精品解析：山东青岛市青岛超银中学(广饶校区)2025-2026学年九年级下学期初学情自测数学试题

九年级数学练习题 本试题共四道大题，含24道小题．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．其中，选择题要求用2B铅笔正确涂写在“客观题答题区”． 一、选择题（本题共有9小题） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 5. 如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共7道小题） 10 计算：______________． 11. 关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是________． 12. 若扇形的圆心角为60°，弧长为２，则扇形的半径为___． 13. 一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为________． 14. 如图，、是反比例函数在第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，轴．若，且的面积为，则的值为____． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为_____． 16. 如图，在矩形中，是边的中点，沿对折矩形，使点落在点处，折痕为，连接，连接并延长交于点．给出以下结论：①直线是的垂直平分线；②；③为等腰三角形；④若，则．其中正确的结论序号为______． 三、作图题，请用直尺、圆规作图，不写做法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：．． 求作：，使它经过点和点，并且圆心在平分线上， 四、解答题（本题共有7道大题） 18. （1）化简：． （2）解不等式组，并求出所有的整数解． 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为__________； （2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 20. 数学兴趣小组的成员在观察点测得观察点在的正北方向，古树在的东北方向，；在处测得在的南偏东的方向上，已知在正北方向上，即，求古树，之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 21. 在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：A为的中点； （2）若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形矩形，请填空，并说明理由． 22. 新能源汽车有着动力强、油耗低特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． （1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ （2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 23. 甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 24. 已知：如图，在中，．点D是中点，点P从点C出发，沿向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接，将绕点D旋转得．设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？ （3）设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 本试题共四道大题，含24道小题．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．其中，选择题要求用2B铅笔正确涂写在“客观题答题区”． 一、选择题（本题共有9小题） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：左边起，第一幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二幅图既是轴对称图形，也是中心对称图形； 第三幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第四幅图不是轴对称图形，是中心对称图形， 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个． 3. 系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数，据此确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：米米． 4. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分， ∴该班40人测试成绩的平均分为90分，方差变小， 故选：B． 【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5. 如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了俯视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 根据从上面看立体图形得到的图形即可，看见的棱用实线表示，隐藏的棱用虚线表示． 【详解】解：从上面看，是两个同心圆，里面的圆画成虚线． 故选：D． 6. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，再根据P1与P2关于原点对称，即可解决问题． 详解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1． ∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6）． ∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6）． 故选A． 点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 8. 如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，，根据求解即可． 【详解】解：如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，， 由正多边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 9. 如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 二、填空题（本题共7道小题） 10. 计算：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是实数的混合运算，包括根式的化简、三角函数的计算、以及负整数指数幂的处理，关键在于正确化简根式和处理指数运算． 首先化简根式，再代入三角函数值，处理负整数指数幂，最后合并结果． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：6． 11. 关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】关于x的函数y=（k-2）x2-（2k-1）x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2-4ac＞0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得k＞- 且k≠2． 故答案是：k＞-且k≠2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12. 若扇形的圆心角为60°，弧长为２，则扇形的半径为___． 【答案】6 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径. 【详解】∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π， ∴，即，解得，扇形的半径R=6． 13. 一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设货车原来的行驶速度为x千米每小时，然后根据将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，列出方程即可． 【详解】解：设货车原来的行驶速度为x千米每小时， 由题意得：， 故答案为：． 14. 如图，、是反比例函数在第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，轴．若，且的面积为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理求得，设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用三角形ADO的面积建立方程求出mn=，即可得出结论． 【详解】解：∵轴，轴， ∴AC∥BE ∴ 设点B（3m，3n），则D（m，n），A（m，）， ∴9mn=k， ∴A（m，9n） ∵△ADO的面积为， ∴S△AOD=AD•OC=（9n-n）×m=， ∴mn=， ∴k=9mn=， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：∵，点，分别为，的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，是边的中点，沿对折矩形，使点落在点处，折痕为，连接，连接并延长交于点．给出以下结论：①直线是的垂直平分线；②；③为等腰三角形；④若，则．其中正确的结论序号为______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，含角直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用矩形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，含角直角三角形等知识逐项判断即可． 【详解】解：矩形， ，， 是边的中点， ， 由折叠的性质得： ，垂直平分， 故结论①正确； ， ， ， ， 故结论②正确； ，即，， ， 是等腰三角形，故结论③正确； ，， ， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 三、作图题，请用直尺、圆规作图，不写做法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：．． 求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上， 【答案】见详解． 【解析】 【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心． 【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线， 再作线段BC的垂直平分线相交于O， 即以O点为圆心，OB为半径，作圆O， 如下图所示： 【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用． 四、解答题（本题共有7道大题） 18. （1）化简：． （2）解不等式组，并求出所有的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解为，0 【解析】 【分析】（1）先计算分式加法，然后计算分式除法； （2）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出其整数解即可． 【详解】解：（1）原式， ； 解：（2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为，0． 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为__________； （2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）； （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占比，即可得出答案； （2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有：（人）， 扇形统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示． （人） ∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种， ∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为， 答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 20. 数学兴趣小组的成员在观察点测得观察点在的正北方向，古树在的东北方向，；在处测得在的南偏东的方向上，已知在正北方向上，即，求古树，之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 【答案】62.9米 【解析】 【分析】过作于，过作于，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于，过作于， ∵，，点在的正北方向 ∴四边形是矩形， ，， ，， ， ， （米， ， ， ， （米， （米， 答：古树、之间的距离约为62.9米． 21. 在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：A为的中点； （2）若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即A为的中点． 【小问2详解】 解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22. 新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． （1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ （2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 【答案】（1）每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元 （2）购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，根据要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列列出不等式求出的范围，设投资总额为万元，列出一次函数解析式，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元； 【小问2详解】 设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，由题意，得：， 解得：， 设投资总额为万元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，为：； 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 23. 甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）①4；②是；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①由表中数据直接可以得出结论； ②由表中数据直接可以得出结论； ③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和即可． 【小问1详解】 解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离， 故答案为：4； ②当时，， 羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； 【小问2详解】 解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 故答案为：． 24. 已知：如图，在中，．点D是中点，点P从点C出发，沿向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接，将绕点D旋转得．设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？ （3）设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）存在， 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理得到的长，根据旋转性质和平行四边形判定，可以证出四边形为平行四边形，利用得线段成比例，从而得解； （2）过Q作于N，用含t的代数式表示出的长，由（1）已经证明四边形PQRT为平行四边形，它的对角线互相垂直时为萎形，再证明，，再根据相似三角形对应边的比相等即可得解； （3）过P作于M，过点Q作于N，根据，即可得解； （4）过C作 于H，所以，再证明，对应角相等，即为内错角相等，所以，从而证出当Q在上运动时，T也在过C点与平行的直线上运动，取中点O连作于M，则四边形为矩形，，若T在的外接圆上，则，即可得解． 【小问1详解】 解：连接， 由旋转知：，， ∴四边形为平行四边形， 当时，则 ， ∴， ∵，，， ∴， 依题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形为萎形知，当，即时，平行四边形为菱形， 过Q作于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 由①等式知：， ∴， ∴， ∴， ∴，舍去负根， ∴， 检验是原方程的根， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， 过P作于M，过点Q作于N， 由（2）知， 在中，， ∴， ∴ ， ∴； 【小问4详解】 解：过C作 于H， ∴， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当Q在上运动时，T也在过C点与平行的直线上运动， 取中点O连作于M，则四边形为矩形，，若T在的外接圆上，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即当时，T在的外接圆上． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆的性质，解题关键是恰当作出辅助线，熟练掌握以上性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $