（篇一）第二单元因数和倍数·因数和倍数的认识篇【十三大考点】-2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元因数和倍数·因数和倍数的认识篇【十三大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元因数和倍数因数和倍数的认识篇 知专题内容 本专题以因数和倍数的认识为主，其中包括因数和倍数的概念、特征，找一个 数的因数和倍数，以及因数和倍数的生活实际应用等内容。 ⊙评价体系 基础：★；迁移：★★：综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 白讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第一部分内容，考查难度较小，题型多以填空、 选择等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 十三大考点 第二篇章 考点导航篇 具【考点一】因数和倍数的概念… .4 原【考点二】找一个数的因数 6 月【考点三】一个数的因数的特征7 原【考点四】新趋势关于因数特征的新式问题★★★… 8 原【考点五】因数的生活实际应用其一：利用列举法解决实际问题， .8 冥【考点六】因数的生活实际应用其二：利用推理法解决实际问题… .10 冥【考点七】因数的生活实际应用其三：利用公因数解决实际问题★★★★★ ..11 原【考点八】找一个数的倍数… .12 只【考点九】一个数的倍数的特征… .13 冥【考点十】倍数的生活实际应用其一利用推理法解决问题… .13 第2页共17页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 原【考点十一】倍数的生活实际应用其二：利用公倍数解决实际问题14 只【考点十二】因数和倍数综合应用其一找共有★★★… 15 只【考点十三】因数和倍数综合应用其二：猜数游戏★★★★★ .16 第3页共17页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 貝【考点一】因数和倍数的概念 耍方法点拨 1.因数和倍数的概念。 (1)在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因 数，被除数是除数和商的倍数。 (2)整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果ab=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或 约数)，a是b和c的倍数。 2.注意。 (1)概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 (2)概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能 说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 (3)0不作为研究因数与倍数的对象。 目考察形式 填空、选择、判断 蜀动态评价 ★ 吕【典型例题1】其一 1. 【整数除法】因为45÷9=5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( 2.【整数乘法】因为8×9=72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数：( 和( )都是72的因数。 肥【对应练习1】 在48÷6=8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 0【对应练习2】 72÷9=8,( )和( )是( )的因数，( )是( )和( 的倍数。 即【对应练习3】 在4×8=32中，4和8是32的( )数，32是4和8的( )数。 第4页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例惠2】其二 Ax5=B,已知A、B均为大于0的自然数，那么A是B的( ),B是A的( )。(填 因数”或倍数) 肥【对应练习1】 若b=2a(a、b为非零自然数)，则( )是( )的倍数，( )是( ) 的因数。 0【对应练习2】 如果m=4n(m、n都是非0的自然数)，那么m是n的( )数，n是m的( ) 数。 肥【对应练习3】 如果a3=b(a、b均为非0的自然数)，那么a是b的( ),b是a的( ) 第5页共17页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点二】找一个数的因数 冥方法点拨 1.找一个数的因数的方法。 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式， 两个因数都是这个数的因数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都 是这个数的因数。 2.表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1,2,3,6,9,18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到 大的顺序写在椭圆内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 18的因数 例如： 1,2,3, 6,9,18 且考察形式 填空、选择、计算 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题】 写出下面各数的因数。 42的因数 36的因数 肥【对应练习1】 )的因数只有1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 0【对应练习2】 20的因数有( ),30的因数有( ),既是20的因数，又是30的因数的数有 第6页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ) 肥【对应练习3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1234568101215203060 12的因数 60的因数 我发现：( )既是12的因数，又是60的因数。 只【考点三】一个数的因数的特征 买方法点拨 个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 已知一个自然数a,它的所有因数有1,3,7,21，那么a是( A.7 B.14 C.21 D.42 即【对应练习1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A.4 B.1 C.7 0【对应练习2】 28的最小因数是( ) A.1 B.2 C.4 0【对应练习3】 已知a是37的因数，那么( ) A.a只能是1 B.a只能是37 C.a是1或37 第7页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点四】新趋势关于因数特征的新式问题 冥方法点拨 熟练掌握因数的特征，解决问题。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★★ 合【典型例题】 一个自然数，它有5个因数，从小到大依次是a,b,c,d,e。已知a十e=17,那么b十d=( 肥【对应练习1】 如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]=1+2十3十6=12，那么[12]-[8]=( )。 肥【对应练习2】 6的因数有1,2,3,6，这几个因数的关系是：1+2+3=6.像6这样，等于除了它自身以外 的全部因数之和的数，叫作完全数。28的因数有( ),28( )完全数。（填“是”或不 是”) 肥【对应练习3】 一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a+f=l00,那么e十d=( )。 貝【考点五】因数的生活实际应用其一：利用列举法解决实际问题 冥方法点拨 生活中此类问题可转化成找因数的问题，找出一个数的因数后，筛选出符合 条件的因数即可。 目考察形式 填空、应用 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 1.端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每 次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 (1)一共有几种放法？ (2)每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 第8页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北 京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要 把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多 少种不同的装法？请一一列举出来。 职【对应练习1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 6本/箱 8本/箱 5本/箱 即【对应练习2】 妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是 每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 肥【对应练习3】 育才小学五年级(1)班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1 人和36人)，一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 第9页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点六】因数的生活实际应用其二：利用推理法解决实际问题 冥方法点拨 解决这类题时要根据条件进行推理，先找出已知数的所有因数，再根据取值 范围确定所求的数。 目考察形式 填空、应用 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子 装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 肥【对应练习1】 学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人 数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 即【对应练习2】 五(1)班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3 而小于10，可以分成几组？ 肥【对应练习3】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组， 每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 第10页共17页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·因数和倍数的认识篇【十三大考点】 专题名称 第二单元因数和倍数·因数和倍数的认识篇 专题内容 本专题以因数和倍数的认识为主，其中包括因数和倍数的概念、特征，找一个数的因数和倍数，以及因数和倍数的生活实际应用等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第一部分内容，考查难度较小，题型多以填空、选择等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十三大考点 【考点一】因数和倍数的概念 4 【考点二】找一个数的因数 6 【考点三】一个数的因数的特征 7 【考点四】新趋势·关于因数特征的新式问题 8 【考点五】因数的生活实际应用其一：利用列举法解决实际问题 8 【考点六】因数的生活实际应用其二：利用推理法解决实际问题 10 【考点七】因数的生活实际应用其三：利用公因数解决实际问题 11 【考点八】找一个数的倍数 12 【考点九】一个数的倍数的特征 13 【考点十】倍数的生活实际应用其一：利用推理法解决问题 13 【考点十一】倍数的生活实际应用其二：利用公倍数解决实际问题 14 【考点十二】因数和倍数综合应用其一：找共有 15 【考点十三】因数和倍数综合应用其二：猜数游戏 16 【考点一】因数和倍数的概念 方法点拨 1. 因数和倍数的概念。 （1）在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。 （2）整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果a÷b=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或约数），a是b和c的倍数。 2. 注意。 （1）概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 （2）概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 （3）0不作为研究因数与倍数的对象。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题1】其一 1．【整数除法】因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 2．【整数乘法】因为8×9＝72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是72的因数。 【对应练习1】 在48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。‌ 【对应练习2】 72÷9＝8，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【对应练习3】 在中，4和8是32的( )数，32是4和8的( )数。 【典型例题2】其二 ，已知均为大于0的自然数，那么是的( )，是的( )。（填“因数”或“倍数”） 【对应练习1】 若b＝2a（a、b为非零自然数），则( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 【对应练习2】 如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 【对应练习3】 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么a是b的( )，b是a的( )。 【考点二】找一个数的因数 方法点拨 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1，2，3，6，9，18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 例如： 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【对应练习1】 ( )的因数只有1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【对应练习2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 【对应练习3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  20  30  60 我发现：( )既是12的因数，又是60的因数。 【考点三】一个数的因数的特征 方法点拨 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 已知一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，那么a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【对应练习1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【对应练习2】 28的最小因数是( )。 A．1 B．2 C．4 【对应练习3】 已知a是37的因数，那么( )。 A．a只能是1 B．a只能是37 C．a是1或37 【考点四】新趋势·关于因数特征的新式问题 方法点拨 熟练掌握因数的特征，解决问题。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个自然数，它有5个因数，从小到大依次是a，b，c，d，e。已知a＋e＝17，那么b＋d＝( )。 【对应练习1】 如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 【对应练习2】 6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6.像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。28的因数有( )，28( )完全数。（填“是”或“不是”） 【对应练习3】 一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝100，那么e＋d＝( )。 【考点五】因数的生活实际应用其一：利用列举法解决实际问题 方法点拨 生活中此类问题可转化成找因数的问题，找出一个数的因数后，筛选出符合条件的因数即可。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 1. 端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 2. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【对应练习1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【对应练习2】 妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【对应练习3】 育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 【考点六】因数的生活实际应用其二：利用推理法解决实际问题 方法点拨 解决这类题时要根据条件进行推理，先找出已知数的所有因数，再根据取值范围确定所求的数。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 【对应练习1】 学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【对应练习2】 五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【对应练习3】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【考点七】因数的生活实际应用其三：利用公因数解决实际问题 方法点拨 灵活利用公因数解决实际问题 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有15人，女生有20人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【对应练习1】 休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【对应练习2】 三根铁丝分别长15米、18米和24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【对应练习3】 五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【考点八】找一个数的倍数 方法点拨 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 把一个数的倍数按从小到大的顺序排列，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，最后写一个句号。 例如：2的倍数有2，4，6，…。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“2的倍数”，再把2的倍数按从小到大的顺序排列在椭圆内，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句号。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 50以内4的倍数有( )。 【对应练习1】 写出50以内，所有17的倍数：( )。 【对应练习2】 写出下面各数的倍数（各写5个）。 1：( )；50：( )；75：( )。 【对应练习3】 写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        【考点九】一个数的倍数的特征 方法点拨 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【对应练习1】 一个数的最大因数是56，这个数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【对应练习3】 一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【考点十】倍数的生活实际应用其一：利用推理法解决问题 方法点拨 解决这类题时要根据条件进行推理，先找出已知数的所有倍数，再根据取值范围确定所求的数。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【对应练习1】 一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【对应练习2】 4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【对应练习3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【考点十一】倍数的生活实际应用其二：利用公倍数解决实际问题 方法点拨 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【对应练习1】 五（1）班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余。已知这个班的学生不到50名，这个班有多少名学生？ 【对应练习2】 五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【对应练习3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【考点十二】因数和倍数综合应用其一：找共有 方法点拨 找既是一个数的因数，又是另一个数的倍数的数的方法：可以先找出一个数的所有因数，再从这些因数中筛选出另一个数的倍数，也就找到了所求的数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是( )。 【对应练习1】 一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【对应练习2】 一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，这个数最小是( )。 【对应练习3】 一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【考点十三】因数和倍数综合应用其二：猜数游戏 方法点拨 1. 工程问题的意义。 工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【对应练习1】 猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－( )。 【对应练习2】 猜电话号码：0713— 提示：A—8的最小倍数；B—最小的自然数；C—5的最大因数；D—既是4的倍数，又是4的因数；E—它的所有因数是1、2、3、6；F—它的所有因数是1、3；G—它只有一个因数。 这个号码是：0731—( )。 【对应练习3】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·因数和倍数的认识篇【十三大考点】 专题名称 第二单元因数和倍数·因数和倍数的认识篇 专题内容 本专题以因数和倍数的认识为主，其中包括因数和倍数的概念、特征，找一个数的因数和倍数，以及因数和倍数的生活实际应用等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第一部分内容，考查难度较小，题型多以填空、选择等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十三大考点 【考点一】因数和倍数的概念 4 【考点二】找一个数的因数 7 【考点三】一个数的因数的特征 9 【考点四】新趋势·关于因数特征的新式问题 10 【考点五】因数的生活实际应用其一：利用列举法解决实际问题 12 【考点六】因数的生活实际应用其二：利用推理法解决实际问题 15 【考点七】因数的生活实际应用其三：利用公因数解决实际问题 17 【考点八】找一个数的倍数 19 【考点九】一个数的倍数的特征 21 【考点十】倍数的生活实际应用其一：利用推理法解决问题 22 【考点十一】倍数的生活实际应用其二：利用公倍数解决实际问题 24 【考点十二】因数和倍数综合应用其一：找共有 26 【考点十三】因数和倍数综合应用其二：猜数游戏 28 【考点一】因数和倍数的概念 方法点拨 1. 因数和倍数的概念。 （1）在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。 （2）整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果a÷b=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或约数），a是b和c的倍数。 2. 注意。 （1）概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 （2）概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 （3）0不作为研究因数与倍数的对象。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题1】其一 1．【整数除法】因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 【答案】 45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就是b的倍数，b就是a的因数；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 因为45÷9＝5，所以可以说9是45的因数，45是9的倍数。 2．【整数乘法】因为8×9＝72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是72的因数。 【答案】 8 9 8 9 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 【详解】因为8×9＝72，所以72÷8＝9，72÷9＝8，所以72是8的倍数，也是9的倍数；8和9都是72的因数。 【对应练习1】 在48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 6 48 48 6 【分析】根据题意，结合倍数与因数的定义可知，在整数除法中，‌如果所得的商是自然数而没有余数，‌那么被除数就是除数的倍数，‌而除数则是被除数的因数。‌在这个特定的例子中，‌48除以6的结果是一个没有余数的除法运算，‌因此可以确定6是48的因数，‌同时48是6的倍数。‌ 【详解】在48÷6＝8中，6是48的因数，‌同时48是6的倍数。‌ 【对应练习2】 72÷9＝8，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【答案】8；9；72；72；8；9 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。据此解答。 【详解】根据分析可知： ，和是的因数，是和的倍数。 【对应练习3】 在中，4和8是32的( )数，32是4和8的( )数。 【答案】 因 倍 【分析】如果（、、均为非0自然数），那么和是的因数，是和的倍数。据此解答。 【详解】因为，所以4和8是32的因数，32是4和8的倍数。 【典型例题2】其二 ，已知均为大于0的自然数，那么是的( )，是的( )。（填“因数”或“倍数”） 【答案】 因数 倍数 【分析】当A＝3时，B＝15，所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，即可回答此题。 【详解】当A＝3时，B＝15，所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，所以A和5是B的因数，B时A和5的倍数。 【对应练习1】 若b＝2a（a、b为非零自然数），则( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 【答案】 b a a b 【分析】由b＝2a可知，b÷a＝2，且a、b为非零自然数；根据在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数；据此解答。 【详解】若b＝2a（a、b为非零自然数），则（b）是（a）的倍数，（a）是（b）的因数。 【对应练习2】 如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 【答案】 倍 因 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），即m÷n＝4，那么m是n的倍数，n是m的因数。 【对应练习3】 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么a是b的( )，b是a的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数。 【详解】根据因数和倍数的含义，如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么a是b的倍数，b是a的因数。 【考点二】找一个数的因数 方法点拨 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1，2，3，6，9，18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到大的顺序写在椭圆内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 例如： 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的因数的方法，列举出42、36的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】 【对应练习1】 ( )的因数只有1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【答案】 1 2 4 【分析】通过列乘法算式：将这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自然数都是该数的因数。先列举出1、3、6的因数，再数出因数的个数即可。 【详解】1的因数：1；只有1个； 3的因数：1，3；有2个； 6的因数：1，2，3，6；有4个。 1的因数只有1个，3的因数有2个，6的因数有4个。 【对应练习2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 【答案】 1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、5、10 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出20和30的因数，再找到既是20的因数，又是30的因数的数即可。 【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5；20的因数有：1，2，4，5，10，20； 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 既是20的因数，又是30的因数有：1，2，5，10。 20的因数有1，2，4，5，10，20，30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，既是20的因数，又是30的因数的数有1，2，5，10。 【对应练习3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  20  30  60 我发现：( )既是12的因数，又是60的因数。 【答案】见详解；1，2，3，4，6，12 【分析】先从所给的数中挑选出12的因数和60的因数，填入相应的方框里；然后从中找出既是12的因数，又是60的因数的数即可。 【详解】 我发现：1，2，3，4，6，12既是12的因数，又是60的因数。 【考点三】一个数的因数的特征 方法点拨 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 已知一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，那么a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【答案】C 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。据此解题。 【详解】一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，说明这个数的最大因数是21，那么a是21。 故答案为：C 【对应练习1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【答案】C 【分析】假如a×b＝c（a、b、c都是整数），那么我们称a和b就是c的因数，据此解答。 【详解】A．4的因数有：1、2、4，有3个因数，不符合题意； B．1的因数只有一个，即1本身，不符合题意； C．7只有l和它本身两个因数，符合题意； 故答案为：C 【对应练习2】 28的最小因数是( )。 A．1 B．2 C．4 【答案】A 【分析】 根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】28的最小因数是1。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，掌握最小因数的求法是解答本题的关键。 【对应练习3】 已知a是37的因数，那么( )。 A．a只能是1 B．a只能是37 C．a是1或37 【答案】C 【分析】已知a是37的因数，先列举出37的所有因数，再确定a的值。 【详解】37的因数：1，37； 已知a是37的因数，那么a是1或37。 故答案为：C 【考点四】新趋势·关于因数特征的新式问题 方法点拨 熟练掌握因数的特征，解决问题。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个自然数，它有5个因数，从小到大依次是a，b，c，d，e。已知a＋e＝17，那么b＋d＝( )。 【答案】10 【分析】已知一个自然数的5个因数从小到大依次是a，b，c，d，e，其中a最小，e最大；根据“一个数的最小因数是1，最大因数是它本身”可知，a是1，因为a＋e＝17，可得出e＝16，那么这个自然数是16； 列举出16的所有因数，按从小到大的顺序排列，可得出b、d的值，再用加法求出它们的和。 【详解】a＝1 e＝17－1＝16 16的因数：1，2，4，8，16； 即a＝1，b＝2，c＝4，d＝8，e＝16； b＋d＝2＋8＝10 那么b＋d＝10。 【对应练习1】 如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 【答案】13 【分析】根据题意[a]表示a的全部因数的和，据此先分别求出[12]与[8]的因数和，然后作差，即可解答。 【详解】12的因数有1、2、3、4、6、12； 8的因数有1、2、4、8。 [12]＝1＋2＋3＋4＋6＋12＝28 [8]＝1＋2＋4＋8＝15 [12]－[8] ＝28－15 ＝13 如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝13。 【对应练习2】 6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6.像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。28的因数有( )，28( )完全数。（填“是”或“不是”） 【答案】 1，2，4，7，14，28 是 【分析】一个数能被一些数整除，则这些数就是这个数的因数。可先找出28的因数，运用两个整数乘积等于28找出因数，再根据题干中的关系式进行计算、判断，进而得出答案。 【详解】28的因数有：1，2，4，7，14，24，则除了它本身28以外因数之和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，是这个数本身。故28是完全数。 【对应练习3】 一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝100，那么e＋d＝( )。 【答案】44 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因此a＝1，f＝100－1，据此确定这个自然数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。找出这个自然数的所有因数，从小到大排列，据此确定e和d，求和即可。 【详解】100－1＝99 99＝1×99＝3×33＝9×11 99的因数有：1、3、9、11、33、99 e＝33、d＝11 e＋d＝33＋11＝44。 【考点五】因数的生活实际应用其一：利用列举法解决实际问题 方法点拨 生活中此类问题可转化成找因数的问题，找出一个数的因数后，筛选出符合条件的因数即可。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 1. 端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【详解】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 2. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【答案】一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【对应练习1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【详解】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 【对应练习2】 妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 【对应练习3】 育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 【答案】7种 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。 【详解】36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成2行或者18行； 36＝3×12，排成3行或者排成12行； 36＝4×9，排成4行或者排成9行； 36＝6×6，排成6行。 答：一共有7种不同的排法。 【考点六】因数的生活实际应用其二：利用推理法解决实际问题 方法点拨 解决这类题时要根据条件进行推理，先找出已知数的所有因数，再根据取值范围确定所求的数。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 【答案】3种；见详解 【分析】根据题意，要把48块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每个盒子装月饼的数量一定是48的因数； 先列举出48的所有因数，再找出大于3且小于9的因数，即是每盒装月饼的数量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在3～9之间的因数有：4，6，8； 即有3种装法：每盒装4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有3种装法：每盒装4块需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装8块需要6个盒子。 【对应练习1】 学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【对应练习2】 五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【答案】6组或者9组 【分析】由题意可知，分成的小组的个数是54的因数，先求出54的因数，再结合组数大于3而小于10，据此找出可以分成几组。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于3而小于10，所以可以分成6组或者9组。 答：可以分成6组或者9组。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习3】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【答案】3种 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于4，不多于10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。 【考点七】因数的生活实际应用其三：利用公因数解决实际问题 方法点拨 灵活利用公因数解决实际问题 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有15人，女生有20人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【答案】5组；3人 【分析】由题意可知：分组后每个小组的男生和女生人数分别相等，要求最多能分成几个小组，只要求出15和20的最大公因数即可解决问题。 【详解】15＝5×3 20＝5×2×2 所以15和20的最大公因数是5，每组男生3人。 答：最多可以分成5组，每组男生3人。 【点睛】灵活运用最大公因数的求解方法来解决实际问题。 【对应练习1】 休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【答案】8个 【分析】40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，也就是求40和56的最大公因数。 【详解】40＝2×2×2×5 56＝2×2×2×7 40和56的最大公因数是2×2×2＝8 答：这个班里最多有8个五星级学生。 【点睛】考查最大公因数的应用。 【对应练习2】 三根铁丝分别长15米、18米和24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【答案】3米；19段 【分析】将三根铁丝剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段铁丝的长度就是求15、18和24的最大公因数；三根铁丝总长÷一共能剪的段数＝每段的长度。 【详解】15的因数有1，3，5，15； 18的因数有1，2，3，6，9，18； 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24； 15、18、24的最大公因数是3； （段） 答：每段长3米，一共能剪19段。 【点睛】本题考查最大公因数知识点，运用最大公因数知识解决实际问题。 【对应练习3】 五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】14个 【分析】用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。 【详解】57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有14个同学得到奖品。 【点睛】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。 【考点八】找一个数的倍数 方法点拨 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 把一个数的倍数按从小到大的顺序排列，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，最后写一个句号。 例如：2的倍数有2，4，6，…。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“2的倍数”，再把2的倍数按从小到大的顺序排列在椭圆内，每两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句号。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 50以内4的倍数有( )。 【答案】4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48 【分析】 根据找一个数的倍数的方法，进行列举即可。 【详解】 50以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48。 【对应练习1】 写出50以内，所有17的倍数：( )。 【答案】17、34 【分析】求一个数的倍数的求法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答。 【详解】由分析得：17×1＝17 17×2＝34 17×3＝51 51＞50，所以在50以内，17的倍数有17、34。 【点睛】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的，故在求一个数的倍数时，通常要对数的范围加以限制。 【对应练习2】 写出下面各数的倍数（各写5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【答案】 1、2、3、4、5 50、100、150、200、250 75、150、225、300、375 【分析】求一个数倍数的方法： 这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5，…，就得到这个数的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍。据此解答。 【详解】1的倍数：（1、2、3、4、5）； 50的倍数：（50、100、150、200、250）； 75的倍数：（75、150、225、300、375）。 【对应练习3】 写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        【答案】见详解 【分析】根据找一个数的倍数的方法，写出7和13的倍数，各写5个即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】 （答案不唯一） 【考点九】一个数的倍数的特征 方法点拨 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。 【详解】24的最大因数是24，8的最小倍数是8，24÷8＝3，即24是8的倍数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是8，最大是24。 【对应练习1】 一个数的最大因数是56，这个数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )。 【答案】 56 18 【分析】一个数的最大公因数是它本身，一个数的最小公倍数是它本身，据此解答即可。 【详解】一个数的最大因数是56，那么这个数就是56；一个数的最小倍数是18，那么这个数是18。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是解答本题的关键。 【对应练习3】 一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 24 8 【分析】根据题意，这个数需同时满足是8的倍数和24的因数。先分别列出24的因数和8的倍数，再找出它们的公共部分，最后确定最大值和最小值。 【详解】8的倍数：8，16，24，32，……； 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 所以既是24的因数又是8的倍数的数有8和24；这个数最大是24，最小是8。 一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数最大是24，最小是8。 【考点十】倍数的生活实际应用其一：利用推理法解决问题 方法点拨 解决这类题时要根据条件进行推理，先找出已知数的所有倍数，再根据取值范围确定所求的数。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 【对应练习1】 一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 【点睛】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 【对应练习2】 4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【详解】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 【对应练习3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【详解】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 【考点十一】倍数的生活实际应用其二：利用公倍数解决实际问题 方法点拨 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】72个 【分析】从题意可知：这些苹果的个数是12和18的公倍数，是12和18的公倍数中大于70小于80的数。因此先用分解质因数的方法，求出12和18的最小公倍数，再找出在70～80的12和18的公倍数即可。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有72个苹果。 【对应练习1】 五（1）班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余。已知这个班的学生不到50名，这个班有多少名学生？ 【答案】48名 【分析】每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余，说明总人数是12和16的公倍数，求出12和16的最小公倍数，再通过最小公倍数确定40至50之间的公倍数即可，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（名） 48＜50 答：这个班有48名学生。 【对应练习2】 五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【答案】48人 【分析】4人分成一个小组，正好分完；6个人分成一个小组，也正好分完，说明总人数是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，用最小公倍数分别乘2、3、4……找到40至50之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（人） 12×2＝24（人） 12×3＝36（人） 12×4＝48（人） 40＜48＜50 答：五年级（1）班有48人。 【对应练习3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【答案】13：26 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。求出外层和内层间隔时间的最小公倍数是外层和内层同时喷的间隔时间，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时喷水时间。 【详解】12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 12：50＋36分钟＝13：26 答：下次同时喷水是13：26。 【考点十二】因数和倍数综合应用其一：找共有 方法点拨 找既是一个数的因数，又是另一个数的倍数的数的方法：可以先找出一个数的所有因数，再从这些因数中筛选出另一个数的倍数，也就找到了所求的数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是( )。 【答案】4 【分析】先列举出4的倍数和16的因数，再从16的因数中找出哪些数是4的倍数，由此确定符合要求的最小的数。 【详解】4的倍数：4，8，12，16，20…； 16的因数：1，2，4，8，16； 一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数可能是4、8、16，最小是4。 填空如下： 一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是（4）。 【对应练习1】 一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 4 【分析】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 【对应练习2】 一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，这个数最小是( )。 【答案】18 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出54的所有因数和54以内9的倍数，最后从这些数中找出符合条件的最小数，据此解答。 【详解】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 由上可知，一个数既是54的因数，又是9的倍数，这个数可能是9，18，27，54，同时有因数2和3，这个数最小是18。 【对应练习3】 一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【答案】15 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；据此可知：这个数的最小因数是1，用16减去1求出这个数的最大因数，也就是这个数本身，一个数的最小倍数是它本身。 【详解】16－1＝15 所以这个数的最小倍数是15。 【考点十三】因数和倍数综合应用其二：猜数游戏 方法点拨 1. 工程问题的意义。 工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【对应练习1】 猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－( )。 【答案】8054631 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。 【详解】8的最小倍数是8；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；6的因数有1、2、3、6；3的因数有1、3；只有1个因数的是1。所以这个电话号码是0871－8054631。 【点睛】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 【对应练习2】 猜电话号码：0713— 提示：A—8的最小倍数；B—最小的自然数；C—5的最大因数；D—既是4的倍数，又是4的因数；E—它的所有因数是1、2、3、6；F—它的所有因数是1、3；G—它只有一个因数。 这个号码是：0731—( )。 【答案】8054631 【分析】根据题意可知，一个数的最小倍数是它自己，最小的自然数是0，一个数的最大因数是它自己，一个数既是它自己的倍数，也是它自己的因数，已知一个数的所有因数，用最小的因数与最大的因数相乘即可得到这个数，1只有一个因数，据此解答。 【详解】根据分析可知， A—8的最小倍数是8；B—最小的自然数是0；C—5的最大因数是5；D—既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；E—它的所有因数是1、2、3、6，这个数是6；F—它的所有因数是1、3，这个数是3；G—它只有一个因数，这个数是1。 这个号码是：0731—8054631。 【点睛】一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的。 【对应练习3】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【详解】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共30页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元因数和倍数·因数和倍数的认识篇【十三大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元因数和倍数因数和倍数的认识篇 知专题内容 本专题以因数和倍数的认识为主，其中包括因数和倍数的概念、特征，找一个 数的因数和倍数，以及因数和倍数的生活实际应用等内容。 ⊙评价体系 基础：★；迁移：★★：综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 白讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第一部分内容，考查难度较小，题型多以填空、 选择等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 十三大考点 第二篇章 考点导航篇 具【考点一】因数和倍数的概念… .4 原【考点二】找一个数的因数 .7 月【考点三】一个数的因数的特征9 原【考点四】新趋势关于因数特征的新式问题★★★… .10 原【考点五】因数的生活实际应用其一：利用列举法解决实际问题， .12 冥【考点六】因数的生活实际应用其二：利用推理法解决实际问题… .15 冥【考点七】因数的生活实际应用其三：利用公因数解决实际问题★★★★★ .17 原【考点八】找一个数的倍数… ..19 只【考点九】一个数的倍数的特征… .21 冥【考点十】倍数的生活实际应用其一：利用推理法解决问题… ...22 第2页共30页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 原【考点十一】倍数的生活实际应用其二：利用公倍数解决实际问题24 只【考点十二】因数和倍数综合应用其一找共有★★★… .26 只【考点十三】因数和倍数综合应用其二：猜数游戏★★★★★ .28 第3页共30页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 貝【考点一】因数和倍数的概念 耍方法点拨 1. 因数和倍数的概念。 (1)在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因 数，被除数是除数和商的倍数。 (2)整数乘法中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 如果ab=c或b×c=a(a、b、c均为非0自然数)，那么b和c是a的因数（或 约数)，a是b和c的倍数。 2.注意。 (1)概念的条件（前提）：被除数、除数和商都是大于0的自然数。 (2)概念的依存性：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在。不能 说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。 (3)0不作为研究因数与倍数的对象。 目考察形式 填空、选择、判断 蜀动态评价 ★ 吕【典型例题1】其一 1. 【整数除法】因为45÷9=5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( 【答案】 45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除(b≠0)，a就是b的倍数，b就是a 的因数；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 因为45÷9=5，所以可以说9是45的因数，45是9的倍数。 2.【整数乘法】因为8×9=72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数：( 和( )都是72的因数。 【答案】 8 9 8 9 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0），我们就说除数是被除 数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 第4页共30页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】因为8×9=72，所以72÷8=9,729=8，所以72是8的倍数，也是9的倍数：8和 9都是72的因数。 肥【对应练习1】 在48÷6=8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 6 48 48 6 【分析】根据题意，结合倍数与因数的定义可知，在整数除法中，如果所得的商是自然数而没 有余数，那么被除数就是除数的倍数，而除数则是被除数的因数。在这个特定的例子中，48 除以6的结果是一个没有余数的除法运算，因此可以确定6是48的因数，同时48是6的倍数。 【详解】在48÷6=8中，6是48的因数，同时48是6的倍数。 肥【对应练习2】 72÷9=8,( )和( )是( )的因数，( )是( )和( 的倍数。 【答案】8：9：72：72：8；9 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除 数是除数和商的倍数。据此解答。 【详解】根据分析可知 72÷9=8,(8)和(9)是(72)的因数，(72)是(8)和(9)的倍数。 即【对应练习3】 在4×8=32中，4和8是32的( )数，32是4和8的( )数。 【答案】 因 倍 【分析】如果a×b=c(a、b、c均为非0自然数)，那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 据此解答。 【详解】因为4×8=32，所以4和8是32的因数，32是4和8的倍数。 侣【典型例题2】其二 A×5=B,已知A、B均为大于0的自然数，那么A是B的( ),B是A的( )。(填 “因数”或倍数) 【答案】 因数 倍数 【分析】当A=3时，B=15,所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，即可回答此题。 第5页共30页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【详解】当A=3时，B=15,所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，所以A和5是 B的因数，B时A和5的倍数。 0【对应练习1】 若b=2a(a、b为非零自然数)，则( )是( )的倍数，( )是( 的因数。 【答案】 b a a b 【分析】由b=2a可知，b-a=2,且a、b为非零自然数；根据在整数除法中，如果商是整数 且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数：据此解答。 【详解】若b=2a(a、b为非零自然数)，则(b)是(a)的倍数，(a)是(b)的因数。 肥【对应练习2】 如果m=4n(m、n都是非0的自然数)，那么m是n的( )数，n是m的( 数。 【答案】 倍 因 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被 除数的因数 【详解】如果m=4n(m、n都是非0的自然数)，即mn=4,那么m是n的倍数，n是m 的因数。 肥【对应练习3】 如果a÷3=b(a、b均为非0的自然数)，那么a是b的( ),b是a的( 【答案】 倍数 因数 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果ab=c(a、b、c都是非0的自 然数)那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数。 【详解】根据因数和倍数的含义，如果a3=b(a、b均为非0的自然数)，那么a是b的倍 数，b是a的因数。 第6页共30页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点二】找一个数的因数 冥方法点拨 1.找一个数的因数的方法。 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式， 两个因数都是这个数的因数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都 是这个数的因数。 2.表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 将18的因数按从小到大的顺序排，中间用逗号隔开，最后加句号。 例如：18的因数有1,2,3,6,9,18。 ②集合表示法。 先画一个椭圆，在椭圆的上面写上“18的因数”，再把18的因数按从小到 大的顺序写在椭圆内，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后不用加句号。 18的因数 例如： 1,2,3, 6,9,18 且考察形式 填空、选择、计算 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题】 写出下面各数的因数。 42的因数 36的因数 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的因数的方法，列举出42、36的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法 算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】 第7页共30页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 42的因数 36的因数 1,2,3,6,7, 1,2,3,4,6, 14,21,42 9,12,18,36 肥【对应练习1】 )的因数只有1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【答案】 2 4 【分析】通过列乘法算式：将这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自然数都是该数 的因数。先列举出1、3、6的因数，再数出因数的个数即可。 【详解】1的因数：1；只有1个： 3的因数：1,3：有2个： 6的因数：1,2,3,6：有4个。 1的因数只有1个，3的因数有2个，6的因数有4个。 0【对应练习2】 20的因数有( ),30的因数有( ),既是20的因数，又是30的因数的数有 ( ) 【答案】 1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、5、10 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算 式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出20和30的因数，再找到既是 20的因数，又是30的因数的数即可。 【详解】20=1×20=2×10=4×5：20的因数有：1,2,4,5,10,20： 30=1×30=2×15=3×10=5×6;30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30： 既是20的因数，又是30的因数有：1,2,5,10。 20的因数有1,2,4,5,10,20,30的因数有1,2,3,5,6,10,15,30，既是20的因数， 又是30的因数的数有1,2,5,10。 肥【对应练习3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1234568101215203060 第8页共30页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 12的因数 60的因数 我发现：( )既是12的因数，又是60的因数。 【答案】见详解：1,2,3,4,6,12 【分析】先从所给的数中挑选出12的因数和60的因数，填入相应的方框里；然后从中找出既 是12的因数，又是60的因数的数即可。 【详解】 人12的因数 60的因数 1,2,3,4,5,6,10, 1,2,3,4,6,12 12,15,20,30,60 我发现：1,2,3,4,6,12既是12的因数，又是60的因数。 原【考点三】一个数的因数的特征 兵方法点拨 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 已知一个自然数a,它的所有因数有1,3,7,21，那么a是( A.7 B.14 C.21 D.42 【答案】C 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。据此解题。 【详解】一个自然数a,它的所有因数有1,3,7,21，说明这个数的最大因数是21，那么a 是21。 故答案为：C 即【对应练习1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( ) A.4 B.1 C.7 第9页共30页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】C 【分析】假如ab=c(a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数，据此解答。 【详解】A.4的因数有：1、2、4，有3个因数，不符合题意： B.1的因数只有一个，即1本身，不符合题意： C.7只有1和它本身两个因数，符合题意： 故答案为：C 【对应练习2】 28的最小因数是( )。 A.1 B.2 C.4 【答案】A 【分析】 根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的 个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】28的最小因数是1。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，掌握最小因数的求法是解答本题的关键。 肥【对应练习3】 已知a是37的因数，那么( )。 A.a只能是1 B.a只能是37 C.a是1或37 【答案】C 【分析】已知a是37的因数，先列举出37的所有因数，再确定a的值。 【详解】37的因数：1,37： 已知a是37的因数，那么a是1或37. 故答案为：C 原【考点四】新趋势•关于因数特征的新式问题 买方法点拨 熟练掌握因数的特征，解决问题。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★★ 第10页共30页