专题11 高二上学期期末复习真题精选（选必一全册压轴60题12类题型专练）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题11 高二上学期期末复习真题精选（选必一全册压轴60题12类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量数量积最值（范围）问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 . 5．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 题型2 线面角、二面角的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 3．（24-25高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 4．（24-25高二上·辽宁·期末）如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. (1)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (2)设直线与平面所成角为，求的最大值. 5．（24-25高二上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 题型3 立体几何中的探索性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 3．（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在多面体中，四边形为正方形，四边形为梯形．，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得直线平面．（结论不要求证明） 4．（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 题型4 直线与方程的综合问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 ，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，直线 的倾斜角为 B．当 时， C．若 ，则 D．直线 的纵截距为 a 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 3．（24-25高二上·重庆·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 题型5 直线与圆中的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 5．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 题型6 直线与圆中的面积问题（共5小题） 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·海南·期末）已知直线恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（   ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 4．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 . 5．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 题型7 求椭圆、双曲线离心率的取值范围（共5小题） 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P、Q是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 题型8 圆锥曲线上的距离及最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 3．（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 题型9 圆锥曲线中的面积问题（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A． B． C．4 D．6 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，其中B，C两点在x轴上方.若，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知曲线，两条直线，均过坐标原点O，和C交于M，N两点，和C交于P，Q两点，若△OPN的面积为，则四边形PNOM的面积为 ． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长． (1)求椭圆的方程； (2)过原点的直线与相交于B，C两点，直线AB，AC分别与相交于P，Q两点．   ①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；   ②记和的面积分别是，，求的最小值． 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线上一动点到直线的最短距离为 . 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 题型11 圆锥曲线中的定点、定值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 题型12 圆锥曲线中的定直线问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 2．（24-25高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于（在第一象限）． ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 高二上学期期末复习真题精选（选必一全册压轴60题12类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量数量积最值（范围）问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【解答过程】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得，则可化为，进而可得答案. 【解答过程】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【解答过程】因为球是正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当点为正方体顶点时，有最大值，最大值为， 当点为内切球与正方体的切点时，有最小值，最小值为， 即， 即的取值范围为， 故选：A. 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据三棱柱性质确定出内切球的半径和球心位置，再利用极化恒等式结合向量数量积的运算律计算可求出结果. 【解答过程】由正三棱柱的底面边长为， 设底面三角形内切圆半径为 则 若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为底面内切圆的直径，即为， 设内切球球心为，如下图所示： 易知球心在正三棱柱的中心处，且半径为，即， 所以， 又点是该正三棱柱表面上的动点，最小值为内切球半径，最大值为， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【解答过程】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 题型2 线面角、二面角的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可． 【解答过程】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 2．（24-25高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 【答案】D 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由直线方向向量夹角余弦的范围即可判断；对于B，由线面角正弦值的公式即可判断；对于C，由两平面的法向量夹角余弦即可判断；对于D，由即可判断. 【解答过程】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设正方体棱长为1， ， 对于A，， 不妨设直线与所成角为， 所以， 当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减， 所以，所以，故A错误； 对于B，由题意，且显然平面的法向量为， 不妨设直线与平面所成角为， 则单调递增，， 所以，所以，故B错误； 对于C，， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以有和，令，解得， 即取平面与平面的法向量分别为， 二面角为锐角，不妨设为， 则， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，， 所以， 所以与不垂直，所以直线与平面不垂直. 故选：D. 3．（24-25高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【解答过程】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 4．（24-25高二上·辽宁·期末）如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. (1)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (2)设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦值的计算公式即可求解； （2）引入参数表示出，求出平面的法向量，进一步可将表示出的函数即可进一步求解. 【解答过程】（1）由题可知，，，两两垂直， 翻折前，因为经过的重心，且， 所以， 所以，，， 翻折后， 由勾股定理得， 以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， . 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 且 ， 因为直线与平面所成角为， 则 ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 5．（24-25高二上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用法向量方法，用表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求最大值. 【解答过程】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 因为过的平面分别与棱交于， 所以； （2）因为平面，平面，平面， 所以， 又因为， 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是； 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是， 所以， 因为，所以， 由二面角的大小为， 根据的方向判断可得， 所以，当时，的最大值为. 题型3 立体几何中的探索性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【解答过程】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的三等分点 【解题思路】（1）根据线面垂直的性质，得线线垂直，进而结合线面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【解答过程】（1）证明：连接，则四边形为平行四边形， 由于平面，故平面，平面, 故,结合为的中点，故为等腰三角形， 可得，，所以，即， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以，易知， 且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以， 又，所以平面. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，.    设，，所以， 又， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 因为，设直线与平面所成角为， 则， 整理得，即或， 所以，当点为线段的三等分点时， 直线与平面所成角的正弦值为. 3．（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在多面体中，四边形为正方形，四边形为梯形．，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得直线平面．（结论不要求证明） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【解题思路】（1）依题意可得、，即可得到⊥平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式得到线面角的正弦值； （3）设，得到，求出平面的法向量，由垂直关系得到方程，求出答案. 【解答过程】（1）因为，所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； （2）因为、， 又，故，，两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则，则， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则； （3）线段BD上存在点M，使得直线平面， 设，即， 当时，与重合，此时与平面不平行， 当时，设，则， 解得，故， 设平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，解得， 故线段BD上存在点M，使得直线平面，此时. 4．（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解题思路】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【解答过程】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. （2）设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（2）（ii） 【解题思路】（1）利用等腰梯形和菱形性质得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）（i）建立平面直角坐标系，建立以为坐标原点，，为轴、轴、轴的坐标系，空间向量法求出二面角的正弦值；（ii）设，根据点到平面距离求出参数，再计算线面角的正弦值. 【解答过程】（1）连接交于，在等腰梯形，，，易得，    因为是中点，所以，易知是菱形，即， 因为，平面， 所以平面，平面，所以 （2）由（1）可知，在菱形中，，因为，所以， 建立以为坐标原点，，为轴、轴、轴的坐标系，如图所示， ，，，    （i），，，，， 设为平面的法向量，则，令，可得，即 设为平面的法向量，则，令，可得，即， ，二面角的平面角为，即 （ii）设，，，即 由（i）可知为平面的法向量，到平面的距离为， 即为中点，可得， 易知，，所以，， 设平面的法向量， 令，则，，则， 设直线与平面所成角为，， 直线与平面所成角的正弦值. 题型4 直线与方程的综合问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 ，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，直线 的倾斜角为 B．当 时， C．若 ，则 D．直线 的纵截距为 a 【答案】D 【解题思路】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D． 【解答过程】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，直线 的纵截距为，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【解题思路】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【解答过程】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【解答过程】由题意易得AB所在的直线方程为：， 化简可得：. 设点关于直线的对称点， 则，解得，， 点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为． 直线MN即直线，则直线MN的方程为，即． 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【解题思路】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【解答过程】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【解题思路】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【解答过程】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 题型5 直线与圆中的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离. 【解答过程】设，又，得， 即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以P在圆外， 所以点到直线的距离的最大值为， 故选：C. 2．（24-25高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故，    故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 3．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【解答过程】的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得⊥，⊥，且与全等， 则四边形的面积为， 可得⊥， 四边形的面积为， 故，其中， 故， 要想最小，只需最小， 显然当⊥直线时，最小，最小值为， 此时. 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【解答过程】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将圆的方程化为标准方程，分析可知，直线过圆心，求出的值，即可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得弦的长； （3）求出点到直线的距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】（1）圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. （3）圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 题型6 直线与圆中的面积问题（共5小题） 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得，， 所以的面积为. 故选：B. 2．（24-25高二上·海南·期末）已知直线恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】首先求出直线过定点的坐标，再求出圆心坐标与半径，求出及直线的方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线距离的最大值，从而得解. 【解答过程】由，整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径，    如图，，直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 所以面积的最大值为. 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（   ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 【答案】B 【解题思路】根据相切的性质以及面积公式可得，即可根据点到直线的距离公式求解. 【解答过程】由题意得圆C：的圆心为，半径为3．， 根据题意可得四边形的面积为，则， 因为，故的最小值为， 所以点到直线的距离为，解得或． 故选：B. 4．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 . 【答案】 【解题思路】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解. 【解答过程】的圆心为半径为， 故圆心到直线的距离为， 弦长， 故， 故答案为：. 5．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先判断直线与圆相离，然后利用对称性得四边形面积为，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【解答过程】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由 .所以四边形面积的最小值为. 题型7 求椭圆、双曲线离心率的取值范围（共5小题） 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【解答过程】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由 ，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 2．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合和离心率的定义即可求解. 【解答过程】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B. 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设椭圆与双曲线的离心率分别为、，利用圆锥曲线的定义与余弦定理建立、、的关系式，进而推导出，结合，利用不等式的性质算出的取值范围． 【解答过程】设椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2n，它们的焦距为2c，且 设点P在第一象限，则根据椭圆与双曲线的定义，可得，解得 在中，，由余弦定理得， 即，整理得 两边都除以c，可得，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 则可得，整理得， 因为，所以，可得， 所以，可得，可得 故选： 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，， 所以的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P、Q是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 【答案】1 【解题思路】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用椭圆与双曲线的性质、余弦定理得，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值. 【解答过程】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 部分设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，即， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1． 故答案为：1. 题型8 圆锥曲线上的距离及最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【解答过程】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B. 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解题思路】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【解答过程】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【解答过程】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义、余弦定理得，再应用基本不等式求最值. 【解答过程】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A. 5．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【解答过程】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 题型9 圆锥曲线中的面积问题（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】设的中点为，确定为等边三角形即可求解； 【解答过程】设的中点为， 则， 于是， 又，则为正三角形，即． 故选：A． 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，将代入, 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，其中B，C两点在x轴上方.若，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线CD的方程为，将该直线CD的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、关于的表达式，利用基本不等式求出答案. 【解答过程】设直线CD的方程为，设点、， 联立，可得，所以， 所以， 同理可得， 所以，四边形的面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形面积的最小值为， 故选：D. 4．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知曲线，两条直线，均过坐标原点O，和C交于M，N两点，和C交于P，Q两点，若△OPN的面积为，则四边形PNOM的面积为 ． 【答案】 【解题思路】根据双曲线及直线的对称性结合面积公式即可求解. 【解答过程】因为曲线C为，关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，M，N两点关于原点对称， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长． (1)求椭圆的方程； (2)过原点的直线与相交于B，C两点，直线AB，AC分别与相交于P，Q两点．   ①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；   ②记和的面积分别是，，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【解题思路】（1）由的关系以及，即可求解. （2）①由题意设方程为.联立抛物线方程，结合韦达定理以及斜率公式即可得证. ②由三角形面积公式只需分别求出，分别联立直线方程与抛物线、椭圆方程，结合弦长公式以及同理思想即可求解，进一步由基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）已知抛物线：中，令，解得，所以， 因为椭圆上的点到距离的最小值为， 则，所以，从而， ∴椭圆的方程为：. （2）①直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，，则，，， 由已知，所以的斜率分别为， ，故， 所以直线与直线的斜率之积为定值； ②设直线AB：，显然，由，解得：或， ∴，则， 由①知，直线：，则， 由，得，解得或， ，则， 由①知，直线：，， 则 ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】设点，可得，结合两点间距离公式计算即可得解. 【解答过程】设，则，可得，其中， 所以， 当时，取得最小值，. 故选：A. 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，连接AF、BF，由抛物线定义得，由勾股定理可得|AB|2，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取值范围． 【解答过程】设，点在准线上的射影分别为，线段的中点在上的射影为 则，，， 由，即，得， 而，即，当且仅当时取等号， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【解答过程】椭圆的焦点，，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，，同理， 因此 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线上一动点到直线的最短距离为 . 【答案】 【解题思路】设点，则过点的切线斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，结合条件可求，结合点到直线距离公式求结论. 【解答过程】设抛物线上动点， 由题意可得，当点到直线的距离最小时， 点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线， 设直线与抛物线相切，则的， 解得，则有，，即 ， 所以点到直线的最小距离 . 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. （3）设直线的方程为，联立化简可得，由条件化简可得，，结合双曲线的范围可得结论. 【解答过程】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2） 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. （3）不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 题型11 圆锥曲线中的定点、定值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出的方程，，的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得，的表达式，进而根据推断出，求得，即可求出结果. 【解答过程】设直线的方程为代入抛物线，消去得， 设，，则，，， 所以 ， 所以，故直线过定点. 故选：B. 2．（24-25高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【解答过程】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立得， 可得，则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入为验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值． 【解答过程】（1）由题意知，设直线的方程为， 由  得：，所以 所以，所以，故抛物线的方程为； （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则： 所以： ，即 所以： . 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【解答过程】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用椭圆离心率及焦点三角形面积列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算得证. （3）直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况即可推理得证. 【解答过程】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率为，得， 由的最大值为，得，而，解得，，， 所以曲线的方程为. （2）由（1）得，依题意，直线不垂直于轴，设，， 由消去得，则，， 则 ， 所以为定值； （3）    设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为，由直线不过点，得， 由消去得， ，且，，， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得，此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点使得为定值． 题型12 圆锥曲线中的定直线问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，代入点的坐标可得，求解可得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，设直线的斜率分别为，计算可得恒成立，进而可得结论. 【解答过程】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以.即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 2．（24-25高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【解题思路】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于（在第一象限）． ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）根据条件可得，即可求解； （2）①设，利用导数的几何意义，求得两切线方程为，，进而可得到直线的方程为，再结合条件，即可求解；②利用①中结果，可得直线，直线，联立抛物线方程，利用韦达定理得到，间的关系，再结合条件，得到，再联立方程，即可求解. 【解答过程】（1）由题知抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即，得到， 故抛物线的标准方程为. （2）①设，由，得到，所以， 得到，即，同理，， 又点在线上，所以，故直线的方程为，即， 因为，所以，又，所以，得到， 所以点在定直线上.    ②，由①有直线，过点，直线， 联立，消得到，所以， 又由，消得到，所以， 又因为， 因为在第一象限，所以， 又，且，，得到，两式相乘可得， 又，所以，得到， 所以，即， 由 ，解得或， 当时，，当时，， 又，所以，得到. 4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【解答过程】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解； ②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $