1.4点到直线的距离（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

1.4点到直线的距离 第1章 坐标平面上的直线 沪教版2020选择性必修第一册·高二 学习目标 教学重点：掌握点到直线的距离公式推导及应用，能求解两平行线间的距离。 教学难点：距离公式的推导逻辑，含参数的点到直线距离计算，公式的灵活运用。 理解点到直线距离的概念，掌握公式推导思路； 熟练运用公式计算距离，解决平行线间距离问题； 体会转化思想，提升数形结合与运算能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：点到直线距离概念的提炼； 逻辑推理：距离公式推导的严谨性分析； 数学运算：距离公式计算及参数问题求解； 直观想象：点到直线距离的几何意义感知； 数学建模：实际情境中距离问题的模型构建。 新知引入 渔民们要将船推到海里，请同学们帮助设计一下：在理论上，怎样设计能使这条路最短？ 建模： 关键在于找点到直线的距离 新知探究 问题1：什么是点到直线的距离？ 直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.如图，点 到直线 的距离是 . 问题2：据此，你能求原点到直线的距离？ 新知探究 问题3：能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？ x y O Q P l 几何法 直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 点的坐标 直线的方程 点的坐标 点的坐标 点、之间的距离（到的距离） 过程较繁复 新知探究 问题3：已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 设，.由，以及直线的斜率为， 可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即. 解方程组 ① 得直线与的交点坐标， 即垂足的坐标为. 于是 新知探究 等面积法 问题3：能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？ x y O Q P l 求出点的坐标 求出点的坐标 求出 求出 利用勾股定理求出 等面积法求出 新知探究 问题3：已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 向量法 y M 求出直线与轴的交点的坐标 求出 求出直线的垂直向量 求出在上的投影 新知探究 因此，点到直线的距离 辨析1：判断正误. (1)点到与轴平行的直线的距离.（ ） (2)点到与轴平行的直线的距离.（ ） × √ 辨析2：原点到直线的距离为( ). .1 . . . 典例精讲 例1：根据下列条件，求点到直线的距离： （1），； （2）， 解：（1）由点到直线的距离公式，得 （2）将直线的方程化为，所以由点到直线的距离公式，得 练习巩固 练习1：已知的三个顶点分别是，，，求的面积. 解：如图，设边上的高为，则. . 边上的高就是点到直线的距离. 边所在直线的方程为，即. 点到直线的距离. 因此，. 练习巩固 变式1-1：(1)点到直线的距离为_____； (2)求过点，且与原点的距离等于的直线方程. 解：(1)由点到直线的距离公式知. (2)因为所求直线过点，且斜率存在，所以设直线方程为，即，又因为原点到直线的距离等于， 所以，解得或. 故直线方程为或. 练习巩固 变式1-2：求经过两直线与的交点，且和点的距离为的直线的方程. 解：由解得即直线过点. ①当与轴垂直时，方程为，点到的距离，满足题意. ②当与轴不垂直时，设斜率为，则方程为，即， 由点到的距离为，得，解得， 所以的方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 典例精讲 例2：求平行直线与之间的距离 解：两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一点到另一条直线的距离。 为方便计算，我们在直线上取一个特殊点， 点到直线的距离为 所以，直线与之间的距离为 新知探究 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 两条平行直线间的距离 点到直线的距离 转化 如图，对于两条平行线与：（ 不同时为零）,我们可以采取同样的方法求它们之间的距离。 新知探究 问题：你能推导两条平行直线与间的距离公式吗？ 在直线上任取一点， 点到直线的距离就是这两条平行线间的距离， 即.因为点在直线上， 所以，即， 因此. 典例精讲 例3：已知直线，直线与与平行，且与的距离为2.求直线的方程。 解：由题意，可设的方程为 (且). 直线与的一般式方程为 与 由两条平行直线之间的距离公式，得 练习巩固 练习2：(1)已知直线和平行，求它们之间的距离； (2)已知直线与两直线和的距离相等，求直线的方程. 解：(1)由题意，得∴，将直线化为， 由两平行线间距离公式，得. (2)设直线的方程为， 由题意，得.解得， ∴直线的方程为. 练习巩固 变式2-1：求与直线平行且与直线距离为的直线方程. 解：设与平行的直线方程为， 根据两平行直线间的距离公式得， 解得或. 所以所求直线方程为或. 练习巩固 变式2-2：（1）已知直线，，则直线关于直线的对称直线的方程为____________. （2）已知直线，，求直线关于直线的对称直线的方程为____________. 【答案】： 变式2-3：已知的两顶点在直线上,点C在直线上.若的面积为,则边的长为　　　    .  小结 因此，点到直线的距离 因此，两条平行直线间的距离 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $