专题10 不等式与不等式组（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习

专题10 不等式与不等式组 不等式与不等式组是中考数学的核心基础专题，是刻画现实世界中不等关系的重要工具，承接一元一次方程知识，也是后续学习一次函数、二次函数中取值范围问题的关键铺垫。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题，占分比重约6%-8%，核心考查学生的运算能力、逻辑推理能力和实际应用能力。 核心考点 ①不等式的定义、性质及解集（重点考查不等式的基本性质3，即两边同乘/除以负数，不等号方向改变）； ②一元一次不等式的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）及解集表示； ③一元一次不等式组的解法（分别解两个不等式，确定公共解集）及解集在数轴上的表示； ④由不等式（组）的解集求参数的取值范围（含无解、有解、整数解等情况）； ⑤列一元一次不等式（组）解决实际问题（方案设计、最值、取值范围等，常与经济、行程、工程问题结合）。 考情分析 ①基础题型：侧重不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法及解集表示，难度较低； ②中档题型：侧重由不等式（组）的解集求参数、不等式组的整数解，难度中等； ③创新题型：侧重不等式（组）与函数、方程的综合应用，或复杂实际情境的方案设计，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1.不等式的定义 用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式； 示例：、是不等式，（等式）、（代数式）不是不等式。 2.不等式的基本性质（中考高频考点，易错点） 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变； 即：若，则（为任意数或整式）； 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 即：若，，则（或）； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 即：若，，则（或）； 易错提醒：性质3是中考易错点，尤其在去分母、系数化为1时，忘记改变不等号方向。 3.不等式的解集 能使不等式成立的未知数的所有取值，叫做不等式的解集（注意：解集是一个范围，不是单个解）； 解集的表示方法： 文字表示：如“大于2且小于等于5”； 符号表示：如； · 数轴表示：“<”“>”用空心圆点，“≤”“≥”用实心圆点，大于向右画，小于向左画。 4.一元一次不等式的定义与解法 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式； 解法步骤（与一元一次方程类似，注意性质3的应用）： ①去分母：在不等式两边同乘各分母的最简公分母（注意：公分母为负数时，不等号方向改变）； ②去括号：根据去括号法则（括号前是负号，括号内各项要变号）； ③移项：把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边（移项要变号）； ④合并同类项：将同类项合并，化为（或、、）的形式； ⑤系数化为1：在不等式两边同除以未知数的系数（注意：时，不等号方向改变）。 5.一元一次不等式组的定义与解法 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组； 不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；若没有公共部分，则该不等式组无解； 解集的四种情况（设）： ，解集为（同大取大）； ，解集为（同小取小）； ，解集为（大小小大中间找）； ，解集为无解（大大小小找不到）。 解法步骤： ①分别解不等式组中的每个一元一次不等式； ②将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来； ③找出它们的公共部分，即为不等式组的解集（若无公共部分，则无解）。 （二）二级结论（中考高频应用，快速解题） 1.不等式解法易错点汇总 去分母时，漏乘不含分母的项（如，漏乘1会导致错误）； 去括号时，括号前是负号，括号内各项未变号； 移项时忘记变号； 系数化为1时，未判断系数的正负，导致不等号方向错误（重中之重）。 2.不等式组参数问题核心结论 若不等式组有解，则；若无解，则； 若不等式组有解，则；若无解，则； 若不等式组有解，则；若无解，则。 3.整数解问题技巧 先求出不等式（组）的解集，再找出解集中的整数，注意端点值是否包含（看不等号是否带等号）； 若已知整数解的个数，可先确定整数解的范围，再反向求参数的取值范围（注意边界值的取舍，常用“临界值检验法”）。 4.实际应用建模技巧 找不等关系：关键词“至少”“最多”“不超过”“不低于”“大于”“小于”等，对应不等号≤、≥、<、>； 设未知数：一般设题目中所求的量为未知数，注意单位统一； 列不等式（组）：根据不等关系列出式子，注意题干中的隐含条件（如数量为正整数）； 求解后检验：不仅要检验解集是否正确，还要检验是否符合实际意义（如人数、物品数量不能为负数、分数）。 考点1：不等式的性质（基础必考点） 例1（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【解析】∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 变式题1若，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据不等式基本性质判断： 选项A：根据性质1，两边减3，不等号方向不变，得，A错误； 选项B：根据性质2，两边乘3（正数），不等号方向不变，得，B错误； 选项C：根据性质3，两边乘-3（负数），不等号方向改变，得，C正确； 选项D：根据性质2，两边除以3（正数），不等号方向不变，得，D错误。 变式题2下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】根据不等式的基本性质逐一判断： 选项A：若，当时，；当时，，故A错误； 选项B：根据不等式性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，故，B正确； 选项C：若，当时，根据性质3，不等号方向改变，即，故C错误； 选项D：若，当，时，，，此时，故D错误。 考点2：一元一次不等式的解法（基础必考点） 例题2（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【解析】， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 变式题1解不等式，并写出它的正整数解。 【答案】，正整数解为1、2 【解析】去分母：两边同乘6（2和3的最简公分母），得； 去括号：； 合并同类项：； 移项：； 合并同类项：； 系数化为1：两边同除以-5（负数），不等号方向改变，得（或）； 正整数解：小于1.8的正整数为1，故正整数解为1。 变式题2（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1） 【分析】先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； 【解析】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； 考点3：一元一次不等式组的解法（高频考点） 例题3（2025·山西·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】解不等式 ，得：； 解不等式 ，得：， ∴不等式组的解集为：； 故选C． 变式题1（2025·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【解析】 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 变式题2解不等式组。 【答案】 【解析】解不等式①：，去括号得，移项合并得； 解不等式②：，去分母得，移项合并得，系数化为1（除以负数，不等号改变）得； 确定解集：两个解集和，公共部分为。 考点4：在数轴上表示不等式组的解集（高频考点） 例题4（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解析】（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 变式题1（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【解析】（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 变式题2（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【解析】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 考点5：已知不等式组的解集求参数的值 例题5（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【解析】 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 变式题1若不等式组有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据不等式组有解的二级结论： 不等式组有解，说明两个不等式的解集有公共部分； 若，则公共部分为，有解；若，则解集无公共部分，无解； 故的取值范围是，对应选项B。 变式题2（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值是 ． 【答案】 【解析】根据不等式组解集的确定原则“大小小大中间找”： 不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分； 已知解集为，说明与的公共部分上限为3，故； 检验：当时，不等式组为，解集为，符合题意。 考点6：不等式组的整数解问题 例题6（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【解析】解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 变式题1解不等式组，并写出它的所有负整数解。 【答案】解集为，负整数解为 【解析】解不等式①：，移项得，系数化为1得； 解不等式②：，移项得，系数化为1得； 确定解集：； 负整数解：解集中的负整数只有。 变式题2（2025·重庆·中考真题）求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【解析】， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 考点7：列不等式（组）解决实际问题（高频考点） 例题7（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【解析】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 变式题1（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【解析】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． （试题选自近两年各地中考，模考试卷） 一．选择题（共23小题） 1．若，则　　 A． B． C． D． 2．如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． 3．若，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是　　 A． B． C． D． 6．不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 7．已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 8．不等式的解集是　　 A． B． C． D． 9．不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 10．不等式的解集是　　 A． B． C． D． 11．下列数中，能使不等式成立的的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 12．不等式的解集是　　 A． B． C． D． 13．若点在第二象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 14．已知实数，满足，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 15．不等式组的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 16．不等式组的解集是　　 A． B． C．或 D． 17．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 18．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 19．不等式组的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 20．不等式组的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 21．若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中的值为整数时，称“整点” 为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的是　　 A． B．若点为“整点”，则点的个数为3个 C．若点为“超整点”，则点的个数为1个 D．若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10 23．小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据图（九的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？　　 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 二．填空题（共13小题） 24．关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 　　． 25．请你写出一个解集为的一元一次不等式 　　． 26．不等式的解集是 　　． 27．不等式的解集为 　　． 28．关于的不等式有正数解，的值可以是 　　（写出一个即可）． 29．关于的不等式的解集是 　　，这个不等式的任意一个解都比关于的不等式的解大，则的取值范围是 　　． 30．对于实数，定义运算“※”为※，例如5※，则关于的不等式※有且只有一个正整数解时，的取值范围是 　　． 31．不等式组的解集是 　 　． 32．不等式组的解集是　 　． 33．不等式组的整数解有 　　个． 34．写出满足不等式组的一个整数解 　　． 35．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 　　． 36．“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是 　　． 三．解答题（共24小题） 37．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　　； （Ⅱ）解不等式②，得 　　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 　　． 38．解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 39．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 40．求不等式的正整数解． 41．解不等式组：． 42．解不等式组：． 43．解不等式组． 44．解不等式组：． 45．解不等式组：． 46．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 47．求不等式组的整数解． 48．解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 49．求不等式组的整数解． 50．春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？ 51．某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买、两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 52．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元；若购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 53．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的，两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个款比购进2个款多用120元；购进1个款和2个款共用200元． （1）分别求出，两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买款纪念品多少个？ 54．刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买、两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件种湘绣作品与2件种湘绣作品共需要700元，购买2件种湘绣作品与3件种湘绣作品共需要1200元． （1）求种湘绣作品和种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买种湘绣作品和种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买种湘绣作品多少件？ 55．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 56．为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元个，干粉灭火器的单价为380元个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 57．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价10元，种水果收购单价15元． （1）求，两种水果各购进多少千克； （2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求种水果的最低销售单价． 58．某商场购进，两种商品，已知购进3件商品比购进4件商品费用多60元；购进5件商品和2件商品总费用为620元． （1）求，两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数最多为多少？ 59．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件品种柑橘礼盒和15件品种柑橘礼盒的总价共3500元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共1000盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 60．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： （1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ （2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 不等式与不等式组 不等式与不等式组是中考数学的核心基础专题，是刻画现实世界中不等关系的重要工具，承接一元一次方程知识，也是后续学习一次函数、二次函数中取值范围问题的关键铺垫。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题，占分比重约6%-8%，核心考查学生的运算能力、逻辑推理能力和实际应用能力。 核心考点 ①不等式的定义、性质及解集（重点考查不等式的基本性质3，即两边同乘/除以负数，不等号方向改变）； ②一元一次不等式的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）及解集表示； ③一元一次不等式组的解法（分别解两个不等式，确定公共解集）及解集在数轴上的表示； ④由不等式（组）的解集求参数的取值范围（含无解、有解、整数解等情况）； ⑤列一元一次不等式（组）解决实际问题（方案设计、最值、取值范围等，常与经济、行程、工程问题结合）。 考情分析 ①基础题型：侧重不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法及解集表示，难度较低； ②中档题型：侧重由不等式（组）的解集求参数、不等式组的整数解，难度中等； ③创新题型：侧重不等式（组）与函数、方程的综合应用，或复杂实际情境的方案设计，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1.不等式的定义 用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式； 示例：、是不等式，（等式）、（代数式）不是不等式。 2.不等式的基本性质（中考高频考点，易错点） 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变； 即：若，则（为任意数或整式）； 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 即：若，，则（或）； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 即：若，，则（或）； 易错提醒：性质3是中考易错点，尤其在去分母、系数化为1时，忘记改变不等号方向。 3.不等式的解集 能使不等式成立的未知数的所有取值，叫做不等式的解集（注意：解集是一个范围，不是单个解）； 解集的表示方法： 文字表示：如“大于2且小于等于5”； 符号表示：如； · 数轴表示：“<”“>”用空心圆点，“≤”“≥”用实心圆点，大于向右画，小于向左画。 4.一元一次不等式的定义与解法 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式； 解法步骤（与一元一次方程类似，注意性质3的应用）： ①去分母：在不等式两边同乘各分母的最简公分母（注意：公分母为负数时，不等号方向改变）； ②去括号：根据去括号法则（括号前是负号，括号内各项要变号）； ③移项：把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边（移项要变号）； ④合并同类项：将同类项合并，化为（或、、）的形式； ⑤系数化为1：在不等式两边同除以未知数的系数（注意：时，不等号方向改变）。 5.一元一次不等式组的定义与解法 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组； 不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；若没有公共部分，则该不等式组无解； 解集的四种情况（设）： ，解集为（同大取大）； ，解集为（同小取小）； ，解集为（大小小大中间找）； ，解集为无解（大大小小找不到）。 解法步骤： ①分别解不等式组中的每个一元一次不等式； ②将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来； ③找出它们的公共部分，即为不等式组的解集（若无公共部分，则无解）。 （二）二级结论（中考高频应用，快速解题） 1.不等式解法易错点汇总 去分母时，漏乘不含分母的项（如，漏乘1会导致错误）； 去括号时，括号前是负号，括号内各项未变号； 移项时忘记变号； 系数化为1时，未判断系数的正负，导致不等号方向错误（重中之重）。 2.不等式组参数问题核心结论 若不等式组有解，则；若无解，则； 若不等式组有解，则；若无解，则； 若不等式组有解，则；若无解，则。 3.整数解问题技巧 先求出不等式（组）的解集，再找出解集中的整数，注意端点值是否包含（看不等号是否带等号）； 若已知整数解的个数，可先确定整数解的范围，再反向求参数的取值范围（注意边界值的取舍，常用“临界值检验法”）。 4.实际应用建模技巧 找不等关系：关键词“至少”“最多”“不超过”“不低于”“大于”“小于”等，对应不等号≤、≥、<、>； 设未知数：一般设题目中所求的量为未知数，注意单位统一； 列不等式（组）：根据不等关系列出式子，注意题干中的隐含条件（如数量为正整数）； 求解后检验：不仅要检验解集是否正确，还要检验是否符合实际意义（如人数、物品数量不能为负数、分数）。 考点1：不等式的性质（基础必考点） 例1（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【解析】∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 变式题1若，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据不等式基本性质判断： 选项A：根据性质1，两边减3，不等号方向不变，得，A错误； 选项B：根据性质2，两边乘3（正数），不等号方向不变，得，B错误； 选项C：根据性质3，两边乘-3（负数），不等号方向改变，得，C正确； 选项D：根据性质2，两边除以3（正数），不等号方向不变，得，D错误。 变式题2下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】根据不等式的基本性质逐一判断： 选项A：若，当时，；当时，，故A错误； 选项B：根据不等式性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，故，B正确； 选项C：若，当时，根据性质3，不等号方向改变，即，故C错误； 选项D：若，当，时，，，此时，故D错误。 考点2：一元一次不等式的解法（基础必考点） 例题2（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【解析】， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 变式题1解不等式，并写出它的正整数解。 【答案】，正整数解为1、2 【解析】去分母：两边同乘6（2和3的最简公分母），得； 去括号：； 合并同类项：； 移项：； 合并同类项：； 系数化为1：两边同除以-5（负数），不等号方向改变，得（或）； 正整数解：小于1.8的正整数为1，故正整数解为1。 变式题2（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1） 【分析】先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； 【解析】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； 考点3：一元一次不等式组的解法（高频考点） 例题3（2025·山西·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】解不等式 ，得：； 解不等式 ，得：， ∴不等式组的解集为：； 故选C． 变式题1（2025·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【解析】 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 变式题2解不等式组。 【答案】 【解析】解不等式①：，去括号得，移项合并得； 解不等式②：，去分母得，移项合并得，系数化为1（除以负数，不等号改变）得； 确定解集：两个解集和，公共部分为。 考点4：在数轴上表示不等式组的解集（高频考点） 例题4（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解析】（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 变式题1（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【解析】（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 变式题2（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【解析】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 考点5：已知不等式组的解集求参数的值 例题5（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【解析】 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 变式题1若不等式组有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据不等式组有解的二级结论： 不等式组有解，说明两个不等式的解集有公共部分； 若，则公共部分为，有解；若，则解集无公共部分，无解； 故的取值范围是，对应选项B。 变式题2（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值是 ． 【答案】 【解析】根据不等式组解集的确定原则“大小小大中间找”： 不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分； 已知解集为，说明与的公共部分上限为3，故； 检验：当时，不等式组为，解集为，符合题意。 考点6：不等式组的整数解问题 例题6（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【解析】解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 变式题1解不等式组，并写出它的所有负整数解。 【答案】解集为，负整数解为 【解析】解不等式①：，移项得，系数化为1得； 解不等式②：，移项得，系数化为1得； 确定解集：； 负整数解：解集中的负整数只有。 变式题2（2025·重庆·中考真题）求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【解析】， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 考点7：列不等式（组）解决实际问题（高频考点） 例题7（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【解析】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 变式题1（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【解析】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． （试题选自近两年各地中考，模考试卷） 一．选择题（共23小题） 1．若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】不等式的性质 【解析】若，两边同时加上3得，则不符合题意； 若，两边同时减去2得，则不符合题意； 若，两边同时乘得，则不符合题意； 若，两边同时乘2得，则符合题意； 故选． 2．如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】不等式的性质 【解析】如果，两边同时加上5得，则不符合题意； 如果，两边同时减去5得，则不符合题意； 如果，两边同时乘5得，则符合题意； 如果，两边同时乘得，则不符合题意； 故选． 3．若，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】不等式的性质 【解析】若，不等式两边加1可得，故不合题意，符合题意， 根据，得不到，，故、不符合题意． 故选． 4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】 【考点】不等式的性质 【解析】由题意得，， ， 图中两人的对话体现的数学原理是若，则． 故选． 5．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】不等式的解集 【解析】， ； 、，无解，故此选项符合题意； 、的解集是，故此选项不符合题意； 、的解集是，故此选项不符合题意； 、的解集是，故此选项不符合题意； 故选． 6．不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】在数轴上表示不等式的解集 【解析】不等式的解集在数轴上表示为：． 故选． 7．已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】绝对值；在数轴上表示不等式的解集 【解析】， ， ． 故选． 8．不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式 【解析】， 移项，得． 故选． 9．不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【解析】， ， 在数轴上表示为： ． 故选． 10．不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式 【解析】去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 故选． 11．下列数中，能使不等式成立的的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【考点】解一元一次不等式 【解析】解不等式， 得． 故选． 12．不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式 【解析】， ， ， ； 故选． 13．若点在第二象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】点的坐标；解一元一次不等式组 【解析】点在第二象限， ， 解得：； 故选． 14．已知实数，满足，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一元一次不等式的应用 【解析】，， ， ，即 ，故选项错误，不合题意． ，， ，故选项错误，不合题意． 由得，，， 由得，，， ，故选项正确，符合题意． ，选项错误，不合题意． 故选． 15．不等式组的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【解析】由，得， 所以不等式组的解集在数轴上表示为： ． 故选． 16．不等式组的解集是　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式组 【解析】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为． 故选． 17．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式组 【解析】解不等式，得：， 关于的不等式组的解集为， ， ． 故选． 18．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【解析】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 将两个不等式的解集表示在数轴上如下： 故选． 19．不等式组的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【解析】解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选． 20．不等式组的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【解析】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选． 21．若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】实数与数轴；解一元一次不等式组 【解析】由题意可得， 即， 解得：， 故选． 22．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中的值为整数时，称“整点” 为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的是　　 A． B．若点为“整点”，则点的个数为3个 C．若点为“超整点”，则点的个数为1个 D．若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】 【考点】解一元一次不等式组；坐标与图形性质 【解析】点在第二象限， ，解得：， 故选项不正确，不符合题意； 点为“整点”， 为整数， 又， ，，0，1， 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； “整点” 的个数是4个， 故选项不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义得：当时，点是“超整点”， 点为“超整点”，则点的个数为1个， 故选项正确，符合题意； 当点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和为：， 故选项不正确，不符合题意． 故选． 23．小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据图（九的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？　　 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 【答案】 【考点】一元一次不等式的应用 【解析】设改搭公交车上下班天， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为308， 至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选． 二．填空题（共13小题） 24．关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 　　． 【答案】． 【考点】在数轴上表示不等式的解集 【解析】这个不等式组的解集是：． 故答案为：． 25．请你写出一个解集为的一元一次不等式 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】一元一次不等式的定义 【解析】（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 26．不等式的解集是 　　． 【答案】． 【考点】解一元一次不等式 【解析】， ， ， ， 不等式的解集是：， 故答案为：． 27．不等式的解集为 　　． 【答案】． 【考点】解一元一次不等式 【解析】， ， ， ． 故答案为：． 28．关于的不等式有正数解，的值可以是 　0（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一）． 【考点】解一元一次不等式 【解析】原不等式整理得：， 解得：， 原不等式有正数解， ， 解得：， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 29．关于的不等式的解集是 　　，这个不等式的任意一个解都比关于的不等式的解大，则的取值范围是 　　． 【答案】；． 【考点】解一元一次不等式 【解析】， ， ， ； ， ， ， ， 故答案为：；． 30．对于实数，定义运算“※”为※，例如5※，则关于的不等式※有且只有一个正整数解时，的取值范围是 　　． 【答案】． 【考点】一元一次不等式的整数解 【解析】由题知， ※， 所以， 解得． 因为此不等式有且只有一个正整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 31．不等式组的解集是 　1＜x＜3　． 【考点】解一元一次不等式组．菁 【答案】1＜x＜3． 【解析】， 由①得，x＞1， 由②得，x＜3， ∴原不等式组的解集为：1＜x＜3． 故答案为：1＜x＜3． 32．不等式组的解集是　　． 【考点】：解一元一次不等式组 【解析】， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集是：． 故答案为：． 33．不等式组的整数解有 　4　个． 【答案】4． 【考点】一元一次不等式组的整数解 【解析】解不等式得， ， 解不等式得， ， 所以不等式组的解集为：． 所以不等式组的整数解为：，0，1，2， 即不等式组有4个整数解． 故答案为：4． 34．写出满足不等式组的一个整数解 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解 【解析】， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的一个整数解为：； 故答案为：． 35．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【考点】一元一次不等式组的整数解 【解析】解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组恰有3个整数解， ， 即． 故答案为：． 36．“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是 　　． 【答案】． 【考点】一元一次不等式组的应用 【解析】 ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 三．解答题（共24小题） 37．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　　； （Ⅱ）解不等式②，得 　　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 　　． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 【解析】解不等式①得， ． 解不等式②得， ． 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示， 所以原不等式组的解集为：． 故答案为：，，． 38．解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 【解析】， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： ． 39．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【解析】， ， ， ， ， ． 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 40．求不等式的正整数解． 【考点】一元一次不等式的整数解 【解析】， ， ， ， ． 所以此不等式的正整数解为：1，2． 41．解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组 【解析】解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为：． 42．解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组 【解析】解不等式得， ， 解不等式得， ， 所以不等式组的解集为：． 43．解不等式组． 【考点】解一元一次不等式组 【解析】， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 44．解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组 【解析】， 由①得：， 由②得：， ． 45．解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组 【解析】由，得：， 由，得：， 所以不等式组解集为． 46．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解 【解析】解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是， 整数解为0，1，2，3． 47．求不等式组的整数解． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解 【解析】， 由①得，； 由②得，， 故此不等式组的解集为：， 故不等式组的整数解为、0、1． 48．解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解 【解析】解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 所以整数解为1，2，3，整数解的和为6． 49．求不等式组的整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解 【解析】， 即， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是2，3，4． 50．春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？ 【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【解析】（1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得：， 解得：， 答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米； （2）该中学编织个大号中国结，则编织个小号中国结， 由题意得：， 解得：， 答：该中学最多编织15个大号中国结． 51．某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买、两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ， ， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台， ， ， 每天分拣快递的件数， 当时，每天分拣快递的件数最多为200万件， 选择购买型智能机器人5台，购买型智能机器人5台． 52．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元；若购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用 【解析】（1）设购买每辆型新能源公交车需万元，每辆型新能源公交车需万元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买每辆型新能源公交车需60万元，每辆型新能源公交车需80万元； （2）设购买辆型新能源公交车，则购买辆型新能源公交车， 根据题意得：， 解得：， 设该线路的年均载客总量为万人次，则， 即， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最大值，最大值为，此时． 答：当购买8辆型新能源公交车，2辆型新能源公交车时，年均载客总量最大，最大值为760万人次． 53．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的，两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个款比购进2个款多用120元；购进1个款和2个款共用200元． （1）分别求出，两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买款纪念品多少个？ 【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设出，两款纪念品的进货单价分别为，． 则， 解得， 答：，两款纪念品的进货单价分别为80元和60元． （2）设购买件种纪念品，件种纪念品， 根据题意，得， 解得， 答：至少应购买款纪念品30个． 54．刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买、两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件种湘绣作品与2件种湘绣作品共需要700元，购买2件种湘绣作品与3件种湘绣作品共需要1200元． （1）求种湘绣作品和种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买种湘绣作品和种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买种湘绣作品多少件？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：种湘绣作品的单价为300元，种湘绣作品的单价为200元； （2）设购买种湘绣作品件，则购买种湘绣作品件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为100． 答：最多能购买100件种湘绣作品． 55．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元； （2）设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 由题意得：， 解得：， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 56．为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元个，干粉灭火器的单价为380元个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【考点】一元一次不等式的应用 【解析】设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 57．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价10元，种水果收购单价15元． （1）求，两种水果各购进多少千克； （2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求种水果的最低销售单价． 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设种水果购进千克，种水果购进千克， 根据题意得：， 解得：． 答：种水果购进1000千克，种水果购进500千克； （2）设种水果的销售单价为元千克， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为12.5． 答：种水果的最低销售单价为12.5元千克． 58．某商场购进，两种商品，已知购进3件商品比购进4件商品费用多60元；购进5件商品和2件商品总费用为620元． （1）求，两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数最多为多少？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用 【解析】（1）设商品的进价是元件，商品的进价是元件， 根据题意得：， 解得：． 答：商品的进价是100元件，商品的进价是60元件； （2）设购进件商品，则购进件商品， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为20． 答：购进商品的件数最多为20件． 59．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件品种柑橘礼盒和15件品种柑橘礼盒的总价共3500元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共1000盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用 【解析】（1）设种柑橘礼盒每件的售价为元，则种柑橘礼盒每件的售价为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：种柑橘礼盒每件的售价为80元，种柑橘礼盒每件的售价为100元； （2）设销售种柑橘礼盒为盒，则销售种柑橘礼盒为盒， 由题意得：， 解得：， 设收益为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值， 此时，， 答：使农户收益最大，应该安排销售种柑橘礼盒为595盒，种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元． 60．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： （1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ （2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【解析】（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是元和元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， 为正整数， ，41，42， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱； （3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱． 学科网（北京）股份有限公司 $