11.2正弦定理（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

11.2 正弦定理 第十章 三角恒等变换 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握正弦定理的核心内容：在任意△ABC 中，各边和它所对角的正弦的比相等. 能熟练运用正弦定理解决已知两角和任一边、已知两边和其中一边的对角两类解三角形问题. 在定理推导、例题探究、习题演练的过程中，提升逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力. 新课导入 上节课我们学习了余弦定理，你能说出它的核心公式和推导方法吗？ 公式： 、 等； 方法：将向量等式 两边平方，把向量问题转化为数量问题. 既然平方能实现向量等式的数量化，那除了平方，还有其他途径将向量等式 数量化吗？ 比如知道 、 和边 ，该如何求其余的边和角？余弦定理无法解决这类问题，那就一定还有其他关系. 这就是本节课要探究的关系这个关系 —— 正弦定理. 探究一：几何作高法推导正弦定理 新知探究 如图， 在 中，分别能由哪些边角表示？由这两个表达式，能得到怎样的边角等式？ 在 中， 因此 ，变形得 那如何得到关于边 和的比例关系？这个比例式对任意三角形都成立吗？ 过点 B 作 ，用同样的方法可推得 因此 在 中，； 新知探究 探究二：向量法验证正弦定理 对向量等式两边做什么运算，能实现数量化且简化计算？ 即 当C为锐角或直角时，；当C为钝角时， 则 对等式两边点乘，得； 因为，左边，右边展开得 两边同时点乘与垂直的向量，因为垂直的两个向量数量积为0，能让等式左边为0，简化计算. 新知探究 经历以上的推导，你能发现什么规律？ 即 与几何法结论完全一 致，验证了结论的正确性。 正弦定理： 在向量法验证时，最终推得 在任意ABC 中，各边和它所对角的正弦的比相等 即 即时训练 1.在中，内角A，B，C所对的边分别为下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得 对比选项可知只有B正确． B 知识小结 正弦定理 ①文字描述： 在任意ABC 中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言： 例1 典例分析 如图，在中，，，，求，（精确到）。 【分析】先利用三角形内和定理求角，再用正弦定理求边 因此，，的长分别为和。 解：因为，，所以 因为，所以 例2 典例分析 根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°）： (1) ，，； (2) ，，． 【分析】先根据正弦定理求出的值，判断角的解的个数(一解或两解),再根据三角形内角和定理求出角,最后用正弦定理求出边. 解 ：（1）由正弦定理，得 所以 或 ． 因为 ，所以 也符合要求，从而 有两解（如图）： 典例分析 当 时， 当 时， 典例分析 （2）由正弦定理，得 或 因为 所以 不符合要求，从而 只有一解（如图） （１）已知两角和任一边，求其他两边和一角； 新知探究 利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题： 特点：三角形的形状和大小是唯一确定的，解唯一 思路与步骤： 利用三角形内角和定理求未知角 代入已知角和边求解： 特点：三角形的形状和大小可能不唯一，解的个数需要判断 （２）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角. 例3 典例分析 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC（精确到1 m）． 【分析】 要求BC，要先求出AB，为此考虑解△ABD． 在Rt△ABC中， 答：山的高度约为811 m． 解：过点 因为 于是 又因为 在△ABD中，由正弦定理，得 例4 典例分析 在中，已知，试判断的形状． 【分析】用正弦定理化边为角，推出，从而判定为正三角形. 解：令，由正弦定理，得 代入已知条件，得 即 又因为，所以． 故为正三角形． 例5 典例分析 在△ABC中,AD是∠BAC的平分线(如图), 用正弦定理证明: 【分析】在两个小三角形中分别用正弦定理，利用角平分线和补角正弦相等，推出比例关系. 证明：设,则 在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理,得 又因为 sin(180°−β)=sinβ,所以 即 巩固提升 题型1 正弦定理解三角形 A． B． C．或 D．或 【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 又，所以，所以． 1.已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） 【详解】由正弦定理知，， 即，解得， A 巩固提升 题型2 正弦定理判断三角形解的个数 2.在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，所以三角形无解，故B错； C选项，,所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. C 巩固提升 题型3 正弦定理判断三角形形状 3.在中，已知，则的形状是 ________． 【分析】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解. 【详解】根据正弦定理和余弦定理 可化为， ∴ 即，则 ∴ 为等腰三角形 等腰三角形 巩固提升 题型4 正弦定理边角互化应用 4.设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则_________． 【分析】先利用正弦定理将已知等式进行边化角，再利用两角和差公式和诱导公式即可得解. 【详解】因为，所以由正弦定理可得： 即 因为 所以，所以． 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 正弦定理 苏教版 · 必修二 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 掌握正弦定理的核心定义与推导逻辑 定理内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A = b sin B = c sin C = 2R 其中 R 为三角形外接圆的半径。 常见变形 边化角 a = 2R sin A b = 2R sin B c = 2R sin C 角化边 sin A = a2R sin B = b2R sin C = c2R 比例关系： a : b : c = sin A : sin B : sin C 易错点警示 避开常见陷阱，提升解题准确率 ! 忽视解的个数 在已知两边和其中一边的对角解三角形时（如已知 a, b, A），可能出现一解、两解或无解的情况。 💡 建议：作图辅助判断，或利用 b sin A 与 a 的大小关系进行检验。 ! 忽视隐含条件 在求出 sin B 后求角 B 时，容易忽略 A + B < 180° 以及 大边对大角 的原则。 ! 混淆 2R 的含义 公式中的 2R 指的是直径，而非半径。在计算外接圆面积时需注意区分。 解题技巧 掌握核心模型，快速突破难题 模型一：已知两角及一边 唯一解 此类问题解是唯一的。先利用三角形内角和定理求出第三个角，再利用正弦定理求其他两边。 步骤： C = 180° - (A + B) a = c sin Asin C 模型二：已知两边及其中一边的对角 需讨论 如已知 a, b, A，求 B。需先求 sin B，再根据范围确定 B 的值。 数形结合 分类讨论 💡 核心策略：边角互化 当等式中同时出现边和角（如 a cos B = b sin A）时， 优先考虑统一为边或统一为角。通常统一为角处理较为方便，利用三角恒等变换求解。 $