微专题03 整式乘法的综合题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题03 整式乘法的综合题型 题型一 整式乘法与求字母的值 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 2．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 3．计算（3a+m）（﹣6a+2）的结果是﹣18a2+2m，则m的值是（　　） A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝﹣1 D．m＝1 【答案】D． 【分析】计算多项式乘多项式，根据结果相等，得m的值． 【详解】解：由题意得（3a+m）（﹣6a+2）＝﹣18a2+6a﹣6am+2m， ∴﹣18a2+6a﹣6am+2m＝﹣18a2+2m， ∴m＝1． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 4．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 题型二 整式乘法与看错问题 “整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所求的式子即可，有时要对式子进行变形． 1．某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是____． 【答案】 【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以即可解答． 【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1， 正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=． 故答案为． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键． 2．小奇计算一道整式的混合运算的题：，由于小奇将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的结果，将所得的结果等于即可； （2）按照整式的混合运算法则进行计算即可； 【详解】（1）根据题意得：， 所以．   解得． （2）正确的算式为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练地掌握多项式乘以多项式以及合并同类项的法则是解题的关键． 3．小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式A是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意， ∴； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 5．小轩在计算一道整式乘法的题：时，由于将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求m的值； (2)求这道整式乘法题的正确结果； (3)做完这道题，我受到的启示是______． 【答案】(1) (2) (3)差之毫厘，失之千里，做数学题时一定要认真细致（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式； （1）根据多项式乘多项式得出，求出即可； （2）把代入求出结果即可； （3）根据解析（1）和（2）得出答案． 解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 【详解】（1）解： ， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴原式 ； （3）解：差之毫厘，失之千里，做数学题时一定要认真细致（答案不唯一，合理即可）． 6．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法． （1）根据题意可知，，分别计算，，得到，，相减求出，进而可求出； （2）由（1）知，，即，计算即可． 【详解】（1）解：∵小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为， ∴ ， 即， ∴①，， ∵小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为， ∴ ， 即， ∴②，即， ，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ ． 题型三 整式乘法与遮挡问题 整式乘法与遮挡问题主要是利用整式的运算求多项式中的未知项． 1．小明计算一道题：，（…）的地方被钢笔水弄污了，你认为（…）内应填写（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：. ∴（…）内应填写1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 2．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边 右边， ∴内应填， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 3．在数学课上，小明计算时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________． 【答案】2 【分析】设被染黑的常数为a，利用乘法公式展开，根据一次项系数为0即可求出a的值． 【详解】解：设被染黑的常数为a， 则， ∵结果中不含有一次项， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，本题也可以通过平方差公式快速求解． 4．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题　　，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写__． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 横线上应填写， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 5．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题，其中的地方被墨水污染了，处应填写______． 【答案】 【分析】根据多项式乘以单项式计算出，即可求解． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘以单项式，解题的关键是根据计算法则，正确求解． 6．某天数学课上，老师讲了整式的加减．放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课堂上讲的内容，他突然发现一道题： （﹣x2+3yxy2）﹣（x2+■xyy2）x2﹣xy+■y2，其中两处横线地方的数字被钢笔水弄污了，那么这两处地方的数字之积应是　 　． 【答案】8． 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设两处被钢笔水弄污的数字分别为a、b， ∴（﹣x2+3yxy2）﹣（x2+axyy2）x2﹣xy+by2， ∴﹣x2+3yxy2x2﹣axyy2x2﹣xy+by2， ∴x2+（3﹣a）xy+2y2x2﹣xy+by2， ∴3﹣a＝﹣1，2＝b， ∴a＝4，b＝2， ∴这两处地方的数字之积应是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于中等题型． 题型四 整式乘法与不含某项问题 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为 0. 1．要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， 原多项式中不含有x的四次项， ， ， 故选：A． 2．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【详解】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 3．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 4．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）根据整式的运算法则进行化简后即可求出答案； （2）将m与n代入进行计算即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含项和常数项， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ． 6．若的积中不含有x与项． (1)直接写出m、n的值，即______ _____ (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． （1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x与项可以求解的值． （2）将m、n的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： ∵原式不含有x与项， ∴， 解得 故答案为：； （2）解：将代入得， ． 题型五 整式乘法与新定义运算问题 先根据新定义运算，列出算式，利用整式乘法运算的法则进行计算即可解决问题 1．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则的结果为(   ) A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【答案】B 【详解】解：根据题意得：原式=9mn×（8m+5n）=72m2n+45mn2． 故选B． 2．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 3．定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为________________； (2)若的代数式中不含的一次项，当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算、方程求解，以及整式的化简求值，理解新定义，掌握乘法公式是解题的关键； （1）根据新定义得出，结合题意得出方程，解方程，即可求解． （2）根据新定义计算的代数式进而令一次项系数为，得出，再计算，进而将代入即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， ， ∵， ∴， ； （2） ， 代数式中不含的一次项， ， 解得， ， ， 把代入， ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是先根据二阶行列式的定义将所求行列式转化为整式的减法运算，再利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开并化简，最后代入的值计算． 【详解】解：根据二阶行列式的定义， ， 当时，原式． 5．对于任何数，我们规定：＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2． (1)按照这个规定，请你化简； (2)按照这个规定，请你计算：当时，求的值． 【答案】(1)-36 (2)-4 【分析】（1）根据所给例题列出算式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据所给例题列出代数式，然后根据整式的乘法进行计算化简，再代入求值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：＝﹣5×4﹣2×8＝﹣36； （2）解：由题意得： ＝（a+2）（a﹣3）﹣3（a﹣1） ＝﹣3a+2a﹣6﹣3a+3＝﹣4a﹣3， ∵﹣4a+1＝0， ∴﹣4a＝﹣1， ∴原式＝﹣1﹣3＝﹣4． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的乘法运算，理解新定义是解题的关键． 6．定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 题型六 整式乘法与规律探究问题 整式乘法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 2．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 3．探究应用 计算： 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式 （请用含、的字母表示）． 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A、     B、 C、    D、 直接用公式计算： 【答案】；； ； C； ；，． 【分析】本题主要考查了整式的乘法，解决本题的关键是根据多项式乘以多项式的法则计算，根据计算结果得到公式，再按照公式进行计算． 根据多项式乘以多项式的法则计算即可； 根据中的计算结果总结出公式即可； 根据中的公式，把各选项整理，根据多项式的形式判断是否能用公式计算； 根据中总结的公式进行计算即可． 【详解】解： ； ； 解：由中的整式乘法计算结果，可以得到一个新的乘法公式； 解：A选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； B选项： 与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； C选项：与乘法公式符合  ，能用乘法公式计算； D选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； 故选：C； 解： ， 故答案为：； 解： ； 故答案为：，． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． 观察上图中的规律， (1)填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据前4个算式的特征写出的展开式即可； （2）令，利用，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，每一行的第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，……， 以此类推可知， ∴“★”表示的数是6； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5 (5)10； 【分析】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． （1）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （2）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （3）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （4）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴所得多项式的一次项系数为7， 故答案为：7； （2）解：， ∴所得多项式的一次项系数为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 所以， 故答案为：； （4）解：∵ ， ∴一次项系数为： 故答案为：5； （5）解：∵ ∴一次项系数为：， 二次项系数为：， 故答案为：10；． 题型七 整式乘法与几何表示问题 验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表示图形的面积，再整理验证. 1．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 2．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 3．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到 4个代数恒等式，其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，求出相关四边形的面积即可． 【详解】如图可知四边形ABDC的面积是，故选项A错误； 如图可知四边形ABFE的面积是，故选项B错误； 如图可知四边形AIKG的面积是，故选项C错误； 如图可知四边形ABHG的面积是，故选项D正确； 故选：D 【点睛】考核知识点：整式的乘法．根据整式乘法求出四边形面积是关键． 4．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积，图2中，阴影部分的长为，宽为，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积， 图2中，阴影部分的长为，宽为， ∴图2中阴影部分的面积， ∴， 故选：D． 5．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 6．现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 题型八 整式乘法与实际应用问题 整式的乘法在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可. 1．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，为美化小区，给居民营造良好的宜居环境，某物业公司准备在如图所示的长方形的场地上，修建两条宽为的长方形甬道，剩下的其它四个区域种植花草绿化，若，，则种植花草的四个区域面积总和为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会利用平移的知识得到剩余的四块草坪组成了一个矩形，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型．将两条通道分别向上向左平移，则剩余的四块草坪组成了一个矩形：矩形的长是，矩形的宽是，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】由题意，可得修建后剩余草坪的面积是： 故答案为：． 3．为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 4．（25-26七年级上·重庆·期末）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【答案】(1) (2)该几何体的表面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式乘法的应用，整式加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式列出代数式即可； （2）根据长方体的表面积公式列式化简，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：该几何体的体积为； （2）解： ∵， ∴． 答：该几何体的表面积为． 5．为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【分析】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 6．近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 【答案】(1)； (2)660000． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及整式的运算，熟练掌握用割补法求不规则图形的面积和代数式的运算是解题的关键． （1）用大矩形的面积减去凹进去的小矩形的面积，即可表示出广场的面积． （2）将、的值代入（1）中得到的面积表达式，求出广场的面积，再乘以每平方米的费用，即可得到总费用． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：当米，米时， 平方米， 总费用(元) 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 整式乘法的综合题型 题型一 整式乘法与求字母的值 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．计算（3a+m）（﹣6a+2）的结果是﹣18a2+2m，则m的值是（　　） A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝﹣1 D．m＝1 4．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 题型二 整式乘法与看错问题 “整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所求的式子即可，有时要对式子进行变形． 1．某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是____． 2．小奇计算一道整式的混合运算的题：，由于小奇将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 3．小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式A是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 5．小轩在计算一道整式乘法的题：时，由于将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求m的值； (2)求这道整式乘法题的正确结果； (3)做完这道题，我受到的启示是______． 6．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 题型三 整式乘法与遮挡问题 整式乘法与遮挡问题主要是利用整式的运算求多项式中的未知项． 1．小明计算一道题：，（…）的地方被钢笔水弄污了，你认为（…）内应填写（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（  ） A． B． C． D．1 3．在数学课上，小明计算时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________． 4．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题　　，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写__． 5．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题，其中的地方被墨水污染了，处应填写______． 6．某天数学课上，老师讲了整式的加减．放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课堂上讲的内容，他突然发现一道题： （﹣x2+3yxy2）﹣（x2+■xyy2）x2﹣xy+■y2，其中两处横线地方的数字被钢笔水弄污了，那么这两处地方的数字之积应是　 　． 题型四 整式乘法与不含某项问题 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为 0. 1．要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 3．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 4．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 6．若的积中不含有x与项． (1)直接写出m、n的值，即______ _____ (2)求代数式的值． 题型五 整式乘法与新定义运算问题 先根据新定义运算，列出算式，利用整式乘法运算的法则进行计算即可解决问题 1．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则的结果为(   ) A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 2．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为________________； (2)若的代数式中不含的一次项，当时，求的值； 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 5．对于任何数，我们规定：＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2． (1)按照这个规定，请你化简； (2)按照这个规定，请你计算：当时，求的值． 6．定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 题型六 整式乘法与规律探究问题 整式乘法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 2．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 3．探究应用 计算： 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式 （请用含、的字母表示）． 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A、     B、 C、    D、 直接用公式计算： 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． 观察上图中的规律， (1)填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 题型七 整式乘法与几何表示问题 验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表示图形的面积，再整理验证. 1．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 2．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 3．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到 4个代数恒等式，其中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 5．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 6．现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 题型八 整式乘法与实际应用问题 整式的乘法在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可. 1．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，为美化小区，给居民营造良好的宜居环境，某物业公司准备在如图所示的长方形的场地上，修建两条宽为的长方形甬道，剩下的其它四个区域种植花草绿化，若，，则种植花草的四个区域面积总和为_____．（用含的式子表示） 3．为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 4．（25-26七年级上·重庆·期末）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 5．为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 6．近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $