11.3 余弦定理、正弦定理的应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

11.3 余弦定理、正弦定理的应用 第11章 解三角形 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 测量问题 1 测量距离问题的基本类型和解决方案 当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型.#1 类型 简图 计算方法 , 间不可达也不可视 测得,, 的大小,则由余 弦定理得 . 6 类型 简图 计算方法 ，与点 可视但不可达 测得,, 的大小,则 ，由正弦定理得 . ，与点， 均可视不可达 测得及,, , 的度数.在 中，用正弦定 理求;在 中,用正弦定理求 ;在中,用余弦定理求 . 续表 7 知识回顾 涉及的有关术语 #1.3 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角叫作方 位角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常 表达为北偏东（西）、南偏东（西） 度. 北偏东 或东偏北 _________________________ 8 2 测量高度问题的基本类型和解决方案 当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型.#1 类型 简图 计算方法 底部可达 测得,的大小, 9 类型 简图 计算方法 底部 不可 达 点与 ， 共线 测得及与 的度数. 先由正弦定理求出或 ，再解直角 三角形得 的值. 点与 ， 不共线 测得及,， 的 度数. 在中由正弦定理求得 ，再解直 角三角形得 的值. 续表 10 知识回顾 涉及的有关术语#1.1.2 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯 角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的 角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标 视线在水平视线下方的叫作俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角. 设坡角为 ,坡度为 , 则 . ___________________________ 坡度 坡面的垂直高度和水平宽度 的比. 11 3 测量角度问题 测量角度问题主要涉及海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位 角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念. 解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角 形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 12 典例详解 图11.3-1 例1-1 如图11.3-1，在高速公路建设中需要确定隧道的长度， 工程技术人员已测得隧道两端的两点，到点 的距离 ，且 ，则， 两点间的距离为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】在中，易得 ， 由正弦定理 , 得 . 13 图11.3-2 例1-2 (2025·河南省部分学校质检)测量河对岸某一高层建筑物 的 高度时，可以选择与建筑物的最低点 在同一水平面内的两个观测 点和，如图11.3-2所示，测得， ， ，并在处测得建筑物顶端的仰角为 ，则建筑物 的高度为( ) B A. B. C. D. 14 【解析】由题意，在中， ， ， ，又 ， 由正弦定理得 . 在中， ， ， , 则建筑物的高度为 . 15 图11.3-3 例1-3 当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹 竿如图11.3-3所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成 的角是( ) B A. B. C. D. 【解析】设竹竿与地面所成的角为 ,影子长为 .由正弦定理，得 ,解得 . , , 当 ,即 时, 有最大值. 即竹竿与地面所成的角是 时，影子最长. 16 重难拓展 知识点2 解三角形的应用题 解与三角形有关的应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或 几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转 化为解三角形问题. 17 1 解题思路 18 2 基本步骤 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下. （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）. （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关 三角形中，建立一个解三角形的数学模型. （3）求解：利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解. （4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解. 19 3 主要类型 20 典例详解 例2-4 如图11.3-4，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形 区域改造成 公园，经过测量得到，，， ，且 ，则这个区域的面积是_ ______ ． 图11.3-4 21 【解析】连接（图略），在 中， ,, ,利用余弦定理得 ,即 ． 在中，因为，，，所以 ， 则为直角三角形,且 ． 故 . 22 总结 （1）解题时可以构造一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰 三角形等，优化解题过程. （2）解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据（原始数据），少用 间接求出的数据. 23 题型解析 03 题型1 正、余弦定理解决测量问题 1 测量距离问题 例5 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 的军事 基地和处测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且 , , , ,如图11.3-5所示，求蓝方这两支精锐部队间 的距离. 图11.3-5 25 给什么得什 么 中，给出两角一边，由正弦定理及三角形内角和定理可解三 角形. 求什么想什 么 由题干分析可知，所求距离为长，可将其放在 （或 ）中，用余弦定理求解. 差什么找什 么 余弦定理需两条边和一个角，在中，先求和 ，代入余弦 定理公式中，求得 . 26 【解析】 . , , . 在中， ， 由正弦定理得 . 在 中，由余弦定理得 , . 故蓝方这两支精锐部队间的距离为 . 【另解】在中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理求得 27 由图11.3-5可知，是等边三角形，且垂直平分 ，易知 .由 ，可知 是等腰直角三角形，易得 . 名师点评 由此可以看出，根据图形的特点，利用相关性质可以简化步骤.求解涉及 多个三角形的问题时，应尽量选择已知条件较多的三角形. 28 2 测量高度问题 例6 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度， 如图11.3-6，在处进行该仪器的垂直弹射，观测点，两地相距 , ，在地听到弹射声音的时间比地晚.地测得该仪器在 处时的俯 角为 ,地测得该仪器在最高点时的仰角为 ，求该仪器的垂直弹射高度 . （声音在空气中的传播速度为 ） 图11.3-6 29 30 【解析】由题意，设 ， 则 . 在 中，由余弦定理得 , 即，解得 . 在中，, , . 由正弦定理得 . 故该仪器的垂直弹射高度为 . 名师点评 本题中涉及“俯角”“仰角”这样的术语，注意其反映在图形上的位置. 31 3 测量角度问题 例7 (2025·江西师大附中期中)一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东 方向， 距离为海里，灯塔在的北偏西 方向，距离为海里，该游轮由 沿正 北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东 方向，则此时灯塔 位于游轮的 ( ) C A.正西方向 B.南偏西 方向 C.南偏西 方向 D.南偏西 方向 32 【解析】由题意作图，如图11.3-7，则 , 图11.3-7 在中，由正弦定理得 , 所以 （海里）. 33 在中，海里，海里， , 由余弦定理可得 , 所以 海里，再由余弦定理得 ，即 . 所以此时灯塔位于游轮的南偏西 方向. 34 正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形 （主要是三角形与四边形）问题中的应用，一般利用几何图形本身及实际问题中涉 及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理 即可使问题得解. 35 题型2 正、余弦定理在力学中的应用 图11.3-8 例8 如图11.3-8所示，墙上有一个三角形灯架 ，灯所受重力为 ,且，都是细杆，只受沿杆方向的力，试求杆， 所 受的力的大小.（精确到，参考数据： , , ） 【解析】点处受到三个力的作用：灯线向下的拉力（记为 ），从 到方向的拉力（记为），从到方向的支持力（记为 ）， 这三个力是平衡的，即 . 36 图11.3-9 如图11.3-9所示，作,将沿到，到 的两个方向进行分 解，即作,则， . 由题设条件可知，， , ,所以 . 在中，由正弦定理得 ,则 , . 所以杆所受的力的大小约为，杆所受的力的大小约为 . 37 解决力学问题时，首先要搞清楚题中相关术语的准确含义，正确对物体进行受力分 析，注意受力平衡的意义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件， 最后用正弦定理、余弦定理解决. 38 题型3 综合应用题 例9 (2025·四川省德阳中学月考)如图11.3-10，经过村庄有两条夹角为 的公路 ，，根据规划,在两条公路之间的区域内建一工厂 ，分别在两条公路边上建两 个仓库，（异于村庄），要求（单位： ）. 图11.3-10 39 （1）当 时，求线段 的长度； 【解析】由题意知, , 因为 ,所以 , 在中， , 在中，,故线段 的长度为 . 40 （2）问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离 最远） 【解析】设 ,则 , 在中，由正弦定理知，，即 ,所以 , 在 中，由余弦定理知， , 41 因为,所以当 ,即 时， 取得最 小值,为 , 此时取得最大值，为 , 所以的最大值为,此时 , 故设计 时,可使工厂产生的噪音对居民的影响最小. 42 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 高考对解三角形的实际应用的考查主要是运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些 与测量和几何有关的实际问题.题型主要为选择题，难度中等. 核心素养:数学建模（将实际问题转化到三角形中求解）、直观想象（以题想图，选 择合适的定理解题）. 43 考向 解三角形的实际应用 图11.3-11 例10 (全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗 玛峰最新高程为（单位： ）,三角高程测量法是珠峰 高程测量方法之一.如图11.3-11是三角高程测量法的一个示意图， 现有，，三点，且，,在同一水平面上的投影， ， 满足 , .由点测得 点的仰角为 ，与的差为100;由点测得点的仰角为 ，则 ，两点到水平面的高度差约为 ( ) B A.346 B.373 C.446 D.473 44 图11.3-12 【解析】如图11.3-12所示，根据题意过作，交 于 ，过作，交于，则 , .在中， ,则 .又在点处测得点的仰角为 ，所 以 ,所以高度差 . 45 知识测评 04 建议时间：25分钟 图11.3-1 1.(2025·河南省灵宝市实验高级中学月考)如图11.3-1，设， 两点 在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出 的距离为， ， ，则， 两点间的 距离为( ) A A. B. C. D. 【解析】在中， ， 由正弦定理得 ． 47 2.(2025·四川省遂宁中学校开学考试)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为 了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 测得水柱顶端的仰角 为 ，沿点向北偏东 前进到达点，在点测得水柱顶端的仰角为 ， 则水柱的高度是( ) A A. B. C. D. 图D 11.3-1 【解析】依题意作图，如图D 11.3-1,设水柱的高度是 ，由 题意知，在中， ,易知.在 中， ，，， .根据余弦定 理，得 ，即 ，即，解得 ， 故水柱的高度是 . 48 图11.3-2 3.如图11.3-2所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物 的 视角为 ，向山顶前进100 米到达处，又测得建筑物 的视角 为 ，若米，山坡对于水平面的坡角为 ,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】在 中，由正弦定理可知， 米. 在中， 由题图,知 . 49 4.如图11.3-3,小明同学在山顶 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行 驶,小明在处测得公路上，两点的俯角分别为 , ,且 ,若山高 ,汽车从点到点历时,则该汽车的速度为_ _____ . 图11.3-3 【解析】由题意得,，在 中,由余弦 定理得 . 故该汽车的速度为 . 50 图11.3-4 5.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的 智慧与汗水.如图11.3-4所示，,, 为山脚两侧共线的三 点，在山顶处测得这三点的俯角分别为 , , ， 计划沿直线开通穿山隧道，现已测得,, 三条线 段的长度分别为,, . （1）求线段 的长度； 【答案】由已知可得， ， ， 在中，由正弦定理得 ， 即 ， 解得,故线段的长度为 . 51 （2）求隧道 的长度. 【答案】由已知可得 ， 在中， ， 所以 ． 52 高考模拟 05 建议时间：45分钟 图11.3-5 6.(2025·四川省成都市期末)如图11.3-5，为了测量两山顶, 间的距离，飞机沿水平方向在,两点进行测量，,,, 在 同一个铅垂平面内，在点测得在的南偏东 的方向 上，在的南偏东 的方向上，在点测得在 的南偏 西 的方向上，在的南偏东 的方向上，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. 54 图D 11.3-2 【解析】由题意作出如图D 11.3-2所示的示意图， , , , , ， 所以 , ， 所以 ， 在中， ， 在中，, , 在中， ，解 得 . 55 7.［多选题］如图11.3-6所示，为了测量某湖泊两侧， 的距离，某同学首先选定了 与，不共线的一点，然后给出四种测量方案的角，， 所对的边分别 记为,,.则下列方案中一定能确定, 间距离的是( ) ABC 图11.3-6 A.测量，， B.测量,, C.测量,, D.测量,, 56 【解析】对于A,在中，,所以 .由正弦定理得 ,所以 . 对于B，由余弦定理可得,所以 . 对于C，在中，,所以 ，由正弦定理得 ,所以 . 对于D，由余弦定理得,解得的可能有两个值，此时不能确定， 间的距离.故一定能确定，间距离的方案有 . 57 8.(2025·上海中学检测)作用在同一点的三个力，，平衡，已知 , ,与之间的夹角是 ，则与 之间的夹角的正弦值为_ ___． 【解析】由题意可知,应和,的合力平衡，所以和 在同一直线上，并且大小 相等，方向相反.如图D 11.3-3，设与之间的夹角为 ，由余弦定理得 ，再由正弦定理 得，即 . 图D 11.3-3 58 9.(2025·吉林省白城市第一中学期末)如图11.3-7所示，飞机的航线和山顶 在同一个 铅垂平面内，已知飞机的高度保持在海拔,飞行员先在处看到山顶的俯角为 ， 继续飞行后在点处看到山顶的俯角为 ，则山顶的海拔高度为 _ _______________________________（用,, , 表示）. （或） 图11.3-7 59 图D 11.3-4 【解析】如图D 11.3-4，在 中，由正弦定理得 , .过作垂直于的延长线于点，过 作 垂直于水平面于点，则在 中, , . （或 ,由 ，可知 , ） 60 图11.3-8 10.新考法 结构不良 某市规划修建公路自行车比赛赛道，该 赛道的平面示意图为如图11.3-8所示的五边形 ，运动 员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、 公共器材车或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车 轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补 给物品，例如食物、饮料、工具、配件等．所以项目设计需要预留出， 作为 赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），，，，， 为赛道， ，，， ． 61 （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道 的长度； ； . 【答案】在中，由正弦定理可得, , 又,,,所以 , 可得 . 若选①,因为在中，, , 所以 , 62 所以 . 在中， . 若选②，在中，由余弦定理可得,即 ， 解得或 （舍）, 所以服务通道的长度为 . 63 （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道最长（即 最 大），最长为多少？ 【答案】在中，由余弦定理可得, , 即 , 即 ,（基本不等式的运用） 可得,当且仅当 时取等号, 所以的最大值为 . 故折线段赛道最长（即最大）时，长为 . . . 64 11.(2025·北京师范大学第二附属中学检测)如图 11.3-9，游客从某旅游景区的景点 处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从 沿索道乘缆车 到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿 匀速步行， 速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从 匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为 ，经 测量,, . 图11.3-9 65 （1）求索道 的长； 【答案】在中，因为, , 所以, ， 从而 . 由正弦定理得 ， 所以索道的长为 . 66 （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】假设乙出发后，甲、乙两游客的距离为 ,此时，甲行走了 ,乙距离处，所以由余弦定理得 . 因为,即，所以当 时，甲、乙两游客距离最短.即乙出发 后，乙在缆车上与甲的距离最短. 67 （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在什么 范围内？ 【答案】由正弦定理 ， 得 . 乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达 . 设乙步行的速度为，由题意得 , 解得,所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过 ，乙步行 的速度应控制在,（单位： ）范围内. 68 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 69 $