、点B是函数y的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．﹣2 B．±4 C．2 D．±2 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的图象在一、三象限判断出k的符号，由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD＝S△BOEk，根据反比例函数及正比例函数的特点得出A、B两点关于原点对称，故可得出S矩形OECD＝2△AOD＝k，再由△ABC的面积是4即可得出k的值． 【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴k＞0， ∵BC∥x轴，AC∥y轴， ∴S△AOD＝S△BOEk， ∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∴S矩形OECD＝2△AOD＝k， ∴S△ABC＝S△AOD+S△BOE+S矩形OECD＝2k＝4，解得k＝2． 故选：C． 【变式练2】　（2025秋•历城区期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是（　　） A．10 B．12 C．﹣10 D．﹣5 【答案】C 【分析】连接AO，根据△ABC的面积得出△ABO的面积，再结合反比例函数系数k的几何意义即可解决问题． 【解答】解：连接AO， ∵AB⊥x轴， ∴AB∥y轴， ∴S△ABO＝S△ABC＝5． 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴5， 又∵k＜0， ∴k＝﹣10． 故选：C． 【变式练3】　（2025秋•惠州期末）如图，点P在反比例函数y（x＞0）的图象上，PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题 【解答】解：∵作PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积等于2， ∴， ∵k＞0， ∴k＝4． 故选：A． 题型05 反比例函数与一次函数综合 典型例题 　（2025秋•南昌期末）如图，反比例函数的图象与直线AB交于点A，B，AB与x轴交于点C，BD⊥y轴于点D，连接CD，则S△BDC的值为（　　）典例 05 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】连接OB，由BD⊥y得BD∥x，根据平行线间的距离可得S△BDC＝S△BOD，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数k的几何意义是解题的关键． 【解答】解：如图，连接OB， ∵BD⊥y， ∴BD∥x， ∴， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•中原区校级期末）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于点A（1，2）和点B，且与x轴和y轴分别交于点D和点C（0，1）． （1）求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）不等式的解集为　　 ； （3）连接OA，OB，求S△AOB． 【答案】（1）反比例函数为y，一次函数为y＝x+1； （2）x＜﹣2或0＜x＜1； （3）． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象一次函数与反比例函数的交点即可求解； （3）由S△AOB＝S△AOD+S△BOD即可求解． 【解答】解：（1）∵A（1，2）在反比例函数的图象上， ∴k＝1×2＝2， ∴反比例函数为y， ∵一次函数y＝mx+n图象过点A（1，2），C（0，1）， ∴，解得， ∴一次函数为y＝x+1； （2）解，得或， ∴B（﹣2，﹣1）， 由图象可知不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜1； 故答案：x＜﹣2或0＜x＜1； （3）令y＝0，则0＝x+1，解得：x＝﹣1； ∴D（﹣1，0）， ∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD． 【变式练2】　（2025秋•蚌埠期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出y1≤y2时，x的取值范围； （3）若点N为y轴上一点，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为y1＝x+1；反比例函数的解析式为； （2）0＜x≤1或x≤﹣2； （3）N（0，7）或（0，﹣5）． 【分析】（1）利用待定系数法分别求出两个函数解析式即可； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）设点N的坐标为（0，n），根据题意得到关于n的方程解得n＝7或﹣5．即可得到点N的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知m＝1×2＝﹣2×a， ∴m＝2，a＝﹣1， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A（1，2）和B（﹣2，﹣1）在一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象上， ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+1； （2）如图， 由图可知，不等式y1≤y2时x的取值范围为：0＜x≤1或x≤﹣2； （3）设点N的坐标为（0，n），根据题意得： ， 解得n＝7或﹣5． ∴N（0，7）或（0，﹣5）． 【变式练3】　（2025秋•长丰县期末）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，2）、B两点．BD垂直于y轴，垂足为D，连接AD． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求△ABD的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x+3， （2）3 （3）x＜﹣1或0＜x＜2 【分析】（1）直接根据待定系数法求两个函数解析式即可； （2）求出点B的坐标，则可知BD，然后得出BD边上的高根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象找出一次函数在反比例函数上方的部分即可． 【解答】（1）解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，2）， ∴将A（﹣1，2）分别代入y＝﹣x+b，， 得2＝1+b，k＝﹣1×2，即b＝1，k＝﹣2， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+1， 反比例函数解析式为； （2）联立， 即， 解得：x1＝2，x2＝﹣1（即为点A）， 经检验，x1＝2，x2＝﹣1是原方程的解， ∴点B（2，﹣1）， ∴BD＝2，BD边上的高为2﹣（﹣1）＝3， ∴； （3）根据函数图象可得反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围即为一次函数在反比例函数上方的部分， ∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1.2 反比例函数的图象和性质 目录 题型01 根据反比例函数的图象所在象限求字母的值 5 题型02 利用反比例函数的图象与性质比较函数值的大小 6 题型03 多种函数图象共存问题 7 题型04 反比例函数中比例系数k的几何意义 9 题型05 反比例函数与一次函数综合 12 建体系 新知廊 知识点1：用描点法画反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象的步骤 （1）列表：一般情况下，取三对或三对以上互为相反数的数，作为自变量的值，并计算对应的函数值，列出表格． （2）描点：以表格中各对对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点 （3）连线：按照自变量从小到大的顺序，分象限用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸．（不能用折线．） 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线． 知识点2：反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=－x）． （2）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． （3）反比例函数的性质如下表： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 知识点3：反比例函数中比例系数k的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN =|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|． 求甚解 1．注意因为k≠0，x≠0，y≠0，所以反比例函数的图象不经过原点且与x轴、y轴都没有交点． 2．在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在每一个象限内”． 也可以说成“在某个分支上”或“当x>0或x<0时”． 3．（1）过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积为． （2）过双曲线上的任意一点作x轴或y轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为． （3）注意：因为（k≠0）中k有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成k． 4．若已知反比例函数解析式，则利用反比例函数（k≠0）中k的几何意义可求相关几何图形的面积；反之，若已知相关几何图形的面积及函数图象的位置，则可求比例系数k，进而可得反比例函数解析式． 5．比较反比例函数值大小的方法 方法一：性质法．当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较． 方法二：图象法．根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小（图象法形象直观）． 方法三：特殊值法．根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小（特殊值法简单直接）． 6．与反比例函数图象对称性相关的解题方法 （1）反比例函数与正比例函数的图象若有两个交点，则两交点关于原点对称． （2）反比例函数图象与其他关于原点对称的图形组成的新图形仍关于原点对称，轴对称性同样适用． 7．借助转化求面积 当反比例函数图象中的几何图形面积无法直接求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算．（常作辅助线：①连接反比例函数图象上的点与坐标原点；②过反比例函数图象上的点作x轴或y轴的垂线．） 练题型 题型01 根据反比例函数的图象所在象限求字母的值 典型例题 　（2024春•鲤城区校级期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则a的值可以为（　　）典例 01 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质得2﹣a＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴2a﹣6＜0， ∴a＜3． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•北碚区校级期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点（3，k）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式练2】　（2025•丰满区校级模拟）反比例函数的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第（　　）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式练3】　（2025秋•道里区期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 题型02 利用反比例函数的图象与性质比较函数值的大小 典型例题 　（2025秋•临县期末）若点A（﹣2，a），B（﹣6，b）分别在如图所示的反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是（　　）典例 02 A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 【答案】C 【分析】根据图象知反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，据此性质求解即可． 【解答】解：由条件可知k＞0，在每一象限上y随x的增大而减小， ∵﹣2＞﹣6， ∴a＜b， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•海南一模）如果点A（x1，y1）B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【变式练2】　（2025秋•沈河区校级期中）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣2，y3）在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 【变式练3】　（2025秋•九龙坡区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 题型03 多种函数图象共存问题 典型例题 　（2025秋•娄烦县期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（　　）典例 03 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可． 【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A、C不符合题意，选项B符合题意； k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D不符合题意． 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024•玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式练2】　（2025春•巴州区期中）已知ab＞0，一次函数y＝ax+b与反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式练3】　（2023秋•兰州期末）函数y与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型04 反比例函数中比例系数k的几何意义 典型例题 　（2025秋•台江区校级月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是（　　）典例 04 A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5 【答案】C 【分析】依据题意，连接OA，得到S△OAB＝S△APB，根据k值的几何意义，即可得出结果． 【解答】解：连接OA， ∵AB⊥y， ∴AB∥OP， ∴S△OAB＝S△APB＝5， ∵A在反比例函数y的图象上， ∴S△OAB5． ∴|k|＝10， 又∵k＜0， ∴k＝﹣10． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024•武威三模）如图，点A、点B是函数y的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．﹣2 B．±4 C．2 D．±2 【变式练2】　（2025秋•历城区期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是（　　） A．10 B．12 C．﹣10 D．﹣5 【变式练3】　（2025秋•惠州期末）如图，点P在反比例函数y（x＞0）的图象上，PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 题型05 反比例函数与一次函数综合 典型例题 　（2025秋•南昌期末）如图，反比例函数的图象与直线AB交于点A，B，AB与x轴交于点C，BD⊥y轴于点D，连接CD，则S△BDC的值为（　　）典例 05 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】连接OB，由BD⊥y得BD∥x，根据平行线间的距离可得S△BDC＝S△BOD，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数k的几何意义是解题的关键． 【解答】解：如图，连接OB， ∵BD⊥y， ∴BD∥x， ∴， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•中原区校级期末）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于点A（1，2）和点B，且与x轴和y轴分别交于点D和点C（0，1）． （1）求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）不等式的解集为　　 ； （3）连接OA，OB，求S△AOB． 【变式练2】　（2025秋•蚌埠期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出y1≤y2时，x的取值范围； （3）若点N为y轴上一点，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标． 【变式练3】　（2025秋•长丰县期末）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，2）、B两点．BD垂直于y轴，垂足为D，连接AD． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求△ABD的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $