精品解析：广东茂名市高州市第一中学附属实验中学2025-2026学年八年级下学期学情自测数学试题

2025-2026学年度第二学期学情练习（开学考试） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 点在平面直角坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 4. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为90分，面试成绩为80分，则小李的最终成绩为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 5. 如图，中，，，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E，则的周长等于（ ）． A. 12 B. 14 C. 15 D. 18 6. 小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 8. 不等式组的解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分．） 11. 比较大小：7______．（填“”“”或“”） 12. 关于的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的的值：_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点B在y轴上，且坐标为，点C在x轴上，则点D的坐标为______． 14. 如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为_______． 15. 如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为_______ ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题10分，17题、18题每题7分，共24分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 18. 阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴． ∵CE是的平分线，∴． ∴．∴．（依据）∴是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中，点和． （1）如果点在轴上，点在轴上，求、的值； （2）如果轴，且，求、的值． （3）点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 20. 某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． （1）求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； （2）该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 21. 下列表格是刘小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题：（注：每次考试满分都是100分） 考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试 第四章 第五章 第六章 第七章 成绩 88 92 90 86 90 96 （1）刘小明6次成绩的众数为 ，中位数为 ； （2）计算刘小明平时成绩的方差； （3）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如扇形图所示，请你求出刘小明本学期的综合成绩，要写出解题过程． 注：可能用到的公式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． （1）求直线的函数表达式． （2）M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长． 23. 已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： （1）如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； （2）如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； （3）若点在边所在直线上，且满足，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期学情练习（开学考试） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 点在平面直角坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，根据点的横纵坐标的符号，可得所在象限． 【详解】解：， 点位于平面直角坐标系中的第二象限， 故选：B． 2. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，解之即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴， 故选：． 3. 已知，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变：由此判断即可. 【详解】解：A、∵， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， 故此选项不符合题意； 故选：C. 4. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为90分，面试成绩为80分，则小李的最终成绩为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据笔试和面试的权重比，计算最终成绩． 【详解】解：由题意知，最终成绩为：（分）， 故选：B． 5. 如图，中，，，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E，则的周长等于（ ）． A. 12 B. 14 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，根据角平分线的定义和平行线的性质可得与是等腰三角形， 即可得的周长等于解题即可． 【详解】解： ∵平分， 平分， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ， ∴的周长为： . 故选：C． 6. 小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于，由等腰三角形的性质得（米），然后根据勾股定理即可求得、的长度，即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ， （米）， （米）， （米）， 绳长为（米）， 故选：D． 7. 已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 8. 不等式组的解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则． 求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，即可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式的解集时，大于号用空心圆圈，小于号也用空心圆圈，选项C表示的是，符合题意． 故选：C． 9. 如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 每块小长方形墙砖的长为，宽为，根据图形，比较图形中的高度，找到两个等量关系，列出方程组为即可． 【详解】解：每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：D． 10. 如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分．） 11. 比较大小：7______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先计算 ，，然后进行比较即可． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 12. 关于的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的的值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据不等式组的解集可知，据此可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为， ∴， ∴符合条件的a的值为：1， 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点B在y轴上，且坐标为，点C在x轴上，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标的意义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 因为四边形为正方形， 所以， 而， 所以， 所以． 在与中， 所以， 所以． 由题意，得， 而， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为． 14. 如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积，据此可求出的面积． 【详解】解：是边的垂直平分线，, ， 又,, , . 故答案为：12． 15. 如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，由直线，分别求出，，又点为线段的中点，则，所以，求出直线解析式为，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小， ． ． ∵点在直线上， ∴． ∴． 在直线中，当时，， ∴． ∵点为线段的中点， ∴． ∴． 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为． 当时，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题10分，17题、18题每题7分，共24分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先计算二次根式乘除法，再进行合并即可； （2）方程组运用加减消元法即可． 【小问1详解】 解：． ． 【小问2详解】 解：， ①，得③， ②，得④， ③④得， 解得：， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解是． 17. 解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，画图见解析 【解析】 【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法，画出图示即可求得 【详解】解：去分母得：， ， ， 把解集在数轴上表示如图所示． 18. 阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴． ∵CE是的平分线，∴． ∴．∴．（依据）∴是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 【答案】（1）两底角相等，则两腰相等； （2）答案见解析． 【解析】 【分析】根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． 【小问1详解】 ∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等； 【小问2详解】 第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴． ∵CE是的平分线， ∴． ∴． ∴． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线． 证明：∵， ∴． ∵是等腰三角形． ∴． ∴， ∴CE是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中，点和． （1）如果点在轴上，点在轴上，求、的值； （2）如果轴，且，求、的值． （3）点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 【答案】（1）， （2），或 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，平行于轴的线段特征，第三象限点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标等于，轴上点的横坐标等于，列方程得到的值． （2）根据平行于轴的线段横坐标相等及线段长度为，列方程得到的值． （3）根据第三象限点的横、纵坐标均小于，列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：点在轴上，点在轴上， ，，解得：，； 【小问2详解】 解：轴，且， ，，解得，或； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： ∵若点和点同在第三象限内， 则有：①，而且②， 不等式组①无解， 点和点不可能同在第三象限内． 20. 某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． （1）求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； （2）该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元 （2）该经销商获得最大利润是21500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每件型童装的进价是元，每件型童装的进价是元，根据购进1件型童装和1件型童装需用50元，购进2件型童装和3件型童装需用120元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件型童装，则购进件型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为元，利用总利润=每件型童装的销售利润购进型童装的数量+每件型童装的销售利润购进型童装的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元． 【小问2详解】 设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得： 即：， 随着的增大而增大， 当时，最大，最大值为： 该经销商获得最大利润是21500元 21. 下列表格是刘小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题：（注：每次考试满分都是100分） 考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试 第四章 第五章 第六章 第七章 成绩 88 92 90 86 90 96 （1）刘小明6次成绩的众数为 ，中位数为 ； （2）计算刘小明平时成绩的方差； （3）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如扇形图所示，请你求出刘小明本学期的综合成绩，要写出解题过程． 注：可能用到的公式． 【答案】（1）分，分 （2） （3）分 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解即可 （2）根据方差的计算公式代入求解即可； （3）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：由表格分析可知，刘小明6次成绩从小到大排列为：86，88，90，90，92，96，出现次数最多的数是90，小明6次成绩的众数是90分，中位数为； 【小问2详解】 解：平时成绩的平均分， ∴小明平时成绩的方差：， ∴小明平时成绩的方差为5； 【小问3详解】 解：（分）． ∴小明本学期的综合成绩是分． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． （1）求直线的函数表达式． （2）M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入求出的值，再利用勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：将代入，则， ∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：存在． 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 当时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点Q作轴于点H， 设点P的坐标为， ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， 设直线的函数表达式为，则， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 此时，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 23. 已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： （1）如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； （2）如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； （3）若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】（1）的长为 （2）见解析 （3）的长为5或3 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解； （2）利用折叠的性质得出，，利用证得，得到，利用等边对等角得到，然后证得，得到，即可证得； （3）分①当在的延长线上时，②当在线段时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 由折叠的性质可知 ， 在中，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②当在线段时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或3． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $