19.3 二次根式的加法与减法课件2025-2026学年 人教版数学八年级下册

19.3二次根式的加法与减法 二次根式的加法与减法 （第1课时） 　　计算： 　　（1） ； 　　解：（1） ． 3 　　计算： 　　（2） ． 　　解：（2） ． 4 　　如何计算 ？ 思考 　　被开方数不同，无法直接相加． 　　如果 与 能化成被开方数相同的形式，那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行运算． 　　因此先把 ， 分别化简成 ， ，然后利用分配律将 和 合并， 　　如何计算 ？ 思考 　　即 　　（化简） 　　（利用分配律合并） ． 　　在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 新知 　　一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并． 　　可以合并的二次根式，叫作同类二次根式． 7 　　（1）根号外的因数（或因式）相加减； 　　（2）根指数和被开方数不变．如 ． 　　合并同类二次根式的方法： 　　例1　计算： 　　（1） ； （2） ； 　　解：（1） ； 　　（2） ； 　　例1　计算： 　　（3） ． 　　解：（1） ． 　　 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 　　二次根式加减运算的实质是合并被开方数相同的最简二次根式，整式加减运算的实质是合并同类项，都是把系数合并，最简二次根式或同类项不变． 　　例2　计算： 　　（1） ； 　　解：（1） ； 　　例2　计算： 　　（2） ． 　　解：（2） ． 　　与 能合并吗？ 　　判断二次根式是否可以合并的方法： 　　（1）先将二次根式化成最简二次根式； 　　（2）再看被开方数是否相同． 　　例3　二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的二次根式是（　　）． 　　A．①和④　　　　　　　B．②和③ 　　C．①和③　　　　　　　D．③和④ 　　解析：①　　　　 ；② ；③ ； ④ ，故能与 合并的二次根式是③和④． D 　　例4　有一块长为 7.5 dm、宽为 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？ 　　问题1．能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示吗？ 　　（1）够宽；（2）够长． 8 dm2 18 dm2 dm dm 　　分析：（1）因为大、小正方形木板的边长分别为 dm 和 dm， 5＞ ＞ ，所以木板够宽； 　　（2）两个大、小正方形木板边长的和为 dm． 　　问题2．如何比较 与 7.5 的大小？ 化成最简二次根式 利用分配律合并 ． 　　分析： 　　由 ＜1.5 可知 ＜7.5，木板够长． 　　由 ＜1.5 可知 ＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长． 　　因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板． 　　解：大正方形木板的边长为 dm．因为 ，所以这块木板够宽 ． 　　两个正方形木板的边长的和为 dm，而 ． 二次根式的加减 合并被开方数相同的二次根式 二次根式加减的方法和步骤 二次根式的加法与减法 （第2课时） 　　1．二次根式的乘法法则：___________________________． 　　3．二次根式的除法法则：_________________________． (a≥0，b≥0) (a≥0，b＞0) 　　2．积的算术平方根的性质：_________________________． (a≥0，b≥0) 　　4．商的算术平方根的性质：_________________________． (a≥0，b＞0) 22 　　5．二次根式的加减运算法则 　　二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 23 　　（3） ． 　　（2） ； 　　（1） ； 问题 　　计算： 　　（1） ； 问题 　　解：（1） ； 先算乘法 再算减法 　　（2） ； 问题 先算乘方 　　解：（2） ； 再算乘法 最后算减法 　　解：（3） ． 　　（3） ． 问题 先算括号 再算除法 最后算加法 　　二次根式的混合运算顺序：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的． 新知 　　如果计算结果含有二次根式，要将二次根式化简． 　　（2） ． 　　（1） ； 问题 　　计算： 　　解：（1） ； 　　（1） ； 问题 分配律 　　解：（2）解法 1： ． 　　（2） ． 问题 除法转化为乘法 分配律 　　（2） ． 问题 　　解：（2）解法 2： ． 多项式除以单项式 　　二次根式的混合运算法则：在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用． 新知 　　灵活应用二次根式的混合运算法则可减少运算步骤，并且运算结果不易出错． 　　例1　计算： 　　（1） ； 　　（2） ． 　　解：（1） ； 先算括号 　　（1） ； 　　乘法分配律是 a(b＋c)＝ab＋ac，而除法不存在分配律，即 a÷(b＋c)≠a÷b＋a÷c． 　　解：（2） ． 多项式乘多项式的法则 　　（2） ． 　　例2　设 a，b 分别是 的整数部分和小数部分． 　　（1）分别求出 a，b 的值； 　　∴ ，∴ ， 　　解：（1）∵ ，∴ ， 　　即 ， 　　∴a＝3， ． 　　例2　设 a，b 分别是 的整数部分和小数部分． 　　（2）求 3ab－7 的值． 　　解：（2）∵a＝3， ， 　　∴3ab－7 ． 二次根式的混合运算（一） 运算顺序 运算法则 二次根式的加法与减法 （第3课时） 　　1．平方差公式：___________________________． 　　2．完全平方公式：_________________________． (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 　　3．计算： ． 　　解：原式 ． 42 　　（2） ． 　　（1） ； 问题 　　计算： 　　（1） ； 问题 　　解：（1） ＝5－3 ＝2； (a＋b)(a－b)＝a2－b2 　　（2） ． 问题 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 　　解：（2） ． 　　在进行二次根式的混合运算时，能用乘法公式的要尽量用乘法公式，有时还需逆用公式，这样可使运算简便． 归纳 　　例1　计算： 　　（1） ； 　　分析： 　　例1　计算： 　　（1） ； 　　解：（1） ； 　　例1　计算： 　　（2） ． 　　解：（2） ． 逆用积的乘方anbn＝(ab)n 　　例2　计算： 　　（1） ； 　　解：（1） ； 逆用平方差公式 　　例2　计算： 　　（2） ； 　　分析： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 　　例2　计算： 　　（2） ； 　　解：（2）原式 ； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 52 　　例2　计算： 　　（3） ． 　　解：（3） ． 逆用积的乘方anbn＝(ab)n 二次根式混合运算中的三大妙招 　　（1）根据算式特点灵活选用乘法公式，并且根据解题需要逆用公式； 　　（2）应用乘法公式时，经常会把算式的一部分作为一个整体套用公式，但一定要注意变形时的符号问题； 　　（3）在乘方和乘法运算中，运用结合律调整运算顺序，也可简化运算． 二次根式的混合运算（二） (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 (ab)n＝anbn $