第二十七章 相似 单元测试卷2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章《相似》单元测试卷 （满分：120分　　时间：120分钟） 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正六边形 D. 两个平行四边形 2. 若△ABC ∽ △DEF，且相似比为3:2，则下列说法错误的是（　　） A. 对应角相等 B. 对应高之比为3:2 C. 面积之比为9:4 D. 周长之比为2:3 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD = 2，DB = 3，AE = 4，则EC的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A′B′C′。若点A的坐标为(−4, 6)，则其对应点A′的坐标是（　　） A. (−2, 3) B. (2, −3) C. (−8, 12) D. (2, 3) 5. 一个矩形的长为6 cm，宽为4 cm。若另一个与它相似的矩形面积为54 cm²，则该矩形的长为（　　） A. 9 cm B. 8 cm C. 7.5 cm D. 12 cm 6. 如图，某地修建一座高BC=10m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为，则斜坡AB的长度为（　　） A. 20 m B. 20 m C. 10 m D. 10 m 第3题图 第6题图 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知线段a = 3 cm，b = 12 cm，则它们的比例中项为________cm。 8. 若两个相似多边形的面积比为16:25，则它们的相似比为________。 9. 如图，在△ABC中，AB = 9，AC = 6，点D在AB上，AD = 3，点E在AC上。若要使△ADE ∽ △ABC，则AE = ________。 10. 小明身高1.6米，站在路灯下，影子长2米。若此时他向远离路灯方向走3米，影子变为3米，则路灯高度为________米。 11. 如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为位似中心，将正方形ABCD放大为原来的2倍，得到正方形AB′C′D′，则点C′的坐标为________。 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点P在AB上，AP = 5。过点P作直线交AC或BC于点Q，使得△APQ ∽ △ABC，则PQ的长为________。 第9题图 第11题图 第12题图 三、解答题（本大题共8小题，第题每题6分，第题每题8分，共54分） 13. （1）已知 （ ），求 的值。 　 　 （2）若两个相似三角形的最长边分别为25 cm和15 cm，且它们的周长之和为80 cm，求较大三角形的周长。 14. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD = 4，DB = 6，，求四边形DBCE的面积。 15. 判断下列两个矩形是否相似，并说明理由： 　　 甲 　　乙 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1, 2)，B(3, 1)，C(2, 4)。以原点O为位似中心，在第一象限作△A′B′C′，使其与△ABC位似，且相似比为2。写出A′、B′、C′的坐标，并求△A′B′C′的面积。 17. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 2，BC = 6，对角线AC、BD交于点O。求AO:OC的值，并说明理由。 18. 如图，在△ABC中，AB = 10，AC = 8，点D在AB上，AD = 4，点E在AC上。 　　 （1）当AE为何值时，△ADE ∽ △ABC？ 　　 （2）在（1）的条件下，若，求。 19. 某同学想利用镜子反射原理测量旗杆高度。他在地面上放置一面平面镜，站在距镜子2米处刚好看到旗杆顶端在镜中的像。已知他的眼睛离地面1.5米，镜子到旗杆底部的距离为10米。求旗杆的高度。 20. 如图，将一个矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕EF交AB于E，交BC于F。已知AB = 6，BC = 8，AG = 2。 　　 （1）求BE的长； 　　 （2）判断折叠后的图形是否与原矩形相似，并说明理由。 四、综合应用题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21. 如图，在△ABC中，AB = AC = 10，BC = 12，点D从B出发沿BC以1单位/秒的速度向C运动，点E从C出发沿CA以1单位/秒的速度向A运动，设运动时间为t秒（0 < t < 10）。 　　 （1）当t为何值时，△BDE ∽ △CBA？ 　 　 （2）是否存在t，使得DE∥AB？若存在，求出t；若不存在，请说明理由。 22.在等腰中，，，点是的中点。点在上，以点为中心，将线段 逆时针旋转得到线段，连接 、。 （1）求证：，并证明 . （2）过点作的垂线，交 于点 。求证：。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. C 解析：正多边形只要边数相同就一定相似，因为所有内角都相等，且所有边都相等，所以对应边成比例。正六边形都是正六边形，故一定相似。而等腰三角形、菱形、平行四边形的角度可以不同，因此不一定相似。 2. D 解析：相似三角形的周长比等于相似比。题目中相似比为3:2，所以周长比也应为3:2，而不是2:3。选项D的说法错误。 3. B 解析：因为DE∥BC，所以△ADE ∽ △ABC。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即： 代入已知数据：AD=2，DB=3，所以AB=AD+DB=5；AE=4。 解得：2(4 + EC) = 20 ⇒ 8 + 2EC = 20 ⇒ EC = 6。 4. A 解析：以原点为位似中心，将图形缩小为原来的 ，意味着每个点的坐标都乘以 。点A(-4, 6)的对应点A'的坐标为： 5. A 解析：原矩形的面积为6×4=24 cm²。新矩形的面积为54 cm²，所以面积比为54:24=9:4。因为面积比等于相似比的平方，所以相似比为 。因此，新矩形的长为6×=9 cm。 6. A 二、填空题 7. 6 解析：设比例中项为x，则根据比例中项的定义，有 。解得x=6（线段长度取正值）。 8. 4:5 解析：相似多边形的面积比等于相似比的平方。设相似比为k，则 ，解得 （相似比为正数）。 9. 2 解析：要使△ADE ∽ △ABC，需满足对应边成比例：代入数据： ，解得AE = 2。 10. 6.4 解析：设路灯高度为h米，第一次测量时，小明到路灯底部的水平距离为x米。根据相似三角形（人和影子构成的小三角形与路灯和总影长构成的大三角形相似）： 第一次： 第二次（后退3米后）： 联立方程： 解得：2(x + 6) = 3(x + 2) ⇒ 2x + 12 = 3x + 6 ⇒ x = 6 代入第一个方程： ，解得h = 6.4。 11. (8, 8) 解析：以A为坐标原点(0,0)，AB在x轴正方向，则B(4,0)，C(4,4)。以A为位似中心，放大为原来的2倍，点C'的坐标为： 12. 4或3 三、解答题 13. 解： （1）因为 ，根据等比性质，有： （2）相似比为25:15 = 5:3。设较大三角形的周长为5k，较小三角形的周长为3k。由题意：5k + 3k = 80 ⇒ 8k = 80 ⇒ k = 10。 所以较大三角形的周长为5 × 10 = 50 cm。 14. 解： 因为DE∥BC，所以△ADE ∽ △ABC。相似比 = AD : AB = 4 : (4 + 6) = 4 : 10 = 2 : 5。 面积比 = (2 : 5)² = 4 : 25。 设= 25k，则 = 4k = 16，解得k = 4。 所以= 25 × 4 = 100。 因此， = - = 100 - 16 = 84。 15. 解： 矩形甲的长宽比 = 10 : 6 = 5 : 3。 矩形乙的长宽比 = 15 : 9 = 5 : 3。 两个矩形的对应角都是直角（相等），且对应边的比相等（都是5:3），所以这两个矩形相似。 16. 解： 以原点O为位似中心，相似比为2，且在第一象限，所以各点坐标同乘2。 A(1, 2) → (2, 4) B(3, 1) → (6, 2) C(2, 4) →(4, 8) 求△的面积： 方法一：先求△ABC的面积。 使用坐标公式：= == = ,因为相似比为2，面积比为4，所以 = 4 × = 10。 方法二：直接用的坐标计算，结果相同。 17. 解： 因为AD∥BC，所以△AOD ∽ △COB（AA相似：对顶角相等，内错角相等）。 所以，AO : OC = AD : BC = 2 : 6 = 1 : 3。 18. 解： （1）要使△ADE ∽ △ABC，需满足： 代入数据： ，解得AE = 3.2。 （2）相似比 = AD : AB = 4 : 10 = 2 : 5。 面积比 = (2 : 5)² = 4 : 25。 所以 = 。 19. 解： 根据光的反射定律（入射角等于反射角），人眼、镜子、旗杆顶端构成的两个直角三角形相似。 所以： 即： 解得：h = （米）。 20. 解： （1）设BE = x。由折叠性质可知，BG = BE = x。 在Rt△ABG中，AB = 6，AG = 2，BG = x。 在Rt△AEG中（E在AB上），AE = AB - BE = 6 - x，AG = 2，EG = BE = x（折叠后重合）。 所以：AE² + AG² = EG² (6 - x)² + 2² = x² 36 - 12x + x² + 4 = x² 40 - 12x = 0 x = （2）折叠后的图形是一个五边形（或不规则四边形），而原图形是矩形。矩形的四个角都是直角，但折叠后的图形角度发生了变化，不再是矩形，因此两者不相似。 四、综合应用题 21. 解：（1）∵，∴是等腰三角形 ∴ ， 则： 其中， 可由余弦定理在 中求得： 代入比例： 将 代入余弦定理式： 化简得： （2）若 ，则，对应边成比例： 解得： 22. 解： （1）由题意，， 逆时针旋转得到 ，故 。 因此，即 ，得 。 在 和 中： 由 全等，得。 （2）过作 于 ，过作 于。 由，得。 又，故，所以 。 因此（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 因为，所以。 在梯形中，，且经过的中点，故是的中点，即。 学科网（北京）股份有限公司 $