精品解析：吉林吉林市亚桥第一九年制学校2025-2026学年下学期九年级学情自测数学试卷

九年级数学试卷 一、选择题 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日， 的下载量已接近4000万．将4000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是， ，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 4. 如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 5. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 因式分解：__________． 8. 已知与是同类项，则的值是__________． 9. 如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一个长度不计的平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知他的眼睛离地面高度为 ，同时量得他与镜子的水平距离为 ，平面镜与旗杆底部的水平距离为 ，则可计算得旗杆高度为________． 10. 如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为_______． 11. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在 轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 三、解答题 12. 计算： （1）； （2）． 13. 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 14. 如图，在四边形 中， ，和 互相平分并交于点， ，求证：四边形 是矩形. 15. 四边形 内接于，为直径，在 的延长线上，且 与相切、平分． 判断 与的位置关系，并说明理由． 16. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度 是多少 ？（结果精确到，参考数据：，，） 17. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，使 ； （2）在图②中的边 上确定一点，连接，使 ； （3）在图③中先确定线段 的中点，再在的边上确定一点，点不与点 重合，连接，使． 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________， __________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 19. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求与之间的函数关系式． 20. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形 中， ，，E为边的中点，点F在边上，且 ，连接 ，将沿 翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形 是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接 ， ，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 21. 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕 ；第二步：然后将 绕点顺时针方向旋转得到 ．点的对应点分别是点，直线 与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图1小明发现，折痕 的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在 绕点旋转的过程中，当直线 经过点时或直线 时，的长都可求… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕 的长为__________； （2）在 绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线 经过点时，在 绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在 绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在 绕点旋转的过程中，连接 ，直接写出 的最小值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若点P是该抛物线的顶点时，求的长； （3）当的面积是3时，求点P的坐标： （4）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日， 的下载量已接近4000万．将4000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：4000万， 故选C． 3. 如图，在平面直角坐标系 中，长方形的顶点A，C的坐标分别是， ，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得 ，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 4. 如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵AB=4，AE=1， ∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3， ∵四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴AD∥EF∥BC， 又∵EH∥FC， ∴四边形EFCH平行四边形， ∴EF=CH， ∵四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴AB=BC，AE=EF， ∴AB﹣AE=BC﹣CH， ∴BE=BH=3． 故选C． 考点：1、正方形的性质；2、等腰直角三角形 5. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 6. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点 作 于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得 ，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点 作 于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在 中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 二、填空题 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．熟悉公因式的结构特征是解题的关键． 利用提公因式将提取出来，分解因式即可． 【详解】解：． 8. 已知与是同类项，则的值是__________． 【答案】 1 【解析】 【分析】先根据同类项的定义求出 和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与是同类项， ， ． 9. 如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一个长度不计的平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知他的眼睛离地面高度为 ，同时量得他与镜子的水平距离为 ，平面镜与旗杆底部的水平距离为 ，则可计算得旗杆高度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆高度为． 故答案为：10． 10. 如图， ， 是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点 的坐标为，则关于的不等式 的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识．先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：点 的坐标为， 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点， 关于的不等式 的解集为或 ， 故答案为：或 ． 11. 如图，抛物线与轴交于两点（点 在点 的左侧），点在抛物线上，点在 轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点 作轴，利用，证得 为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点 作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得 ， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点 的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 三、解答题 12. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再计算分式的减法，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 13. 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 14. 如图，在四边形中， ，和 互相平分并交于点 ， ，求证：四边形是矩形. 【答案】 证明：如图，连接， ∵和 互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，连接，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等可得 ，，然后求出，再求出四边形是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明． 【详解】略 15. 四边形内接于 ，为直径，在 的延长线上，且 与 相切、平分． 判断 与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】连接， ，先证 ，得点B在线段的垂直平分线上，再证点O在线段的垂直平分线上，从而有 垂直平分线段，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下：如下图，连接， ， ∵四边形 内接于 ， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴ 垂直平分线段， ∴． 16. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端 到桌面的高度 是多少 ？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】作于点，于点，分别求得 ， 的长，再加上的长，即为 的长度．本题考查解直角三角形的应用．把所求的线段合理分割到直角三角形中进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：作于点，于点，则，四边形 是矩形， ， ，， ， ，， ， ， 由题意得：， ． 答：灯罩顶端 到桌面的高度 约为． 17. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中 的边上确定一点，使 ； （2）在图②中的边 上确定一点，连接，使 ； （3）在图③中先确定线段 的中点，再在的边上确定一点，点不与点 重合，连接，使． 【答案】（1）解：点M即为所求； （2）解：点N即为所求； （3） 解：与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质； （1）取格点J，连接交于点M，即为所求； （2）在网格上找P，Q两点，连接，与 交于点N，即为所求； （3）与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________， __________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 【答案】（1）20，4 （2） （3）估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占 ， ∴进行冬奥会知识测试学生数为（人）， ∴， 解得， 故答案为：20，4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为， A、B、C、D四组的频率之和为， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89， ，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：三组占， 共有人 七年级E：，F：两组人数为人， 两年级共有人 占样本 ∴（人）， 估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 19. 如图，在中，，，．动点从点 出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．过点作与 的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与 重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）或6 （3）当 时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当 时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【小问1详解】 解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． 【小问2详解】 ①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴ 是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． 【小问3详解】 ①当 时，矩形与 重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与 重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与 重叠部分图形为五边形，如图 有， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当 时，；当时，；当时，． 20. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中， ，，E为边的中点，点F在边上，且 ，连接 ，将沿 翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形 是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接 ， ，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形 是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 四边形 是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或 【解析】 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿 翻折得到△，即知，，而 ，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过 作于 ，过作于 ，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形 是菱形，理由如下： 将△沿 翻折得到△， ，， ， ， 四边形 是菱形； [探究证明]：略 [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过 作于 ，过作于 ，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形 是菱形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 21. 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点 与点 重合，然后展开铺平，得到折痕 ；第二步：然后将 绕点顺时针方向旋转得到 ．点的对应点分别是点，直线 与边交于点（点不与点 重合），与边交于点． 如图1小明发现，折痕 的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在 绕点旋转的过程中，当直线 经过点 时或直线 时，的长都可求… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕 的长为__________； （2）在 绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线 经过点 时，在 绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在 绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在 绕点旋转的过程中，连接 ，直接写出 的最小值． 【答案】（1）； （2） ，见解析；（3）的长为；（4）1 【解析】 【分析】（1）先由折叠性质得，，然后可得，根据平行线分线段成比例可得出 是 的中位线，即可求得； （2）连接 ，先由旋转性质得 ， ，再证明即可得到结论； （3）先根据旋转性质和等腰三角形的性质得到 ，设，在中，利用勾股定理求得，进而可求解； （4）如图2，连接 、，由 知，当 、、共线时取等号，此时最小，由勾股定理求得，根据直角三角形的斜边中线性质得到，则 ． 【详解】解：（1）由折叠的性质得： ，， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 是 的中位线， ∴； （2） ，证明如下， 如图1，连接 ，    由旋转性质得 ， ，又， ∴， ∴ ； （3）如图2， ∵ ∴， ∴， 由旋转性质得 ， ， ∴ ， ∴ ， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴； （4）如图，连接 ，    则 ，当A、F、D共线时取等号，此时最小，    ∵， ∴ ， ∵， ， ∴，则 ， 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若点P是该抛物线的顶点时，求的长； （3）当的面积是3时，求点P的坐标： （4）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式是 ，顶点坐标为 （2） （3） （4）m的值为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求函数解析式，然后问题可求解； （2）根据两点距离公式可进行求解； （3）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可分情况讨论，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为 ， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可令，则有， ∴， ∵点P是该抛物线的顶点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问4详解】 解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线； ①当时，最高点为，最低点是； ， （舍； 当最高点为时，最低点是， ， 解得（舍）或； ②当时， 为最高点，为最低点时，， 解得（舍）或； 为最高点，为最低点时，，方程无解； 综上， 的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $