专题10 高二上学期期末复习真题精选（选必一全册常考110题22类题型专练）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题10 高二上学期期末复习真题精选（选必一全册常考110题22类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量及其线性运算（共5小题） 1．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足 ，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 . 题型2 空间向量数量积及其应用（共5小题） 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 5．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 题型3 空间向量基本定理（共5小题） 1．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 5．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 题型4 空间向量及其运算的坐标表示（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 2．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 4．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 5．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 题型5 空间位置关系的向量判断（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，若，则 . 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 题型6 空间角的向量求法（共5小题） 1．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱台中，，分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)若平面，为等腰直角三角形，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 题型7 空间距离的向量求法（共5小题） 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 5．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 题型8 直线的倾斜角与斜率（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 题型9 直线的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 5．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 题型10 两条直线平行、垂直的判定（共5小题） 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 3．（24-25高二上·河南信阳·期末）“”是“直线与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 题型11 直线的交点问题（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 题型12 距离公式及其应用（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A． B． C．12 D．14 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知直线：与：平行，且过点，则与间的距离为 . 5．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 题型13 圆的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 5．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 题型14 直线与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 4．（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 题型15 圆的切线与弦长问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程． 题型16 圆与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 5．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 题型17 椭圆的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 题型18 双曲线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·河北保定·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆锥曲线的离心率为2，则 . 5．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 题型19 抛物线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 5．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 题型20 椭圆、双曲线的离心率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ． 5．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 . 题型21 直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 5．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 题型22 圆锥曲线的弦长与中点弦问题（共5小题） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 4．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 高二上学期期末复习真题精选（选必一全册常考110题22类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量及其线性运算（共5小题） 1．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的运算法则求解即可. 【解答过程】如图所示： . 故选：C. 2．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解题思路】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【解答过程】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足 ，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【解答过程】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的线性运算计算即可. 【解答过程】由题意 ， 所以，解得， 故选：B. 5．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【解题思路】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【解答过程】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 题型2 空间向量数量积及其应用（共5小题） 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【解答过程】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【解答过程】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解. 【解答过程】因为， 所以， 故选：A. 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 【答案】 【解题思路】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可. 【解答过程】由题意可得 . 故答案为：. 5．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 题型3 空间向量基本定理（共5小题） 1．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【解答过程】由， 得， 所以， 故选：C． 2．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【解答过程】, 故选：C. 3．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【解答过程】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【解答过程】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 【答案】 【解题思路】根据给定的基底，利用空间向量线性运算求解即得. 【解答过程】在空间四边形OABC中，，且， 所以 . 故答案为：. 题型4 空间向量及其运算的坐标表示（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【解答过程】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【解答过程】由空间向量，，共面，得，即， 则，解得. 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【解答过程】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 4．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 【答案】 【解题思路】由空间向量垂直向量的坐标表示求解即可. 【解答过程】，，且满足， 则，解得：. 故答案为：. 5．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【解答过程】（1）由，得 （2）由（1）得，而量 ，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 题型5 空间位置关系的向量判断（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据即可计算. 【解答过程】由题意可得，，得. 故选：C. 2．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【解答过程】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 3．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断. 【解答过程】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，若，则 . 【答案】16 【解题思路】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【解答过程】，因为，所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【解答过程】（1）， 可得 所以； （2），，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 题型6 空间角的向量求法（共5小题） 1．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【解答过程】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解答过程】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【解答过程】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则 , 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱台中，，分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)若平面，为等腰直角三角形，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 【答案】(1)证明过程见详解； (2). 【解题思路】（1）根据三棱台的性质，先证面面平行，再证线面平行即可； （2）根据条件建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再求两平面所成二面角的大小. 【解答过程】（1）在三棱台中，，，所以， 因为为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为平面，为等腰直角三角形，， 故以为原点，以为轴，以为轴，过点作垂直于的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，平面与平面所成的锐二面角为， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即，解得， ，即，解得， 所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为 ， 又，所以平面与平面所成的锐二面角为. 题型7 空间距离的向量求法（共5小题） 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【解答过程】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【解答过程】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论. 【解答过程】因为，，， 所以，， 所以在向量上的投影向量的长为， 所以点到直线的距离是. 故选：C. 4．（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 【答案】 【解题思路】先求出平面的法向量为，再利用点到面的距离公式即可求得结果. 【解答过程】因为，，，所以, 设平面的法向量为，则, 令，则，所以，由， 利用点到面的距离公式 故答案为: . 5．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【解答过程】（1）由底面，， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 因为，可得，且平面， 所以平面 （2）因为， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 题型8 直线的倾斜角与斜率（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方向向量求斜率，再求倾斜角. 【解答过程】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为． 故选：D. 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【解答过程】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【解答过程】依题意，得，解得， 故选：C． 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【解题思路】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【解答过程】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【解题思路】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 【解答过程】由题意：， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为：. 题型9 直线的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线方程的截距式即可求解. 【解答过程】设直线方程为， 由题意， 即直线方程为：， 故选：A. 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【解答过程】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【解答过程】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B. 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【解题思路】利用分类讨论思想，分截距为与不为两种情况，设出直线方程，代入点求得参数，可得答案. 【解答过程】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 5．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）根据直线的平行关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得； （2）根据直线的垂直关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得. 【解答过程】（1）已知直线的斜率是， 因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是， 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即； （2）由两点式，可得， 边上高所在直线方程的斜率， 的高所在直线的直线方程，即. 题型10 两条直线平行、垂直的判定（共5小题） 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，解得或（方程不为直线，舍去）. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【解题思路】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【解答过程】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 3．（24-25高二上·河南信阳·期末）“”是“直线与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】分析可得两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义可确定选项. 【解答过程】∵对于任意，恒成立， ∴直线与垂直恒成立， ∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【解答过程】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2. 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)0或2 (2) 【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证. 【解答过程】（1）若，则 ，解得或2； （2）若，则 ，解得或1. 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以. 题型11 直线的交点问题（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两个方程的联立，加减消元法计算即可. 【解答过程】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【解答过程】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【解题思路】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【解答过程】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【解答过程】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 题型12 距离公式及其应用（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【解题思路】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，则得到答案. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【解答过程】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【解答过程】由题点到直线的距离为. 故选：D. 4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知直线：与：平行，且过点，则与间的距离为 . 【答案】 【解题思路】由直线列方程，可求，再结合直线过点列方程求，再结合平行直线距离公式求结论. 【解答过程】因为直线：与：平行， 所以， 所以，， 因为过点， 所以， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以与间的距离. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可写出直线的点斜式方程，再化为一般方程即可； （2）将直线的方程变形，求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 题型13 圆的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 【答案】B 【解题思路】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【解答过程】， 故圆心为，半径为1. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解 【解答过程】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故选：C. 4．（24-25高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【解答过程】解：设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆C的标准方程为 故答案为：. 5．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【解答过程】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 题型14 直线与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B . 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【解答过程】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【解题思路】根据圆心在直线上，判断得解. 【解答过程】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 4．（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可 【解答过程】直线过定点 ， 曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得， 结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】(1)相交 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； （2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆， 圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； （2）圆心到直线的距离， 又， 所以，解得    题型15 圆的切线与弦长问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【解答过程】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【解题思路】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【解答过程】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【解答过程】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【解题思路】（1）根据圆心半径求圆的标准方程； （2）根据点到直线的距离以及勾股定理求解弦长； （3）分类讨论然后结合圆心到直线的距离为半径求解； 【解答过程】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为； （2）由（1）可知：圆的半径， 设圆心 到的距离为，则， 所以. （3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即， =2，解得 ，所以. 综上所述：切线的方程为和． 题型16 圆与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解题思路】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【解答过程】由题可得：,,,,所以， 则，则这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【解题思路】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【解答过程】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【解题思路】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【解答过程】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 5．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)2条，有， 【解题思路】（1）求出的中点坐标、可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程． 【解答过程】（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为． 题型17 椭圆的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【解答过程】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 故选：B. 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【解答过程】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【解题思路】根据条件得到，再由，即可求解. 【解答过程】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍， 则，即，所以， 故答案为：. 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 题型18 双曲线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·河北保定·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程. 【解答过程】已知离心率，由离心率公式可得（这是因为，两边同时除以得到，再开方就得到）. 所以，平方可移项得到. 可得. 对于双曲线（，），其渐近线方程为. 已经求得，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解答过程】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆锥曲线的离心率为2，则 . 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，确定圆锥曲线类型，进而列式求出参数. 【解答过程】由圆锥曲线的离心率为2，得该曲线为双曲线，则， 解得，方程为，因此离心率， 所以. 故答案为：2. 5．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 题型19 抛物线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【解答过程】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D. 2．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【解答过程】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 3．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【解题思路】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【解答过程】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案为：2. 5．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 题型20 椭圆、双曲线的离心率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率. 【解答过程】 因为，又因为，所以， 因为，则，， 在中，， 所以， 所以， 所以，所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断双曲线的焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【解答过程】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【解答过程】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 4．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】设，根据题设有，，从而有，再结合，可得到，即可求解. 【解答过程】设，，又，， 则，， 所以，又，代入，整理得到， 所以，的离心率为， 故答案为：. 5．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【解题思路】写出焦点坐标，从而知道点坐标，由线段关系，借助向量得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后通过解方程求得离心率. 【解答过程】，， 在等边中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以 故答案为：. 题型21 直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【解答过程】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A. 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【解题思路】由题意将直线与椭圆方程联立，令，求出的范围即可得解. 【解答过程】由题意联立直线与椭圆方程有，即， 消去化简并整理得，， 由题意若直线与椭圆有两个公共点， 则当且仅当，解得或. 故答案为：3（答案不唯一）. 5．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据题设求出基本量后可得椭圆的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用判别式为正可求参数的范围； （3）结合（2）中结果可求两点坐标. 【解答过程】（1）由题意得， 又，所以，所以的方程为． （2）过点且斜率为的直线的方程为， 联立与，得， ，解得或， 故斜率的取值范围是． （3）时，， 联立得，， 解得或， 当时，，当时，， 故或． 题型22 圆锥曲线的弦长与中点弦问题（共5小题） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据通径长的计算公式直接求解. 【解答过程】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 3．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 4．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【解题思路】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【解答过程】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据焦点坐标以及渐近线方程计算可得结果； （2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，再由点到直线距离公式计算得出三角形面积表达式，解方程即可. 【解答过程】（1）由焦点坐标可得，再由渐近线方程可得； 又，可得； 所以双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 依题意直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为，设； 联立可得， 显然，且，解得； 则， 可得， 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或0（舍），即， 所以直线的方程为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $