精品解析：甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学2025-2026学年高三第一次模拟考试数学试卷

2025-2026年西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学高三第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数的性质，设，则，然后由是实数，得出的关系，再计算后可得． 【详解】因为是实系数一元二次方程的两个根，且是虚数，则也是虚数，且是的共轭复数，设，则， 则， 又是实数，所以，又，所以，， ， 由于，， 所以， 所以． 故选：D． 2. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解. 【详解】设，则有， 是奇函数，排除D； ，排除B； 当时，，排除C； 故选：A. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，利用交集的定义即可求解. 【详解】， . 故选：C. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 5. 记正项等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 243 B. 81 C. 27 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列通项公式可得，进而可得. 【详解】设正项等比数列的公比为， 且，则， 整理可得，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 6. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数和方差的运算性质即可求解. 【详解】由方差的性质，得的方差为，故， 解得．由，可知. 由平均数的性质，得的平均数为， 故，解得. 故选：A． 7. 已知函数，且，则的所有零点之和为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为与的图象在和上各有2个交点，数形结合及对称性求零点的和即可. 【详解】因为，由，得， 函数与的图象都关于直线对称， 且与的图象在和上各有2个交点，如下图所示： 所以在和上的所有零点之和为. 故选：B 8. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由斐波那契螺旋数的规律可知，从第三项起，每一项都是前面两个数之和， 即接下来的圆弧对应的圆面半径是，圆锥的母线长为13，对应的弧长是， 设圆锥底面半径为，则，解得， 则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，通过分类讨论列出概率的递推式，借助于等比数列求出概率解析式，运用二项分布的方差公式计算即可逐一判断. 【详解】初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）：球在甲手里，； 若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A正确； 第次拋硬币后，球在甲手中的概率为（*）， 其中表示球在丙手中的概率，且由对称性知，则，故C正确； 因 ，则，代入（*）可得：， 同理，由对称性，则有. 又由可得，即数列为首项是，公比为的等比数列， 则，即，同理，故 ，故D正确； 因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立， 则，故其方差为，故B错误. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，圆，过点的直线与抛物线交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 当直线的倾斜角为时， B. C. 已知点，则对任意过点的直线，都有 D. 已知圆上有一动点，抛物线上有一动点，若，则的纵坐标的取值范围为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由倾斜角写出直线的方程，代入消元得一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理及抛物线焦点弦长公式求得，判断A选项；讨论斜率是否存在，得到直线方程，联立方程后，由韦达定理及焦点弦长公式求出，判断B选项；设，讨论直线斜率不存在或存在时令，解得，判断C选项；由圆上的点的性质将转化为，设点坐标，由建立不等式，求得点纵坐标的取值范围，判断D选项. 【详解】由，得，则抛物线的方程为. 对于A，当直线的倾斜角为时，直线的方程为，代入， 消去得.设，则， 从而，A正确. 对于B，当直线的斜率不存在时，易得，则. 当直线的斜率存在时，设它的方程为，代入，消去得，则故，B正确. 对于C，结合B的解答，设，由，只要， 当直线的斜率不存在时，结论显然成立. 当直线的斜率存在时， 对任意的成立，所以，即定点，所以C错误. 对于，则可转化为. 设，所以， 解得，所以或，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值.则下列四个值中必为定值的是（ ） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D. 二面角的大小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形的面积判断A，根据三棱锥的体积公式判断B，根据线面角的定义判断C，根据二面角的概念判断D. 【详解】对于A，的长为定值，且点到的距离即为两平行直线与之间的距离也为定值， 所以的面积为定值，故A符合题意； 对于B，的面积是定值．(定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值）， 再根据平面也就是平面，既然和平面都是固定的， 所以到平面的距离是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定． 三棱锥即三棱锥的体积是定值，故B符合题意； 对于C， 到平面距离是定值（事实上即到平面距离）， 而长度在变化中，所以直线与平面所成的角不是定值，故C不符合题意； 对于D，二面角的平面角即是二面角的平面角， 而二面角的两个半平面均是固定平面，显然为定值，故D符合题意. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为720，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式结合题意即可求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以当时，展开式中的系数为. 故答案为：2 13. 已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】用表示出，结合三角形的存在性判断即可. 【详解】 因为，且， 所以， 又因为， 所以在三角形中， ， 即， 所以， 又因为的最大值为， 所以， 所以， 故离心率的范围为. 故答案为： 14. 已知函数，.若，则k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件将变形为，构造函数，问题即转化为.对函数求导，通过研究函数的单调性将问题进一步转化为，利用分离参数法求最值即可求解. 【详解】因为，所以. 由得， 即， 即. 构造函数， 则可化为. 因为， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以时，取得最小值，即， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. 因为，所以， 即，即. 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以时，取得最大值，即， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】利用导数证明和判断不等式问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将利用两角和差的正余弦公式，经过整理得到，由得到，从而得到，由 的范围得到的大小. （2）由的面积利用三角形面积公式得到，计算解得，由余弦定理，得，计算得到，由代入数值计算出的值，从而得到的周长. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 因为，所以，，又已知，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，解得， 由余弦定理，得，所以， 所以， 所以的周长为. 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 17. 如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2. （1）若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由； （2）如图3，若平面平面，且点N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在，点是线段上靠近点的三等分点； （2）. 【解析】 【分析】（1）在线段上取点P，使，在线段上取点Q，利用线面平行的判定性质推理得解. （2）取的中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在线段上存在一点P，使得， 在线段上取点P，使，在线段上取点Q，使，连接， 则，，且，而， 于是，四边形是平行四边形，， 而平面，平面，则平面，又平面，平面平面， 所以，此时点是线段上靠近点的三等分点. 【小问2详解】 取的中点，连接，依题意，，则， 平面平面，平面平面，平面， 则平面，在平面内过作，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 显然垂直平分线段，而，直线与的距离为， ， ， 设平面的法向量，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图2所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 19. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于. （1）求动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）求的面积的最大值； （ⅱ）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，先分别求出直线与的斜率，再利用直线与的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）设平行于的直线的方程，当直线与椭圆相切，此时的切点满足的面积最大； （ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点的纵坐标的方程，解之即得. 【小问1详解】 因为点与关于原点对称，所以点的坐标为. 设点的坐标为，由题意得， 化简得. 又因为直线与的斜率存在，所以.故动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）因为直线的方程为，设平行于的直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程得消去得， 当时，即时，直线与椭圆相切，此时的切点满足的面积最大， 所以，故的面积的最大值为. （ii）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为， 则. 因为，所以， 所以，即，解得， 因为，所以， 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学高三第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 记正项等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 243 B. 81 C. 27 D. 9 6. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知函数，且，则的所有零点之和为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，圆，过点的直线与抛物线交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 当直线的倾斜角为时， B. C. 已知点，则对任意过点的直线，都有 D. 已知圆上有一动点，抛物线上有一动点，若，则的纵坐标的取值范围为或 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值.则下列四个值中必为定值的是（ ） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D. 二面角的大小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为720，则__________. 13. 已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 14. 已知函数，.若，则k的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2. （1）若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由； （2）如图3，若平面平面，且点N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于. （1）求动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）求的面积的最大值； （ⅱ）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $