专题01相交线与平行线同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线同步讲义（1） 【题型01 相交线】...............................................4 【题型02 对顶角的定义】.........................................5 【题型03 对顶角相等】...........................................5 【题型04 垂线的定义理解】.......................................6 【题型05 画垂线】...............................................7 【题型06 垂线段最短】...........................................8 【题型07 点到直线的距离】.......................................9 【题型08 同位角.内错角.同旁内角】...............................10 【题型09 立体图形中平行的棱】..................................11 【题型10 用直尺三角板画平行线】................................12 【题型11 平行公理的应用】......................................13 【题型12 平面内两直线的位置关系】..............................14 【解答题5题】..................................................15 知识点01:相交线与交点 定义：在同一平面内，两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交，该公共点叫交点。 核心关系：两直线相交 → 形成 4 个角，产生对顶角与邻补角。 知识点02:对顶角 定义：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。 示例：直线 AC、BD 交于 O，∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB=∠COD。 知识点03:邻补角 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补（和为 180°）。 示例：∠AOB 与∠BOC 互为邻补角，∠AOB+∠BOC=180°。 知识点04:垂直（相交的特殊情况） 定义：两直线相交成直角（90°），称互相垂直，记作 PC⊥AB，交点叫垂足。 垂线性质 1.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 垂线性质 唯一性：已知：点 P 为直线 AB 外一点。结论：在同一平面内，过点 P 有且只有一条直线 PC 与直线 AB 垂直。 垂线段最短：已知：PC⊥AB，垂足为 C，点 D、E 分别在 PA、PB 上，且 A,C,B 在直线 AB 上。结论：PC<PA，PC<PB，即点 P 到直线 AB 的所有连线中，垂线段 PC 最短。 点到直线的距离 已知：PC⊥AB，垂足为 C。结论：线段 PC 的长度，就是点 P 到直线 AB 的距离。 知识点05:同位角、内错角、同旁内角 一、前提：三线八角 两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，简称 “三线八角”。 二、三类角的定义与特征 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 三、核心要点 三类角仅描述位置关系，与角的大小无关。 识别步骤：先找截线（两角公共边所在直线），再看在截线与被截线的位置 知识点05:平行线 一、平行线定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，记作 AB∥CD。 同一平面内，两直线位置关系：相交或平行。 二、平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 三、平行线基本事实（公理） 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 四、平行公理的推论（传递性） 若 EF∥AB，EF∥CD，则AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行）。 【题型1.相交线】 【典例】当两条不同的直线有__________时，我们称这两条直线_________，这个点叫做它们的________． 【跟踪专练1】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 【跟踪专练3】按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A． B． C． D． 【题型2.对顶角定义】 【典例】平面上三条直线交于同一点O，过O点有___________对对顶角． 【跟踪专练1】下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 【跟踪专练3】6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 【题型3.对顶角相等】 【典例】如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 【跟踪专练1】光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，将其抽象成一般的几何图形（如图所示），若，则______． 【跟踪专练3】如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 【题型4.垂线的定义理解】 【典例】如图，已知为直线上一点，，，所以与重合的理由是______________________． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【跟踪专练2】如图，O是直线上一点，，，若，则_________． 【跟踪专练3】如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型5.画垂线】 【典例】下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.垂线段最短】 【典例】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【跟踪专练1】如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】如图，在中，，于点D，，若点E在边（不与点A，B重合）移动，则线段最短为________ 【跟踪专练3】如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（　　）    A．7 B．2 C．5 D．6 【题型7.点到直线的距离】 【典例】如图，，，，，分别是直线上的点，是直线外一点，连接，，，，，，则点到直线的距离是线段__________的长度． 【跟踪专练1】如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为______米．（填一个你认为正确的答案）    【跟踪专练3】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8.同位角.内错角.同旁内角】 【典例】如图，的内错角是______． 【跟踪专练1】如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【跟踪专练2】如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是____________.    【跟踪专练3】如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型9.立体图形中平行的棱】 【典例】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【跟踪专练2】一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【跟踪专练3】一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【题型10.用直尺三角板画平行线】 【典例】如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【跟踪专练1】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【跟踪专练2】如图， (1)过点P作的垂线，垂足为点Q， (2)过点P作的平行线，交于点R． 【跟踪专练3】如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【题型11.平行公理的应用】 【典例】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【跟踪专练1】已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【跟踪专练2】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【跟踪专练3】已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【题型12.平面内两直线的位置关系】 【典例】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有__________和__________两种． 【跟踪专练1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【跟踪专练2】下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【跟踪专练3】如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【解答题】 1．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 2．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 3．如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 4．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 5．已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线同步讲义（1） 【题型01 相交线】...............................................4 【题型02 对顶角的定义】.........................................6 【题型03 对顶角相等】...........................................8 【题型04 垂线的定义理解】......................................10 【题型05 画垂线】..............................................12 【题型06 垂线段最短】..........................................14 【题型07 点到直线的距离】......................................16 【题型08 同位角.内错角.同旁内角】...............................18 【题型09 立体图形中平行的棱】..................................21 【题型10 用直尺三角板画平行线】................................23 【题型11 平行公理的应用】......................................26 【题型12 平面内两直线的位置关系】..............................27 【解答题5题】..................................................30 ★知识梳理★ 知识点01:相交线与交点 定义：在同一平面内，两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交，该公共点叫交点。 核心关系：两直线相交 → 形成 4 个角，产生对顶角与邻补角。 知识点02:对顶角 定义：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。 示例：直线 AC、BD 交于 O，∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB=∠COD。 知识点03:邻补角 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补（和为 180°）。 示例：∠AOB 与∠BOC 互为邻补角，∠AOB+∠BOC=180°。 知识点04:垂直（相交的特殊情况） 定义：两直线相交成直角（90°），称互相垂直，记作 PC⊥AB，交点叫垂足。 垂线性质 1.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 垂线性质 唯一性：已知：点 P 为直线 AB 外一点。结论：在同一平面内，过点 P 有且只有一条直线 PC 与直线 AB 垂直。 垂线段最短：已知：PC⊥AB，垂足为 C，点 D、E 分别在 PA、PB 上，且 A,C,B 在直线 AB 上。结论：PC<PA，PC<PB，即点 P 到直线 AB 的所有连线中，垂线段 PC 最短。 点到直线的距离 已知：PC⊥AB，垂足为 C。结论：线段 PC 的长度，就是点 P 到直线 AB 的距离。 知识点05:同位角、内错角、同旁内角 一、前提：三线八角 两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，简称 “三线八角”。 二、三类角的定义与特征 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 三、核心要点 三类角仅描述位置关系，与角的大小无关。 识别步骤：先找截线（两角公共边所在直线），再看在截线与被截线的位置 知识点05:平行线 一、平行线定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，记作 AB∥CD。 同一平面内，两直线位置关系：相交或平行。 二、平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 三、平行线基本事实（公理） 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 四、平行公理的推论（传递性） 若 EF∥AB，EF∥CD，则AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行）。 【题型1.相交线】 【典例】当两条不同的直线有__________时，我们称这两条直线_________，这个点叫做它们的________． 【答案】 公共点 相交 交点 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，熟知相交线的定义是解题的关键． 【详解】解：当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点， 故答案为：公共点，相交，交点． 【跟踪专练1】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 【答案】 【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可. 【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1. 即：当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有5个交点； 当n=5时，共有9个交点；…， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律. 【跟踪专练3】按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A．符合条件， B．不符合点P不在直线c上； C．不符合点P在直线a上； D．不符合直线a、b、c两两相交； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键． 【题型2.对顶角定义】 【典例】平面上三条直线交于同一点O，过O点有___________对对顶角． 【答案】6 【分析】两条直线相交于一点形成2对对顶角，三条直线相交于一点可看成是3种两条直线相交于一点的情况，再乘以2，即可得对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点形成2对对顶角， 三条直线相交于一点可看成是三种两条直线相交于一点的情况，故形成6对对顶角． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查对顶角，理解对顶角的概念、根据题意找出规律是解题的关键． 【跟踪专练1】下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的特点，有公共顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可． 【详解】解：A、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； B、与是对顶角，该选项符合题意； C、有公共顶点，两边不是互为反向延长线，与不是对顶角，该选项不符合题意； D、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 【跟踪专练3】6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义并总结出一般规律是解题的关键．分别列出两条直线、三条直线、四条直线相交于一点时的情况，从而总结一般规律，即可解决问题． 【详解】解：两条直线相交与一点，共形成对不同的对顶角； 三条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 四条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 6条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 故选：A． 【题型3.对顶角相等】 【典例】如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 【答案】/48度 【分析】本题考查了对顶角相等． 直接根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，将其抽象成一般的几何图形（如图所示），若，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了对顶角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据对顶角相等进行作答，即可求解； 【详解】解：∵和是对顶角，且， ∴， 故答案为：； 【跟踪专练3】如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角的定义和对顶角，根据题意得，结合已知得即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 【题型4.垂线的定义理解】 【典例】如图，已知为直线上一点，，，所以与重合的理由是______________________． 【答案】同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，熟练掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴与重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）， 故答案为：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查对垂线定义的理解． 根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意； B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意； C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，O是直线上一点，，，若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，垂线的定义． 根据垂线的定义得到，进而求出，根据垂线的定义得到，进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 【题型5.画垂线】 【典例】下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据题意：她做对了2个，分别是（1）和（3）， 故选：C． 【跟踪专练1】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项． 【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意； C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【题型6.垂线段最短】 【典例】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【跟踪专练1】如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点D，，若点E在边（不与点A，B重合）移动，则线段最短为________ 【答案】6 【分析】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的面积公式，根据“垂线段最短”得：当时，为最短，然后根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】根据“垂线段最短”得：当时，为最短． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴的最短为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（　　）    A．7 B．2 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：根据题意可画图如下：   ∵，， ∴的最小值为3， 根据题意分类讨论： 当时，射线上不存在满足条件的点； 当时，射线上存在一个点； 当时，射线上存在两个点； 当时，射线上存在一个点； 结合选项时，在射线上只存在一个点， 故选：A． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 【题型7.点到直线的距离】 【典例】如图，，，，，分别是直线上的点，是直线外一点，连接，，，，，，则点到直线的距离是线段__________的长度． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离；理解点到直线的距离为“点到直线垂线段的长度”是解题的关键．由点到直线的距离定义，即可求解. 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离．直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长度，是点到直线上各点的连线段中，长度最小的线段，据此解答即可． 【详解】解：由图可知，长度为，是最小的， 则点到直线的距离不大于可以是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为______米．（填一个你认为正确的答案）    【答案】3米（答案不唯一） 【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：米，米， 点A到的距离d小于或等于4米， 点A到的距离d可能为3米（答案不唯一）． 故答案为：3米（答案不唯一）． 【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义． 【跟踪专练3】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 【题型8.同位角.内错角.同旁内角】 【典例】如图，的内错角是______． 【答案】 【分析】根据内错角的定义，观察图形识别即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是． 【跟踪专练1】如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【跟踪专练2】如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是____________.    【答案】① 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角． 【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确； 与构成同位角的角的是，有1个，故②错误； 与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念． 【跟踪专练3】如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可． 【详解】解：①由同位角的概念得出：与是同位角，正确； ②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角，正确； ③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误； ④由内错角的概念得出：与是内错角，错误． 故正确的有2个，是， 故选：A． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提． 【题型9.立体图形中平行的棱】 【典例】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，， 故选D． 【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征． 【跟踪专练1】将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【答案】8 【分析】本题考查长方体的棱的分组特征，解题关键是明确与水面平行的棱为长方体上、下底面的所有棱． 长方体有12条棱，分为三组互相平行的棱，每组4条．当长方体放置使一个面与水面平行时，水平方向的棱最多． 【详解】长方体共有12条棱，分为3组，每组4条棱互相平行且长度相等，这3组棱分别对应长、宽、高三个方向． 要使与水面平行的棱最多，应使长方体的一个面与水面平行，此时，构成上、下底面的棱均与水面平行． 因为因为上底面有4条棱，下底面也有4条棱， 因此与水面平行的棱最多有条． 故答案为：8． 【跟踪专练2】一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【答案】C 【分析】本题考查了四棱柱的认识，熟知四棱柱的特征是解决此题的关键；该几何体有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是平行四边形，符合四棱柱的特征．四棱柱的棱可分为三组，每组4条互相平行的棱，因此平行的棱有18对． 【详解】解：∵几何体有8个顶点、12条棱，每个面都是平行四边形， ∴这个几何体是四棱柱， 在四棱柱的12条棱分为3组，每组有4条互相平行的棱． 对于每组4条平行棱，其中平行棱的对数为：每条棱与组内另外3条棱平行，共形成组关系，但每对棱会重复计算1次， ∴每组实际有对平行棱． ∴在常见的四棱柱中总平行棱对数为对． 故选C． 【跟踪专练3】一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 【题型10.用直尺三角板画平行线】 【典例】如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解． 【详解】解：如图， 根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】如图， (1)过点P作的垂线，垂足为点Q， (2)过点P作的平行线，交于点R． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画平行线和画垂线，熟知平行线和垂线的画法是解题的关键． （1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【跟踪专练3】如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【题型11.平行公理的应用】 【典例】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【跟踪专练1】已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系． 分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断． 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 【跟踪专练2】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 【跟踪专练3】已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 【题型12.平面内两直线的位置关系】 【典例】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有__________和__________两种． 【答案】 平行 相交 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交， 故答案为：平行，相交． 【跟踪专练1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 【跟踪专练2】下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】③④/④③ 【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；   ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；   ④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；   ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确． 故答案为③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的角度计算；小明：依据，即可得到；小丽：画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：小明： ， ∴ ， 是定值； 故小明正确． 小丽：当与有重合时，如图， 设，则． ， ∴， ∴， ∴， ， 此时，． 当与无重合时，如图， ∵， ∴， ， 解得：， 即， ∴， 此时， 不垂直于， 故小丽错误． 故选：A． 【解答题】 1．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 2．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解． 【详解】位置关系：． 理由如下：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 3．如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【分析】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． 【详解】（1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 4．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 5．已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【详解】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $