精品解析：安徽安庆市高新区2025-2026学年第二学期九年级正月综合素质调研 数学试题

2025—2026学年度九年级正月综合素质调研 数学试题 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，分别是边和上的点，且，若，则 的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是【 】 A. （，1） B. （1，） C. （2，） D. （1，） 6. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 若A（-5，），B（-3，），C（0，）为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，正五边形的外接圆为 ，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接 ，将直线 绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则一次函数的图象不过第___象限． 12. 如图，，，交于点E，若，，则 的长为______． 13. 如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____． 14. 如图，矩形ABCD的AB为6，BC为4，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交边AB，CD于点E，F． （1）AM:EF的值为__； （2）EM+AF的最小值为　___ ． 三、解答题（每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，反比例函数y＝(k＞0)的图象与一次函数y＝x的图象交于A、B两点(点A在第一象限)．若点A的横坐标为4． (1)求k的值． (2)根据图象，直接写出当＞x时，x的取值范围. 四、解答题（每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且D为AC的中点，过D作DE丄CB，垂足为E． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）已知CD=4，CE=3，求⊙O的半径． 五、解答题（每小题10分，满分20分） 18. 如图1，是吊车的实物图，如图2，是吊车某时刻的示意图，吊车底部为矩形，米，米，米，，，求吊臂顶端离地面的高度．（结果精确到0.1米，，，，） 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； （2）点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 六、解答题（每小题12分，满分24分） 20. 如图，是 的直径，是 的弦，平分交 于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是 的切线． （2）若，，求的长． 21. 某汽车贸易公司销售 ， 两种型号的新能源汽车， 型车进货价格为每台万元， 型车进货价格为每台万元，该公司销售台 型车和台 型车，可获利万元；销售台 型车和台 型车，可获利万元． （1）求销售一台 型、一台 型新能源汽车的利润各是多少万元？ （2）该公司准备用不超过万元，采购 ， 两种新能源汽车共台，问最少需要采购 型新能源汽车多少台？ （3）公司按照原售价销售 型新能源汽车，每月可卖台，售价每降元，销量涨台．设该公司每台 型新能源汽车降千元，要使降价后每月销售 型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售 型新能源汽车所得的利润，直接写出整数的最大值． 七、解答题（本题满分14分） 22. 如图，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形的对角线上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与射线相交于点F． （1）试猜想线段、之间的数量关系为__________； （2）试猜想图中此时线段、 、之间的数量关系，并说明理由； （3）作射线交直线于点G，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级正月综合素质调研 数学试题 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于原点的对称点的坐标特点：横、纵坐标都互为相反数，据此进行求解即可得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标系中关于原点对称的点的坐标关系，熟练掌握“关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数”是解题关键． 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值解答即可． 【详解】解：原式=3×=， 故选D． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 4. 如图，在 中，， ， 分别是边 和上的点，且，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】只需要证明△AED∽△ACB，得到即可求解. 【详解】解：∵∠AED=∠C，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定. 5. 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是【 】 A. （，1） B. （1，） C. （2，） D. （1，） 【答案】B 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x+1=2（x2+2x）+1=2[（x+1）2﹣1]+1=2（x+1）2﹣1， ∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）． ∵将函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，其顶点坐标也作同样的平移， ∴平移后图象的顶点坐标是（﹣1＋2，﹣1－1），即（1，﹣2）． 故选B． 6. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】根据平行四边形的对角相等,可得∠AOC=∠B,然后根据圆内接四边形的对角互补,求得∠ADC+∠B=180°,最后由圆周角定理等量代换求得: ∠ADC+2∠ADC=180°,解得 ∠ADC=60°,故答案为C. 7. 若A（-5，），B（-3，），C（0，）为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵2（5）=3， 2（3）=1， 0（2）=2， ∴点A距离对称轴最远，点B距离对称轴最近， ∴y2＜y3＜y1． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 8. 如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴＜0， ∴①错误． ∵当x=0时，y=c， ∴C（0，c）， ∵OB=2OC， ∴B（-2c，0）． ∴0=4ac2-2bc+c=0 ∴c（4ac-2b+1）=0， ∵c＜0， ∴4ac-2b+1=0， ∴2b-4ac=1． ∴②正确． ∵抛物线过点A（-2，0），B（-2c，0）． 抛物线可以表示为：y=a（x+2）（x+2c） =ax2+2a（c+2）x+4ac． ∴4ac=c． ∴4a=1， ∴， ∴③正确． ∵，2b-4ac=1， ∴c=2b-1， ∴④正确． ∴正确的有：②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度． 9. 如图，正五边形的外接圆为，点 是劣弧 上一点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据正五边形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正五边形和圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选： ． 10. 如图，在矩形中，， 是对角线 上的动点，连接 ，将直线 绕点 顺时针旋转使，且过 作，连接，则最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作于H，连接延长交于E，作于F，先证明，得到，，进而证得，得到，推出点G在射线上运动，从而可知当时，的值最小；然后通过角的运算和等角对等边得到，接着利用勾股定理和三角形面积求得，通过证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于H，连接延长交于E，作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴，即为定值， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则一次函数的图象不过第___象限． 【答案】三． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得k=－2，则y=－2x+2，则一次函数图象不经过第三象限. 考点：反比例函数与一次函数 12. 如图，， ，交于点E，若，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】由平行线的性质求出，，得，再由相似三角形的性质求出线段即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ． 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 13. 如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数. 【详解】连接CD. 由题意得∠COD=90°， ∴CD是⊙A的直径. ∵D（0，1），C（，0）， ∴OD=1，OC=， ∴CD==2， ∴∠OCD=30°， ∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）  故答案为30°. 【点睛】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答. 14. 如图，矩形ABCD的AB为6，BC为4，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交边AB，CD于点E，F． （1）AM:EF的值为__； （2）EM+AF的最小值为　___ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于（1），作EH⊥CD，交AM于点G，根据矩形的性质求出EH，然后证明∠EFH=∠AMB ，即可得出，再根据相似三角形的性质得出答案； 对于（2），作FG⊥AB，由得，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A，F，H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，然后根据勾股定理求出AH的值即可． 【详解】解：（1）过点E作EH⊥CD于点H，交AM于点G ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=∠C=90° ∴四边形EBCH是矩形 ∴EH=BC=4， ∴∠AGE=∠AMB ∵EF⊥AM， ∴∠AGE+∠HEF=∠EFH+∠HEF=90° ∴∠AGE=∠EFH=∠AMB ∵∠B=∠EHF=90° ∴ ∴ 故答案为：； （2）过点F作FG⊥AB于点G，则FG=BC，∠ABM=∠FGE=90°. ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°， ∴∠BAM=∠GFE， ∴， ∴， ∴ ∵BC=4，M是BC的中点， ∴BM=2， ∴， ∴ 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH， 当点A，F，H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小， 此时， ∴EF+AF的最小值是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质等，判定EM+AF的最小值是解决（2）的关键． 三、解答题（每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的正弦值，二次根式的混合运算，代入特殊角的正弦值，再依据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 16. 如图，反比例函数y＝(k＞0)的图象与一次函数y＝x的图象交于A、B两点(点A在第一象限)．若点A的横坐标为4． (1)求k的值． (2)根据图象，直接写出当＞x时，x的取值范围. 【答案】(1)12；(2)x＜﹣4或0＜x＜4． 【解析】 【分析】（1）先将x＝4代入正比例函数y＝x，可得出y＝3，求得点A（4，3），再根据点A与B关于原点对称，得出B点坐标，求出k的值； （2）正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图象写出x的取值范围即可． 【详解】解：(1)∵点A在一次函数y＝x的图象上， ∴把x＝4代入正比例函数y＝x， 解得y＝3，∴点A(4，3)， ∵点A与B关于原点对称， ∴B点坐标为(﹣4，﹣3)， 把点A(4，3)代入反比例函数可得k=12； (2)由交点坐标，根据图象可得当＞x时，x的取值范围为：x＜﹣4或0＜x＜4． 【点睛】本题考查了应用待定系数法求反比例函数的解析式，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 四、解答题（每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且D为AC的中点，过D作DE丄CB，垂足为E． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）已知CD=4，CE=3，求⊙O的半径． 【答案】（1）直线DE是⊙O的切线；理由见解析．（2）⊙O的半径为． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用切线的判定得出∠ODE=90°，进而求出DE是⊙O的切线， （2）利用常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法，利用相似三角形的判定与性质求出即可． 试题解析：（1）证明：连接OD， ∵D为AC的中点，O为AB的中点， ∴DO∥BC， ∵DE丄CB， ∴DE⊥OD， ∴∠ODE=90°， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）解：连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， 又∵DE⊥BC， Rt△CDB∽Rt△CED， ∴ ∴BC= 又∵OD=BC， ∴OD=×＝ 即⊙O的半径为． 考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．相似三角形的判定与性质． 五、解答题（每小题10分，满分20分） 18. 如图1，是吊车的实物图，如图2，是吊车某时刻的示意图，吊车底部为矩形，米，米，米，，，求吊臂顶端离地面的高度．（结果精确到0.1米，，，，） 【答案】10.1米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．过点作于点，设米，解，求出 的值，过点作于点 ，交延长线与点，过点作于点 ，得到四边形和四边形都是矩形，解，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：如答图，过点作于点，设米， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 过点作于点 ，交延长线与点，过点作于点 ， 则四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， 在中， ， ， 答：吊臂顶端离地面的高度约为10.1米． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； （2）点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】（1）；线段所在直线的函数表达式 （2）3 【解析】 【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题． 六、解答题（每小题12分，满分24分） 20. 如图，是的直径， 是的弦，平分交于点 ，过点 作，交 的延长线于点，交的延长线于点 ． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ． ， ． 平分， ， ， ； ， ． 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据平分，可得，从而得到，可得，再由，即可求解； （2）由，可得，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ，， ． ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 某汽车贸易公司销售 ， 两种型号的新能源汽车， 型车进货价格为每台万元， 型车进货价格为每台万元，该公司销售 台 型车和 台 型车，可获利万元；销售 台 型车和 台 型车，可获利万元． （1）求销售一台 型、一台 型新能源汽车的利润各是多少万元？ （2）该公司准备用不超过万元，采购 ， 两种新能源汽车共台，问最少需要采购 型新能源汽车多少台？ （3）公司按照原售价销售 型新能源汽车，每月可卖台，售价每降元，销量涨台．设该公司每台 型新能源汽车降千元，要使降价后每月销售 型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售 型新能源汽车所得的利润，直接写出整数的最大值． 【答案】（1）销售一台 型、一台 型新能源汽车的利润分别为 万元， 万元 （2）最少需要采购 型新能源汽车台 （3）整数的最大值为 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出二次函数的表达式． （1）设销售一台 型新能源汽车的利润是 万元，销售一台 型新能源汽车的利润是 万元，根据“公司销售 台 型车和 台 型车，可获利万元；销售 台 型车和 台 型车，可获利万元”，即可得出关于 、 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要采购 型新能源汽车 台，则采购 型新能源汽车台，根据总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （3）设该公司每台 型新能源汽车降千元后的利润为元，根据题意可得，然后计算当时所对应的的值，从而可确定“降价后每月销售 型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售 型新能源汽车所得的利润”的取值范围，结合题意可得结论； 【小问1详解】 解：设销售一台 型新能源汽车的利润是 万元，销售一台 型新能源汽车的利润是 万元， 由题意，得：， 解得：， 答：销售一台 型、一台 型新能源汽车的利润分别为 万元， 万元； 【小问2详解】 设需要采购 型新能源汽车 台，则采购 型新能源汽车台， 由题意，得：， 解得：， 答：最少需要采购 型新能源汽车台； 【小问3详解】 降价前每月销售 型新能源汽车的利润为：（元）， 设每台 型新能源汽车降千元， ∴降价后每月销售 型新能源汽车的利润： ， 当时，得：， 解得： 或， ∴时，， ∴整数的最大值为． 七、解答题（本题满分14分） 22. 如图，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形的对角线 上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与射线相交于点F． （1）试猜想线段 、之间的数量关系为__________； （2）试猜想图中此时线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）作射线交直线 于点G，若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点E作于点N，交于点M，证明，即可得出； （2）过点E作交于点H，证明为等腰直角三角形，得出，，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点F在的延长线上时，当点F在边上时，分别作出图形，求出的长即可． 【小问1详解】 解：过点E作于点N，交于点M，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：；理由如下： 如图，过点E作交于点H， 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 当点F在的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴； 当点F在边上时，过点E作于点N，交于点M，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $